第五章  微分中值定理

一，罗尔（Rolle）中值定理

1 费马（Fermat）引理：设在点取得极值，且存在则=0。

解析：几何意义：曲线在极值点处的切线是平行于轴的。

2罗尔（Rolle）中值定理：函数在闭区间上连续，在开区间内可导（每一点都具有导数）并且在闭区间的端点函数值相等，即：，那么在开区间内至少有一点使得。

解析：⑴该定理是奠定一系列中值定理的基础。

      ⑵此定理反映了由区间端点函数值的情况来表现区间内导函数值的变化情况，给出了点的具体位置和计算方法（与Lagrange中值定理的区别）。

      ⑶几何意义：若连接曲线两端点的弦是水平的，则曲线上至少有一点的切线是水平的。

      ⑷两个推论：①推论1：如果函数在区间内的导数恒等于零，那么函数在区间内是一个常数。②推论2：如果函数在区间内处处有，则在此区间内（常数）。

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

设函数在闭区间上连续且在开区间内可导（每一点都具有导数）那么在开区间内至少有一点使等式成立。

该定理的其它几种表示形式：⑴

解析：反映其几何意义：如果连接曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，那么这弧上至少有一点，使曲线在处的切线平行于弦。

⑵令则。

解析：由于的特定取值范围，所以在证明不等式时较常用，若令那么有：。

⑶有限增量公式：如果用表示则函数增量，这时该定理变成。

解析：⑴从理论上与微分的区别：该公式准确的表明了函数增量与自变量增量（不要求其趋于零或比较小而仅要求其为有限增量）的关系，而微分只能近似的表示这一关系，并且要求比较小，而且当时表示的误差才趋于零。但在实际应用中仍常用微分去近似表示函数值的改变量。

⑵类比与上式，则还可表示为。

三，柯西(Cauchy) 中值定理

设两个函数和在闭区间上连续且在开区间内可导（每一点都具有导数）且在内每一点均不为零，则在内至少存在一点使得成立。

解析：⑴要求分子与分母中的是同一个值。

      ⑵类比于Lagrange定理，此定理可表示为。

四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理间的关系

五，泰勒(Taylor) 中值定理

1 定义：若在上有直到阶连续的导数，在开区间上阶导数存在，则对于任意的有：其中（介于与之间）称为余项（与误差估计有关）。其中当取零时的泰勒(Taylor)公式称为麦克劳林（Maclaurin）公式。

解析：使复杂函数成为简单函数的有效方法。

2 各种形式的泰勒(Taylor)公式

⑴带有皮亚诺（Peano）余项的泰勒(Taylor)公式：⑵带有Lagrange余项的泰勒(Taylor)公式：⑶带有Cauchy余项的泰勒(Taylor)公式：

⑷带有积分余项的泰勒(Taylor)公式：

3 常见函数的麦克劳林（Maclaurin）展式

⑴带有皮亚诺（Peano）余项的麦克劳林（Maclaurin）展式：

 

⑵带有Langrange余项的麦克劳林（Maclaurin）展式：

4 Taylor公式的应用

⑴求极限。⑵近似计算，误差估计。⑶与幂级数的关系。⑷不等式证明。

六，罗比塔（L”Hospital）法则

1 解决问题的情况：。

解析：不是以上两种型的转化为以上型。例如：。

2 需注意的问题：⑴只有未定式才能应用罗比塔（L”Hospital）法则，不是未定式，则不能用罗比塔（L”Hospital）法则，且分子与分母分别求导。

                ⑵只有未定式才能直接应用罗比塔（L”Hospital）法则。       

⑶求其他类型未定式的值时，就首先将其转化为未定式，然后才能应用罗比塔（L”Hospital）法则。       

⑷可以对未定式反复应用罗比塔（L”Hospital）法则，直到求出确定的极限值为止。

               ⑸用对数方法求极限时还要将结果还原为指数形式。

               ⑹有些未定式若用罗比塔（L”Hospital）法则求不出它的值时，就改用其它方法计算。

第二篇：高中数学知识点总结---二项式定理

高中数学知识点总结---二项式定理

1. ⑴二项式定理：.

展开式具有以下特点：

①       项数：共有项；

②       系数：依次为组合数

③       每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.

⑵二项展开式的通项.

展开式中的第项为：.

⑶二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；

②二项展开式的中间项二项式系数最大.

I. 当n是偶数时，中间项是第项，它的二项式系数最大；

II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第项，它们的二项式系数最大.

③系数和：

   

附：一般来说为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当时，一般采用解不等式组的系数或系数的绝对值）的办法来求解.

⑷如何来求展开式中含的系数呢？其中且把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为.其系数为.

2. 近似计算的处理方法.

当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计。类似地，有但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.