导数的基础知识
一．导数的定义：
1.(1).函数y?f(x)在x?x0处的导数:f'(x0)?y'|x?x?lim
f(x0??x)?f(x0)
?x
?x?0
(2).函数y?f(x)的导数:f'(x)?y'?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)
?x
?y?x
2.利用定义求导数的步骤：
①求函数的增量：?y?f(x0??x)?f(x0)；②求平均变化率：③取极限得导数：f'(x0)?lim（下面内容必记）
?y?x
?
f(x0??x)?f(x0)
?x
；
?x?0
二、导数的运算：
（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①C'?0(C为常数)；②(x)'?nx
n
n?1
；(
1x
n
m
)'?(x
x
?n
)'??
nx
x
?n?1
；'?(x)'?
x
n
mn
m
x
n
?1
③(sinx)'?cosx； ④(cosx)'??sinx ⑤(e)'?e ⑥(a)'?alna(a?0,且a?1)； ⑦(lnx)'?
1
xxlna
法则1：[f(x)?g(x)]'?f'(x)?g'(x)；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
x
； ⑧(logax)'?
1
(a?0,且a?1)
法则2：[f(x)?g(x)]'?f'(x)?g(x)?f(x)?g'(x)(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：[
f(x)g(x)
]'?
f'(x)?g(x)?f(x)?g'(x)
[g(x)]
2
(g(x)?0)
(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数y?f(g(x))的导数求法：
①换元，令u?g(x)，则y?f(u)②分别求导再相乘y'??g(x)?'??f(u)?'③回代u?g(x) 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知f
?x??
x
x?2x?sin?，则f
2'
?0??
2、若f?x??
10
esinx
，则f
13
'
?x??C.163
D.193
3.f(x)=ax3+3x2+2 ，f?(?1)?4，则a=（ ）
33
三．导数的物理意义 A.
B.
1.求瞬时速度：物体在时刻t0时的瞬时速度V0就是物体运动规律S?f?t?在t?t0 时的导数f??t0?， 即有V0?f??t0?。
//
2.V＝s(t) 表示即时速度。a=v(t) 表示加速度。
四．导数的几何意义：
函数f?x?在x0处导数的几何意义，曲线y?f?x?在点P?x0,f?x0??处切线的斜率是k?f??x0?。于是相应的切线方程是：y?y0?f??x0??x?x0?。 题型三．用导数求曲线的切线 注意两种情况：
（1）曲线y?f?x?在点P?x0,f?x0??处切线：性质：k切线?f??x0?。相应的切线方程是：y?y0?f??x0??x?x0? （2）曲线y?f?x?过点P?x0,y0?处切线：先设切点，切点为Q(a,b) ,则斜率k=f'(a)，切点Q(a,b) 在曲线y?f?x?上，切点Q(a,b)在切线y?y0?f??a??x?x0?上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=f'(a)，确定切线方程。
例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；
1
解析：（1）k?y'|x?x?3x02?6x0?6?3(x0?1)2?3当x0=-1时，k有最小值3，
此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0 0
五．函数的单调性：设函数y?f(x)在某个区间内可导，
（1）f'(x)?0?f(x)该区间内为增函数；
（2）f'(x)?0?f(x)该区间内为减函数；
注意：当f'(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，f(x)在这个区间上仍是递增（或递减）的。
（3）f(x)在该区间内单调递增?f'(x)?0在该区间内恒成立；
（4）f(x)在该区间内单调递减?f'(x)?0在该区间内恒成立；
题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数 y??f?(x)
(2)判断导函数y??f?(x)在区间上的符号
(3)下结论
①f'(x)?0?f(x)该区间内为增函数；
②f'(x)?0?f(x)该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数y?f(x)单调区间的步骤为：
（1）分析 y?f(x)的定义域； （2）求导数 y??f?(x)
（3）解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为减区间
题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1）f(x)在该区间内单调递增?f'(x)?0在该区间内恒成立；
（2）f(x)在该区间内单调递减?f'(x)?0在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子
集。
注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数f?（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以f'(c)?0 例题．若函数f(x)?lnx
x，若a?f(3),b?f(4),c?f(5)则( )
A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c
