排列组合
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有
m种不同的方法，…，在第n类办法中有mn不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2
种不同的方法，…，做第n步有mn
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
113
解: 由分步计数原理得C4C3A4?288
练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
522
解： AAA?480
练习题：某人射击8枪，命中4枪，
4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序
有多少种？ 4
解A55A6
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然
3
后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：A7/A73
4
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置甲乙丙
4
共有 1种坐法，则共有A7种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法
练习题: 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 C10
五.重排问题求幂策略
例5.、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排
n
各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为m种
练习题：
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节
目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法78
六.环排问题线排策略
例6.、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44并从此位置把
圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素
1
作圆形排列共有Amn n
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例7.、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
15
解:,则共有A24A4A5种
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座
位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. C52A44 练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种
任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位
数有多少个？
22
解：共有A2种排法 AA222练习题：
１、计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一
54
品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A22A5A4
552、 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A22A5A5种
十.元素相同问题隔板策略
例10.、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）
入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cm?1
n?1
练习题：1、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
2、x?y?z?w?100求这个方程组的自然数解的组数
3 C103
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶
312
数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有C5C5,和为偶数
123123的取法共有C5。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C5C5?C5C5?C5?9
二
班
七班
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12.、 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 2223
3。 C6C4C2/A
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以An n(n为均分的组数)避免重复计数。
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的
反面,再从整体中淘汰.
练习题：
1、 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
542
（C13） C84C4/A2
2、10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分 组方法？ （1540）
3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案有多少
2222
（C4C2A6/A2?90）
十三. 合理分类与分步策略
例13.、在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人
伴舞的节目,有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C32C32种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
112
员C5C3C4种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有C52C52种，由分类计数原理共有 2211222C3C3?C5C3C4?C5C5种。
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分
步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
练习题：
1、.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 2、 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）
十四.构造模型策略
例14.、 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2
盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
3
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C5 种
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）
十五.实际操作穷举策略
例15.、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有C52种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，
如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号
2
球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C5种
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图
会收到意想不到的结果
练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,
十六. 分解与合成策略
例16.、 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题意可知偶因数
12345
必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为： C5?C5?C5?C5?C5
十八.数字排序问题查字典策略 例18．、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
54321
解:N?2A?2A?A?A?A?297
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140
排列组合易错题正误解析
例1 从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,
则不同的取法有 种.
例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有
（ ）种.
（A） （B） （C） （D） 例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？ 例4 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） （A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种
例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不
同的排法共有（ ）种.
（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630 例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ） （A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个
例7 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现
有4
种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） .
例8 已知 是关于 的一元二次方程，其中 、 ，求解集不同的一元二次方程的个数. 例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.
第二篇：高中数学排列组合题型归纳总结
排列组合
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有
m种不同的方法，…，在第n类办法中有mn不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2
种不同的方法，…，做第n步有mn 3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
113
解: 由分步计数原理得C4C3A4?288
练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
522
解： AAA?480
练习题：某人射击8枪，命中4枪，
4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序
有多少种？ 4
解A55A6
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然
3
后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：A77/A3
4
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置甲乙丙
4
共有 1种坐法，则共有A7种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法
练习题: 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 C10
五.重排问题求幂策略
例5.、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排
n
各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为m种
练习题：
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节
目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法78
六.环排问题线排策略
例6.、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44并从此位置把
圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素
1
作圆形排列共有Amn n
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例7.、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
15
解:,则共有A24A4A5种
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座
位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. C52A44 练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种
任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位
数有多少个？
22
解：共有A2种排法 AA222练习题：
１、计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一
54
品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A22A5A4
552、 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A22A5A5种
十.元素相同问题隔板策略
例10.、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）
入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cm?1
n?1
练习题：1、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
2、x?y?z?w?100求这个方程组的自然数解的组数
3 C103
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶
312
数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有C5C5,和为偶数
123123的取法共有C5。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C5C5?C5C5?C5?9
二
班
七班
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12.、 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 2223
3。 C6C4C2/A
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以An n(n为均分的组数)避免重复计数。
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的
反面,再从整体中淘汰.
