弦振动的研究报告

班级：工程力学二班

学号：120107020045

姓名：康   昕   程

实 验 报 告

【实验目的】

1.  了解波在弦上的传播及驻波形成的条件

2.  测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率

3.  测量弦线的线密度

4.  测量弦振动时波的传播速度

【实验仪器】

弦振动研究试验仪及弦振动实验信号源各一台、双综示波器一台

【实验原理】

驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。

当入射波沿着拉紧的弦传播，波动方程为

            

当波到达端点时会反射回来，波动方程为

                  

式中，A为波的振幅；f为频率；为波长；x为弦线上质点的坐标位置，两拨叠加后的波方程为

这就是驻波的波函数，称为驻波方程。式中，是各点的振幅 ，它只与x有关，即各点的振幅随着其与原点的距离x的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为、频率皆为f的简谐振动。

令，可得波节的位置坐标为

        

令，可得波腹的位置坐标为

 

相邻两波腹的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。

在本试验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。

既有         或    

式中，为弦长；为驻波波长；n为半波数（波腹数）。

另外，根据波动离乱，假设弦柔性很好，波在弦上的传播速度取决于线密度和弦的张力，其关系式为

又根据波速、频率与波长的普遍关系式,可得

可得横波传播速度

如果已知张力和频率，由式可得线密度

如果已知线密度和频率，可得张力

如果已知线密度和张力，由式可得频率                                                                                                                                                                                                                         

【实验内容】

一、实验前准备

1.  选择一条弦，将弦的带有铜圆柱的一端固定在张力杆的U型槽中，把带孔的一端套到调整螺旋杆上圆柱螺母上。

2.  把两块劈尖（支撑板）放在弦下相距为L的两点上（它们决定弦的长度），注意窄的一端朝标尺，弯脚朝外；放置好驱动线圈和接收线圈，接好导线。

3.  在张力杆上挂上砝码（质量可选），然后旋动调节螺杆，使张力杆水平（这样才能从挂的物块质量精确地确定弦的张力）。因为杠杆的原理，通过在不同位置悬挂质量已知的物块，从而获得成比例的、已知的张力，该比例是由杠杆的尺寸决定的。

二、实验内容

1.  张力、线密度一定时，测不同弦长时的共振频率，并观察驻波现象和驻波波形。

（1）   放置两个劈尖至合适的间距并记录距离，在张力杠杆上挂上一定质量的砝码记录。量及放置位置（注意，总质量还应加上挂钩的质量）。旋动调节螺杆，使张力杠杆处于水平状态，把驱动线圈放在离劈尖大约5~10cm处，把接收线圈放在弦的中心位置。提示：为了避免接收传感器和驱动传感器之间的电磁干扰，在实验过程中应保证两者之间的距离至少有10cm。

（2）   将驱动信号的频率调至最小，以便于调节信号幅度。

（3）   慢慢升高驱动信号的频率，观察示波器接收到的波形的改变。注意：频率调节过程不能太快，因为弦线形成驻波需要一定的能量积累时间，太快则来不及形成驻波。如果不能观察到波形，则调大信号源的输出幅度；如果弦线的振幅太大，造成弦线敲击传感器，则应减小信号源输出幅度；适当调节示波器的通道增益，以观察到合适的波形大小为准。一般一个波腹时，信号源输出为2~3V，即可观察到明显的驻波波形，同时观察弦线，应当有明显的振幅。当弦的振动幅度最大时，示波器接收到的波形振幅最大，这时的频率就是共振频率，记录这一频率。

（4）   再增加输出频率，可以连续找出几个共振频率。注意：接收线圈如果位于波节处，则示波器上无法测量到波形，所以驱动线圈和接收线圈此时应适当移动位置，以观察到最大的波形幅度。当驻波的频率较高，弦线上形成几个波腹、波节时，弦线的振幅会较小，眼睛不易观察到。这时把接收线圈移向右边劈尖，再逐步向左移动，同时观察示波器（注意波形是如何是如何变化的），找出并记下波腹和波节的个数。

（5）   改变弦长重复步骤3、4；记录相关数据

2.  在弦长和线密度一定时，测量不同张力的共振频率。

（1）   选择一根弦线和合适的砝码质量，放置两个劈尖至一定的间距，例如60cm，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

（2）   记录相关的线密度、弦长、张力、波腹数等参数。

（3）   改变砝码的质量和挂钩的质量，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关数据

3.  张力和弦长一定，改变线密度，测量共振频率和弦线的线密度。

（1）   放置两个劈尖至合适的间距，选择一定的张力，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

（2）   记录相关的弦长和张力等参数。

（3）   换用不同的弦线，改变驱动频率，使弦线产生同样波腹数的稳定驻波，记录相关的数据。

（4）    

【数据记录及处理】

张力一定时不同弦长的共振频率

作波长与共振频率的关系图。

     弦长一定时不同张力的共振频率

作张力与共振频率的关系图，

第二篇：大学物理实验报告-弦振动

华南理工大学实验报告

课程名称：   大学物理实验  

理学院 系     数学    专业   创新    班                      姓名任惠霞 

实验名称       弦振动        实验日期     2011.9. 6     指导老师       

（报告内容：目的、仪器装置、简单原理、数据记录及结果分析等）

一.实验目的

1.观察弦上形成的驻波

2.学习用双踪示波器观察弦振动的波形

3.验证弦振动的共振频率与弦长、张力、线密度及波腹数的关系

二.实验仪器

XY弦音计、双踪示波器、水平尺

三 实验原理

  当弦上某一小段受到外力拨动时便向横向移动，这时弦上的张力将使这小段恢复到平衡位置，但是弦上每一小段由于都具有惯性，所以到达平衡位置时并不立即停止运动，而是继续向相反方向运动，然后由于弦的张力和惯性使这一小段又向原来的方向移动，这样循环下去，此小段便作横向振动，这振动又以一定的速度沿整条弦传播而形成横波。