六、函数的极值与其导数的关系：
1.①极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，且若对x0附近的所有的点都有f(x)?f(x0)（或f(x)?f(x0)，则称f(x0)为函数的一个极大（或小）值，x0为极大（或极小）值点。
②可导数f(x)在极值点（即f'(x0)?0），但函数f(x)在某点x0处的导数为0，并不一定函数f(x)在．．．x0处的导数为0
3该处取得极值（如f(x)?x在x0?0处的导数为0，但f(x)没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数f'(x)；
第二步：求方程f'(x)?0的所有实根；
第三步：列表考察在每个根x0附近，从左到右，导数f'(x)的符号如何变化，
若f'(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；
若f'(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值；
若f'(x)的符号不变，则f(x0)不是极值，x0不是极值点。
2、函数的最值：
①最值的定义：若函数在定义域D内存x0，使得对任意的x?D，都有f(x)?f(x0)，（或f(x)?f(x0)）则称f(x0)为函数的最大（小）值，记作ymax?f(x0)（或ymin?f(x0)）
②如果函数y?f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值。
③求可导函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值方法：
第一步；求f(x)在区间[a,b]内的极值；
第二步：比较f(x)的极值与f(a)、f(b)的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
2
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值
点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如f(x)?x?
//1x的极大值为?2，极小值为2。 注意：当x=x0时，函数有极值? f(x0)＝0。但是，f(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数 原函数
f'(x)的符号 f(x)单调性
f'(x)与x轴的交点且交点两侧异号 f(x)极值
f'(x)的增减性 f(x)的每一点的切线斜率的变化趋势 （f(x)的图象的增减幅度） f'(x)的增 f(x)的每一点的切线斜率增大（f(x)的图象的变化幅度快）
f'(x)减 f(x)的每一点的切线斜率减小 （f(x)的图象的变化幅度慢）
例1. 已知f(x)=e-ax-1.
（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解：f?(x)x=e-a.（1）若a≤0，
xxxf?(x)=e-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增. x若a>0,e-a≥0,∴e≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).
（2）∵f（x）在R内单调递增，∴
xxf?(x)≥0在R上恒成立. xx∴e-a≥0，即a≤e在R上恒成立.∴a≤（e）min，又∵e>0，∴a≤0.
（3） 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴
32f?(0)=0,即e-a=0,∴a=1. 2
30例2. 已知函数f(x)=x+ax+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求
a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
解 （1）由f(x)=x+ax+bx+c,得32f?(x)=3x+2ax+b, 2
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ①
当x=时，y=f(x)有极值，则32?2?f???
?3?=0,可得4a+3b+4=0 ②
由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.
（2）由（1）可得f(x)=x+2x-4x+5,∴32f?(x)=3x+4x-4,令2f?(x)=0,得x=-2,x=. 32
当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：
x -3 (-3,-2) +
单调递增
↗ -2 0 13 2????2,?3?? 23 ?2??,1??3? 1 4 y′ y 8 - 单调递减
↘ 0 9527+ 单调递增 ↗
95
27. ∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为
3
例3.当 x?0，证明不等式证明：f(x)?ln(x?1)?
x1?x
?ln(1?x)?x.
x(1?x)
2
x1?x
，g(x)?ln(x?1)?x，则f?(x)?，
x1?x
?0，
当x?0时。?f(x)在?0,???内是增函数，?f(x)?f(0)，即ln(1?x)?又g?(x)?
?x1?x
，当x?0时，g?(x)?0，?g(x)在?0,???内是减函数，?g(x)?g(0)，即ln(1?x)?x?0，因
x1?x
?ln(1?x)?x成立.
x1?x
此，当x?0时，不等式
点评：由题意构造出两个函数f(x)?ln(x?1)?，g(x)?ln(x?1)?x.
利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.