练习题：
1、 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
542
（C13） C84C4/A2
2、10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分 组方法？ （1540）
3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案有多少
2222
（C4C2A6/A2?90）
十三. 合理分类与分步策略
例13.、在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人
伴舞的节目,有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C32C32种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
112
员C5C3C4种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有C52C52种，由分类计数原理共有 2211222C3C3?C5C3C4?C5C5种。
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分
步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
练习题：
1、.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 2、 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）
十四.构造模型策略
例14.、 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2
盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
3
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C5 种
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）
十五.实际操作穷举策略
例15.、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有C52种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，
如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号
2
球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C5种
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图
会收到意想不到的结果
练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,十六. 分解与合成策略
例16.、 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题意可知偶因数
12345
必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为： C5?C5?C5?C5?C5
十八.数字排序问题查字典策略 例18．、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
54321
解:N?2A?2A?A?A?A?297
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140
排列组合易错题正误解析 例1 从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.
例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.
33
（A）A4 （B）43 （C）34 （D）C4 例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？ 例4 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种
例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不
同的排法共有（ ）种.
223C7C5A3
（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630
2例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ）
（A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个
例7 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4
种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） .
例8 已知ax2?b?0是关于x的一元二次方程，其中a、b?{1,2,3,4}，求解集不同的一元二次方程的个数.
例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.
第三篇：沪科版二元一次方程组知识点归纳总结题型
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题
把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。 二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：
代入消元法
例：解方程组x+y=5①
6x+13y=89②
解：由①得 x=5-y③
把③带入②，得 6(5-y)+13y=89 y=59/7
把y=59/7带入③， x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。
加减消元法
例：解方程组x+y=9①
x-y=5②
解：①+② 2x=14 即 x=7 把x=7带入① 得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解
像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。 二元一次方程组的解有三种情况：
1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②， 因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
教科书中没有的几种解法
(一)加减-代入混合使用的方法.
例1, 13x+14y=41 (1)
14x+13y=40 (2)
解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3)
把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得 x=1 所以:x=1, y=2
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.
(二)换元法
例2， (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 所以x+5=6,
y-4=2 所以x=1, y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（三）另类换元
例3， x:y=1:4 5x+6y=29
令x=t, y=4t 方程2可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4
二元一次方程组的解
一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
一般来说，二元一次方程组只有唯一的一个解。
注意 ：
二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题） ☆ 内容提要☆
一、 基本概念 1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 2． 分类：
二、 解方程的依据—等式性质 1．a=b←→a+c=b+c 2．a=b←→ac=bc (c≠0)
三、 解法
1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。
2． 元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法 ②加减法
四、 一元二次方程 1．定义及一般形式： 2．解法：⑴直接开平方法（注意特征） ⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式） ⑶公式法： ⑷因式分解法（特征：左边=0） 3．根的判别式： 4．根与系数顶的关系： 逆定理：若 ，则以 为根的一元二次方程是： 。 5．常用等式：
五、 可化为一元二次方程的方程
1．分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法（如， ）⑷验根及方法
2．无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法⑷验根及方法
3．简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代
六、 列方程（组）解应用题
一概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 ⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。 ⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
二常用的相等关系
1． 行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt ⑴相遇问题(同时出发)： + = ;
⑵追及问题（同时出发）：若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则
⑶水中航行： ;
2． 配料问题：溶质=溶液×浓度 溶液=溶质+溶剂 3．增长率问题：
4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。
5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 三注意语言与解析式的互化
二元一次方程组练习题
一、选择题：
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．
+4y=6 D．4x=
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．
3．二元一次方程5a－11b=21 （ ）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解
4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（ ）
A．
5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．
6．方程组
的解与x与y的值相等，则k等于（ ）
7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x－y=7； ②4x+1=x－y； ③+y=5； ④x=y； ⑤x2－y2=2
⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A．1 B．2 C．3 D．4
8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）
A．
二、填空题
9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________．
10．在二元一次方程－
x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．
11．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．
12．已知
是方程x－ky=1的解，那么k=_______．
13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．
14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．
15．以
为解的一个二元一次方程是_________．
16．已知
的解，则m=_______，n=______．
三、解答题
17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值．
18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？
19．二元一次方程组
的解x，y的值相等，求k．
20．已知x，y是有理数，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，则x－y的值是多少？
21．已知方程x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为
．
22．根据题意列出方程组：
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
23．方程组
的解是否满足2x－y=8？满足2x－y=8的一对x，y的值是否是方程组的解？
24．（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2－（m－2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？