排列组合

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有

m种不同的方法，…，在第n类办法中有mn不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2

种不同的方法，…，做第n步有mn 3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

113

解: 由分步计数原理得C4C3A4?288

练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

522

解： AAA?480

练习题：某人射击8枪，命中4枪，

4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略

例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序

有多少种？ 4

解A55A6

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然

3

后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：A77/A3

4

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置甲乙丙

4

共有 1种坐法，则共有A7种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法

练习题: 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 C10

五.重排问题求幂策略

例5.、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排

n

各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为m种

练习题：

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节

目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42

2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法78

六.环排问题线排策略

例6.、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44并从此位置把

圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素

1

作圆形排列共有Amn n

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120

七.多排问题直排策略

例7.、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

15

解:,则共有A24A4A5种

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座

位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. C52A44 练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种

任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位

数有多少个？

22

解：共有A2种排法 AA222练习题：

１、计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一

54

品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A22A5A4

552、 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A22A5A5种

十.元素相同问题隔板策略

例10.、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）

入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cm?1

n?1

练习题：1、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？

2、x?y?z?w?100求这个方程组的自然数解的组数

3 C103

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？

解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶

312

数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有C5C5,和为偶数

123123的取法共有C5。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C5C5?C5C5?C5?9

二

班

七班

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12.、 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 2223

3。 C6C4C2/A

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以An n(n为均分的组数)避免重复计数。

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的

反面,再从整体中淘汰.

练习题：

1、 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？

542

（C13） C84C4/A2

2、10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分 组方法？ （1540）

3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案有多少

2222

（C4C2A6/A2?90）

十三. 合理分类与分步策略

例13.、在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人

伴舞的节目,有多少选派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C32C32种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人

112

员C5C3C4种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有C52C52种，由分类计数原理共有 2211222C3C3?C5C3C4?C5C5种。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分

步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。

练习题：

1、.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 2、 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）

十四.构造模型策略

例14.、 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2

盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

3

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C5 种

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）

十五.实际操作穷举策略

例15.、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有C52种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，

如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号

2

球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C5种

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图

会收到意想不到的结果

练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)

2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,十六. 分解与合成策略

例16.、 30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题意可知偶因数

12345

必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为： C5?C5?C5?C5?C5

十八.数字排序问题查字典策略 例18．、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

54321

解:N?2A?2A?A?A?A?297

练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140

排列组合易错题正误解析 例1 从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.

例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.

33

（A）A4 （B）43 （C）34 （D）C4 例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？ 例4 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种

例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不

同的排法共有（ ）种.

223C7C5A3

（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630

2例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ）

（A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个

例7 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4

种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） .

例8 已知ax2?b?0是关于x的一元二次方程，其中a、b?{1,2,3,4}，求解集不同的一元二次方程的个数.

例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.

第二篇：高中数学排列组合题型归纳总结

排列组合

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有

m种不同的方法，…，在第n类办法中有mn不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2

种不同的方法，…，做第n步有mn

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

113

解: 由分步计数原理得C4C3A4?288

练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

522

解： AAA?480

练习题：某人射击8枪，命中4枪，

4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略

例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序

有多少种？ 4

解A55A6

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然

3

后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：A7/A73

4

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置甲乙丙

4

共有 1种坐法，则共有A7种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法

练习题: 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 C10

五.重排问题求幂策略

例5.、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排

n

各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为m种

练习题：

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节

目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42

2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法78

六.环排问题线排策略

例6.、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44并从此位置把

圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素

1

作圆形排列共有Amn n

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120

七.多排问题直排策略

例7.、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

15

解:,则共有A24A4A5种

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座

位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. C52A44 练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种

任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位

数有多少个？

22

解：共有A2种排法 AA222练习题：

１、计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一

54

品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A22A5A4

552、 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A22A5A5种

十.元素相同问题隔板策略

例10.、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）

入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cm?1

n?1

练习题：1、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？

2、x?y?z?w?100求这个方程组的自然数解的组数

3 C103

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？

解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶

312

数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有C5C5,和为偶数

123123的取法共有C5。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C5C5?C5C5?C5?9

二

班

七班

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12.、 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 2223

3。 C6C4C2/A

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以An n(n为均分的组数)避免重复计数。

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的

反面,再从整体中淘汰.

练习题：

1、 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？

542

（C13） C84C4/A2

2、10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分 组方法？ （1540）

3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案有多少

2222

（C4C2A6/A2?90）

十三. 合理分类与分步策略

例13.、在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人

伴舞的节目,有多少选派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C32C32种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人

112

员C5C3C4种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有C52C52种，由分类计数原理共有 2211222C3C3?C5C3C4?C5C5种。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分

步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。

练习题：

1、.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 2、 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）

十四.构造模型策略

例14.、 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2

盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

3

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C5 种

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）

十五.实际操作穷举策略

例15.、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有C52种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，

如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号

2

球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C5种

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图

会收到意想不到的结果

练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)

2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,

十六. 分解与合成策略

例16.、 30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题意可知偶因数

12345

必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为： C5?C5?C5?C5?C5

十八.数字排序问题查字典策略 例18．、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

54321

解:N?2A?2A?A?A?A?297

练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140

排列组合易错题正误解析

例1 从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,

则不同的取法有 种.

例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有

（ ）种.

（A） （B） （C） （D） 例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？ 例4 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） （A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种

例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不

同的排法共有（ ）种.

（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630 例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ） （A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个

例7 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现

有4

种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） .

例8 已知 是关于 的一元二次方程，其中 、 ，求解集不同的一元二次方程的个数. 例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.