七定积分求值
1．定积分的概念 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则?f(x)dx?lim
ab
n
n??
?f???
i
i?1
b?an
n
n等分区间?a,b?；2.用定义求定积分的一般方法是：①分割：②近似代替：取点?i??xi?1,xi?；③求和：?
i?1
b?an
f(?i)；
④取极限：?f(x)dx?lim
a
b
n
n??
?
i?1
f??i?
b?an
0,S???
ba
3.曲边图形面积：f?x??0,S?
t2t1
?
ba
f
?x?dx；f?x??
f
?x?dx
在x轴上方的面积取正，下方的面积取负 变速运动路程S?
4．定积分的性质
性质1 ?kf(x)dx?k?f(x)dx （其中k是不为0的常数）
a
a
b
b
?
v(t)dt； 变力做功 W?
?
ba
F(r)dr
性质2 ?[f1(x)?f2(x)]dx?
ab
c
b
?
bab
f1(x)dx?
?
ba
f2(x)dx
性质3 ?f(x)dx?
a
?
a
f(x)dx?
?
c
f(x)dx(其中a?c?b) （定积分对积分区间的可加性）
b
b
5.定理 函数F(x)是[a,b]上f(x)的一个原函数，即f(x)?F?(x)则?f(x)dx?F(x)|a?F(b)?F(a)
a
导数各种题型方法总结
（一）关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：
1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法： （1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在
（二）分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
（三）同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令f(x)?0得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；
'
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
4
2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)?0恒
2
成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，f(x)?x433x
12?mx
6?2
（1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值. 解:由函数f(x)?x4mx322
12?6?3x
2 得f?(x)?x3mx
3?2?3x
?g(x)?x2?mx?3
（1） ?y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，
则 ?g(x)?x2?mx?3?0 在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)?0
?g(0)?0
?0????30
?g(3)??m3??3?0m?2
??9
解法二：分离变量法：
∵ 当x?0时, ?g(x)?x2?mx?3??3?0恒成立,
当0?x?3时, g(x)?x2?mx?3?0恒成立
2
等价于m?x?3
x?x?3
x的最大值（0?x?3）恒成立，
而h(x)?x?3
x（0?x?3）是增函数，则hmax(x)?h(3)?2
?m?2
(2)∵当m?2时f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”
则等价于当m?2时g(x)?x2?mx?3?0 恒成立
变更主元法
再等价于F(m)?mx?x2?3?0在m?2恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）
2
??F(?2)?0??x2?x??3
???0
?F(2)?0???1?x?1
??2x?x2?3?0
?b?a?2
例2：设函数f(x)??132
3x?2ax2?3ax?b(0?a?1,b?R)
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围. （二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）f?(x)??x2?4ax?3a2???x?3a??x?a?
?0?a?1
5
3
4 ∴当x=a时，f(x)极小值=?a3?b; 当x=3a时，f(x)极大值=b.
22 （Ⅱ）由|f?(x)|≤a，得：对任意的x?[a?1,a?2],?a?x?4ax?3a?a恒成立①
则等价于g(x)这个二次函数??gmax(x)?a g(x)?x?4ax?3a的对称轴x?2a ?0?a?1, 22
?gmin(x)??a
a?1?a?a?2a（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
g(x)?x2?4ax?3a2在[a?1,a?2]上是增函数.
∴g(x)max?g(a?2)??2a?1.
g(x)min?g(a?1)??4a?4.
于是，对任意x?[a?1,a?2]，不等式①恒成立，等价于
?1,a?2? ?g(a?2)??4a?4?a,
x?a??g(a?1)??2a?1??a解得4
5?a?1.
又0?a?1,∴4
5?a?1.
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
第三种：构造函数求最值
题型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；从而转化为第一、二种题型
例3；已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，
g(x)?x3?t?62
2x?(t?1)x?3(t?0)
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；
（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。
解：（Ⅰ）f/(x)?3x2?2ax∴?f/(1)??3?， 解得?a??3
a?