理论和实验证明，波在弦上传播的速度可由下式表示：

        -------------------------------------------------------              ①

另外一方面，波的传播速度v和波长λ及频率γ之间的关系是：

v=λγ         --------------------------------------------------------              ②

将②代入①中得

      -------------------------------------------------------               ③

又有L=n*λ/2  或λ=2*L/n   代入③得

      ------------------------------------------------------                ④

四 实验内容和步骤

1.研究和n的关系

①选择5根弦中的一根并将其有黄铜定位柱的一端置于张力杠杆的槽内，另一端固定在张力杠杆水平调节旋钮的螺钉上。

②设置两个弦码间的距离为60.00cm，置驱动线圈距离一个弦码大约5.00cm的位置上，将接受线圈放在两弦码中间。将弦音计信号发生器和驱动线圈及示波器相连接，将接受线圈和示波器相连接。

③将1kg砝码悬挂于张力杠杆第一个槽内，调节张力杠杆水平调节旋钮是张力杠杆水平（张力杠杆水平是根据悬挂物的质量精确确定，弦的张力的必要条件，如果在张力杠杆的第一个槽内挂质量为m的砝码，则弦的张力T=mg，这里g是重力加速度；若砝码挂在第二个槽，则T=2mg；若砝码挂在第三个槽，则T=3mg…….）

④置示波器各个开关及旋钮于适当位置，由信号发生器的信号出发示波器，在示波器上同时显示接收器接受的信号及驱动信号两个波形，缓慢的增加驱动频率，边听弦音计的声音边观察示波器上探测信号幅度的增大，当接近共振时信号波形振幅突然增大，达到共振时示波器现实的波形是清晰稳定的振幅最大的正弦波，这时应看到弦的震动并听到弦振动引发的声音最大，若看不到弦的振动或者听不到声音，可以稍增大驱动的振幅（调节“输出调节”按钮）或改变接受线圈的位置再试，若波形失真，可稍减少驱动信号的振幅，测定记录n=1时的共振频率，继续增大驱动信号频率，测定并记录n=2,3,4,5时的共振频率，做图线，导出n的关系

2.研究和T的关系

保持L=60.00cm，保持不变，将1kg的砝码依次挂在第1、2、3、4、5槽内，测出n=1时的各共振频率。计算lg r 和lgT，以lg2为纵轴，lgT为横轴作图，由此导出r和T的关系。

3.验证驻波公式

根据上述实验结果写出弦振动的共振频率与张力T、线密度、弦长l1、波腹数n的关系，验证驻波公式。

五 数据记录及处理

1.实验内容1-2 数据

T=1mg  1=5.972 kg/m

数据处理：

由matlab求得平均数以及标准差

1.平均数  x1=117.5600

2.标准差  σx=63.8474

最小二乘法拟合结果：

Linear model Poly1:

     f(x) = p1*x + p2

Coefficients (with 95% confidence bounds):

       p1 =       40.38  (39.97, 40.79) 

       p2 =       -3.58  (-4.953, -2.207)

Goodness of fit:

  SSE: 0.508

  R-square: 1

  Adjusted R-square: 1

  RMSE: 0.4115

此结果中R-square: 1  Adjusted R-square: 1说明，此次数据没有异常点，并且这次实验数据n与关系非常接近线性关系，并可以得出结论：n与呈正比。

2.实验内容 3.4数据

 L=0.6000m           n=1

1.平均数  x1= 62.2000

2.标准差  σx=308.2850

最小二乘法拟合结果：

Linear model Poly1:

     f(x) = p1*x + p2

Coefficients (with 95% confidence bounds):

       p1 =      0.4902  (0.4467, 0.5336)

       p2 =       1.574  (1.553, 1.595)

Goodness of fit:

  SSE: 0.0001705

  R-square: 0.9977

  Adjusted R-square: 0.9969

  RMSE: 0.007539

由分析可知，此次数据中并没有异常点，并且进行线性拟合后R-square: 0.9977  Adjusted R-square: 0.9969，因为都极其接近1，所以说此次拟合进行的非常成功，由此我们可以得出相应的结论：lgT与lg是线性关系。

六.结论

验证了弦振动的共振频率与张力是线性关系

也验证了弦振动的共振频率与波腹数是线性关系。

七.误差分析

在和n关系的实验中，判断是否接近共振时，会有一些误差，而且因为有外界风力等不可避免因素，所以可能会有较小误差。

在与T实验中，由于摩擦力，弦不是处于完全水平等可能产生较小的误差。

附录（Matlab代码）

%%实验1

%一

A=[1     37.2

2  76.9

3  117.1

4  158.1

5  198.5];

p1=mean(A(:,2));        %平均数

q1=sqrt(var(A(:,2)));    %标准差

figure

plot(A(:,1),A(:,2),'o')

hold on

lsline

     xlabel('n  波腹数');

              ylabel('γ（Hz）  频率');

              title('γ和n的关系');

[k b]=polyfit(A(:,1),A(:,2),1);            %拟合直线      

             

   %二        

           % T（kg）     LgT（kg）        γ(Hz)      Lgγ(Hz)

B=[1 0.00     37.2 1.57

2  0.3       53.6 1.73

3  0.48 65.0 1.81

4  0.60 72.5 1.86

5  0.70 82.7 1.92];

x=B(:,1);

y=B(:,3);

figure

loglog(x,y) %x，y 都为对数坐标

plot(B(:,2),B(:,4),'o')

hold on

lsline

   xlabel('T  拉力');

              ylabel('γ（Hz）  频率');

              title('γ和T的关系');