?b?1??b??2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[?1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减
又f(?1)??4,f(0)?0,f(2)??4,f(4)?16
∴f(x)的值域是[?4,16]
（Ⅲ）令h(x)?f(x)?g(x)??t2
2x?(t?1)x?3x?[1,4]
思路1：要使f(x)?g(x)恒成立，只需h(x)?0，即t(x2?2x)?2x?6分离变量
思路2：二次函数区间最值
二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
6 9（
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知a?R，函数f(x)?1
12x?3a?1
2x2?(4a?1)x．
（Ⅰ）如果函数g(x)?f?(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数f(x)是(??,
解：f?(x)???)上的单调函数，求a的取值范围． 1
4x2?(a?1)x?(4a?1).
1
123x?3x，f?(x)? （Ⅰ）∵ f?(x)是偶函数，∴ a??1. 此时f(x)? 令f?(x)?0，解得：x??2
14x2?3， 3.
（Ⅱ）∵函数f(x)是(??,
∴f?(x)? ??)上的单调函数， 1
4x?(a?1)x?(4a?1)?0，在给定区间2
2R上恒成立判别式法 则??(a?1)?4?1
4?(4a?1)?a?2a?0， 解得：0?a?2. 2
综上，a的取值范围是{a0?a?2}.
例5、已知函数f(x)?1
3x?31
2(2?a)x?(1?a)x(a?0). 2
（I）求f(x)的单调区间；
（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想
2（I）f?(x)?x?(2?a)x?1?a?(x?1)(x?1?a).
2 1、当a?0时,f?(x)?(x?
1)?0恒成立,
当且仅当x??1时取“=”号，f(x)在(??,??)单调递增。
2、当a?0时,由f?(x)?0,得x1??1,x2?a?1,且x1?x2,
单调增区间：(??,?1),(a?1,??)
单调增区间：(?1,a?1) （II）当?f(x)在[0,1]上单调递增, 则?0,1?是上述增区间的子集： 1、a?0时，f(x)在(??,??)单调递增 符合题意
2、?0,1???a?1,???，?a?1?0 ?a?1
综上，a的取值范围是[0，1]。
三、根的个数问题
提型一 函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 7
第三步：解不等式（组）即可；
例6、已知函数f(x)?
13x
3
?
(k?1)2
x，g(x)?
2
13
?kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数．
（1） 求实数k的取值范围；
（2） 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
2
解：（1）由题意f?(x)?x?(k?1)x ∵f(x)在区间(2,??)上为增函数，
2
∴f?(x)?x?(k?1)x?0在区间(2,??)上恒成立（分离变量法）
即k?1?x恒成立，又x?2，∴k?1?2，故k?1∴k的取值范围为k?1 （2）设h(x)?f(x)?g(x)?
h?(x)?x
2
x
3
3
?
(k?1)2
x
2
?kx?
13
，
?(k?1)x?k?(x?k)(x?1)
2
令h?(x)?0得x?k或x?1由（1）知k?1，
①当k?1时，h?(x)?(x?1)?0，h(x)在R上递增，显然不合题意? ②当k?1时，h(x)，h?(x)随x的变化情况如下表：
由于
?k
3
k?12
2
?0，欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x)?0有三个不同的实根，故需
6
?
k
2
?
13
?0，即(k?1)(k
2
?k?1
?2k?2)?0 ∴?2，解得k?1?
k?2k?2?0?
3
综上，所求k的取值范围为k?1?3
根的个数知道，部分根可求或已知。 例7、已知函数f(x)?ax?
3
12
x?2x?c
2
（1）若x??1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值； （2）若g(x)?
12
bx?x?d，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒有含
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2
x??1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。
解：（1）∵2
f(x)的图像过原点，则f(0)?0?c?0 f?(x)?3ax?x?2，
又∵x??1是f(x)的极值点，则f?(?1)?3a?1?2?0?a??1
2
?f?(x)?3x?x?2?(3x?2)(x?1)?0
222?)?
237
（2）设函数g(x)的图像与函数
f(x)的图像恒存在含x??1的三个不同交点， f极大值(x)?f(?1)?
3
f极小值(x)?f
等价于f(x)?g(x)有含x??1的三个根，即：f(?1)?g(?1)?d??
?x?
3
12
(b?1)
12
x?2x?
2
12
bx?x?
2
12
(b?1)整理得：
即：x?
3
12
(b?1)x?x?
2
12
(b?1)?0恒有含x??1的三个不等实根 x?
3
（计算难点来了：）h(x)?
12
(b?1)x?x?
2
12
(b?1)?0有含x??1的根，
8
则h(x)必可分解为(x?1)(二次式)?0，故用添项配凑法因式分解，
x?x?x?3221
2(b?1)x?x?21
2(b?1)?0
x(x?1)?
x(x?1)?221?1?2(b?1)x?x?(b?1)?0 ?2?2??1?(b?1)x?2x?(b?1)??0?2?
b(???1)x??1 ?02 十字相乘法分解：x2(x?1)?1
2?(b?1x)?
1?21?(x?1)x?(b?1)x?(b?1)?0 ??22???x?31
2(b?1)x?x?
22121
2(b?1)?0恒有含x??1的三个不等实根 (b?1)?0有两个不等于-1的不等实根。 等价于x?1
2(b?1)x?
11?2??(b?1)?4?(b?1)?0??42?b?(??,?1)?(?1,3)?(3,??) ??11?(?1)2?(b?1)?(b?1)?0??22
题型二：切线的条数问题====以切点x为未知数的方程的根的个数 0
例7、已知函数f(x)?ax?bx?cx在点x0处取得极小值－4，使其导数f'(x)?0的x的取值范围为(1,3)，求：（1）
f(x)的解析式；（2）若过点P(?1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围． 32
（1）由题意得：f'(x)?3ax?2bx?c?3a(x?1)(x?3),(a?0)
∴在(??,1)上f'(x)?0；在(1,3)上f'(x)?0；在(3,??)上f'(x)?0 因此f(x)在x0?1处取得极小值?4
∴a?b?c??4①，f'(1)?3a?2b?c?0②，f'(3)?27a?6b?c?0③
?a??1
?32由①②③联立得：?b?6，∴f(x)??x?6x?9x
?c??9?
,2
22222 32（2）设切点Q(t,f(t))，y?f(t)?f(t)(x?t)y?(?3t?12t?9)(x?t)?(?t?6t?9t) ?(?3t?12t?9)x?t(3t?12t?9)?t(t?6t?9)?(?3t?12t?9)x?t(2t?6t)过(?1,m) m?(?3t?12t?9)(?1)?2t?6t
g(t)?2t?2t?12t?9?m?0令g'(t)?6t?6t?12?6(t?t?2)?0， 32222322
求得：t??1,t?2，方程g(t)?0有三个根。
??2?3?12?9?m?0?m?16???? g(2)?016?12?24?9?m?0m??11???
故：?11?m?16；因此所求实数m的范围为：(?11,16) 需：??g(?1)?0
题型三：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法
例8、
9
17
解：函数的定义域为R（Ⅰ）当m＝4时，f (x)＝ x3－2＋10x，
32
2
f?(x)＝x－7x＋10，令f?(x)?0 ， 解得x?5,或x?2. 令f?(x)?0 ， 解得2?x?5
可知函数f(x)的单调递增区间为(??,2)和（5，＋∞），单调递减区间为?2,5?． （Ⅱ）f?(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6,
要使函数y＝f (x)在（1，＋∞）有两个极值点,?f?(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）
根分布问题：
?
???(m?3)2?4(m?6)?0;?
则?f?(1)?1?(m?3)?m?6?0;， 解得m＞3 ?m?3??1.?2
例9、已知函数
（2）令g(x)＝
'
f(x)?
a3
x?
3
12
x，(a?R,a?0)（1）求f(x)的单调区间；
2
14
x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．
2
解：（1）f(x)?ax?x?x(ax?1)
'
当a?0时，令f(x)?0解得x??
1a
1a
或x?0，令f(x)?0解得?
1a
'
1a
?x?0，
所以f(x)的递增区间为(??,?)?(0,??)，递减区间为(?
1a
,0).
1a
?当a?0时，同理可得f(x)的递增区间为(0，)，递减区间为(??,0)?(?,??).
（2）g(x)?
3
14
x?
2
4
a3
x?
3
12
x有且仅有3个极值点
2
2
2
?g?(x)?x?ax?x?x(x?ax?1)=0有3个根，则x?0或x?ax?1?0，a??2
方程x?ax?1?0有两个非零实根，所以??a?4?0,
?a??2或a?2
而当a??2或a?2时可证函数y?g(x)有且仅有3个极值点
22
10
其它例题：
（一）最值问题与主元变更法的例子.
已知定义在R上的函数f(x)?ax?2ax?b（a?0）在区间??2,1?上的最大值是5，最小值是－11.
3
2
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）若t?[?1,1]时，f?(x）?tx?0恒成立，求实数x的取值范围. 解：（Ⅰ）?f(x)?ax?2ax?b,?f(x)?3ax?4ax?ax(3x?4)
'
令f(x)=0,得x1?0,x2?
3
2
'
2
43
???2,1?
因此f(0)必为最大值,∴f（0）?5因此b?5， ?f(?2)??16a?5,f(1)??a?5,?f(1)?f(?2)，
即f(?2)??16a?5??11，∴a?1，∴ f(x）?x?2x?5.
22
（Ⅱ）∵f?(x)?3x?4x，∴f?(x）?tx?0等价于3x?4x?tx?0，
3
2
令g(t)?xt?3x?4x，则问题就是g(t)?0在t?[?1,1]上恒成立时，求实数x的取值范围，
?3x2?5x?0?g(?1)?0
为此只需?，即?2，
g（1)?0x?x?0??
2
解得0?x?1，所以所求实数x的取值范围是[0，1]. （二）根分布与线性规划例子
例：已知函数f(x)?
23
x?ax?bx?c
32
(Ⅰ) 若函数f(x)在x?1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行, 求f(x)的解析式；
11
(Ⅱ) 当f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值时, 设点M(b?2,a?1)所在平面区域为S,
经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.
2
解： (Ⅰ). 由f?(x)?2x?2ax?b, 函数f(x)在x?1时有极值 ,
∴ 2a?b?2?0 ∵ f(0)?1 ∴ c?1 又∵ f(x)在(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行, ∴ f?(0)?b??3 故 a?
23
3
12
∴ f(x)?x?
12
x?3x?1 ……………………. 7分
1)取得极大值且在x?(1,
2)取得极小值,
2
2
(Ⅱ) 解法一: 由f?(x)?2x?2ax?b 及f(x)在x?(0,
?f?(0)?0?
∴ ?f?(1)?0 即
?f?(2)?0??b?0?
?2a?b?2?0 令M(x,?4a?b?8?0?
?x?b?2
y), 则 ?
y?a?1?
?x?2?0
?a?y?1?∴ ? ∴ ?2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC,
?b?x?2?4y?x?6?0
?
易得A(?2,0), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?
32
), S?ABC?2
同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?∴ 所求一条直线L的方程为:
x?0
13
S四边形ABED
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为y?kx,它与AC,BC分别交于F、G, 则 k?0, S四边形DEGF?1
由 ?
?y?kx?2y?x?2?0?y?kx?4y?x?6?0
得点F的横坐标为: xF??
22k?1
由 ? 得点G的横坐标为: xG??
12
32
6
64k?1
22k?1
12
∴S四边形DEGF?S?OGE?S?OFD ?解得: k?
12
??
4k?1
?
12
?1?
?1即 16k?2k?5?0
2
或 k??
58
(舍去) 故这时直线方程为: y?
12
x
综上,所求直线方程为: x?0或y?x .…………….………….12分
1)取得极大值且在x?(1,
2)取得极小值,
2
(Ⅱ) 解法二: 由f?(x)?2x?2ax?b 及f(x)在x?(0,
12
?f?(0)?0?
∴ ?f?(1)?0 即
?f?(2)?0??b?0?
?2a?b?2?0 令M(x,?4a?b?8?0?
?x?b?2
y), 则 ?
y?a?1?
?x?2?0
?a?y?1?∴ ? ∴ ?2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC,
?b?x?2?4y?x?6?0
?
易得A(?2,0), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?
32
), S?ABC?2
同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?
13
S四边形ABED ∴所求一条直线L的方程为: x?0 12
x, 设直线BO与AC交于H ,
另一种情况由于直线BO方程为: y?
1?
?y?x由 ? 得直线L与AC交点为: H(?1,2
?2y?x?2?0?
?
12
)
∵ S?ABC?2, S?DEC?
12
?
12
?2?
12
12
, S?ABH?S?ABO?S?AOH?
12
?2?1?
12
?2?
12
?
12
∴ 所求直线方程为: x?0 或y?（三）根的个数问题
x
例 已知函数f(x)?ax?bx?(c?3a?2b)x?d (a?0)的图象如图所示。
（Ⅰ）求c、d的值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x?y?11?0，求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若x0?5,方程f(x)?8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。 解：由题知：f?(x)?3ax?2bx+c-3a-2b
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且f??1?= 0
得?
?d?3??
?3a?2b?c?3a?2b?0?c?0?d?3
2
32
（Ⅱ）依题意
f??2?= – 3 且f ( 2 ) = 5
?12a?4b?3a?2b??3
解得a = 1 , b = – 6 ?
?8a?4b?6a?4b?3?5
所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3
32
（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax + bx – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 )
2
f??x?= 3ax + 2bx – 3a – 2b 由f??5?= 0?b = – 9a ①
若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②
由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3?所以 当
111
111
＜a＜3
＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。???? 12分
（四）根的个数问题
13
例：已知函数f(x)?132
3x?ax?x?1(a?R)
（1）若函数f(x)在x?x1,x?x2处取得极值，且x1?x2?2，求a的值及f(x)的单调区间；
（2）若a?125
2，讨论曲线f(x)与g(x)?1
2x?(2a?1)x?6(?2?x?1)的交点个数．
解：（1）f'(x)?x2?2ax?1
?x1?x2?2a,x1?x2??
1
?x1?x2???2
?a?0???????????????????????????2分 f?(x)?x2?2ax?1?x2?1
令f?(x)?0得x??1,或x?1
令f?(x)?0得?1?x?1
∴f(x)的单调递增区间为(??,?1)，(1,??)，单调递减区间为(?1,1)????5分
（2）由题f(x)?g(x)得132125
3x?ax?x?1?2x?(2a?1)x?6 即112x?1
3x3?(a?2)x?2a6?0 令?(x)?1x3?(a?1)x21
32?2ax?6(?2?x?1)????????6分 ???(x)?x2?(2a?1)x?2a?(x?2a)(x?1)
令??(x)?0得x?2a或x?1?????????????????7分 ?a?1
2
此时，?8a?9
2?0，a?0，有一个交点；??????????9分
当2a??2即?1?a?1
时，
?2a21
3(3?2a)?6?0,
∴当?8a?9
2?0即?1?a??9
16时,有一个交点；
当?8a?9?0，且a?0即?9
216?a?0时，有两个交点；
14
当0?a?综上可知，当a?? 当?9
16129时，?8a?或0?a?9212?0，有一个交点．?????????13分 16时，有一个交点； ?a?0时，有两个交点．?????????????14分
（五）简单切线问题 已知函数f(x)?x
a32图象上斜率为3的两条切线间的距离为25，函数g(x)?f(x)?3bx
a2?3．
（Ⅰ） 若函数g(x)在x?1处有极值，求g(x)的解析式； （Ⅱ） 若函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数，且b?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上都成立，求实数m的取值范围．
2
15