一元一次不等式基础知识点及例题、练习

现代双语实验学校  曹伟

1.用不等号＞、＜表示不等关系的式子，叫不等式。

如120＞135 ，x＜30  ,120＜5x

例题：用不等式表示下列数量关系。

    （1）a的一半与－3的和小于或等于1。

   

   

解：

   

   

   

     x的5倍加16：5x＋16  其关系不大于：

 练习用不等式表示：x的2倍与1的和大于－1为__________，y的与t的差的一半是负数为_________

2.能使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。

例题：下列各数中，哪些是不等式x+2＞5的解？那些不是？

-3，-2，-1,0,1.5，2.5，3，3.5,5,7

3.一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。

例题：两个不等式的解集分别为x＜2和x≦2，他们有什么不同？在数组上怎么表示他们的区别？

练习：两个不等式的解集分别为x≦1和x>1，他们有什么不同？在数组上怎么表示他们的区别？

4.不等式的性质。如果(1)a＞b，那么a+c＞b+c,a-c＞b-c.(2).如果a＞b,并且c＞0,那么ac＞bc. (3).如果a＞c，并且c＜0,那么ac＜bc.

例题： 指出下列各题中不等式的变形依据

  1）由3a>2得a>    2) 由3+7>0得a>-7    

3）由-5a<1得a>-    4)由4a>3a+1得a>1

练习： 把下列不等式变成x>a  x<a的形式。

   X+4>7           5x<1+4x              -x>-1            2x+5<4x-2

5不等号的两边都是整数，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式。

例题判断下列属于一元一次不等式的是（）   

10>8           2x+1>3y+2                  x ² +3>5

判断下列哪些是一元一次方程，哪些是一元一次不等式

x+1＜6      x+8=2 x    30 x ≥90       x+1＜6      x+2 x  ≦3      13 x+1=6

6一元一次方程的解法解一元一次方程有哪些步骤

⑴去分母——方程两边同乘以各分母的最小公倍数．

⑵去括号——应用分配律、去括号法则，

⑶移项—一般把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边。

⑷合并同类项——要注意只是系数相加减，字母及其指数不变．

⑸系数化为1——同除以未知数前面的系数或乘以系数的倒数，即ax＝b→x＝

例题联系上面一元一次方程的解法，解一元一次不等式，并将它的解集在数轴上表示出来

（1）2x+1＞3            (2)  3x+1＞2x-5     （说出变形的方法和其依据）(不等式的性质几)

练习联系上面一元一次方程的解法，解一元一次不等式，并将它的解集在数轴上表示出来

（1）2x+1＞3            (2)  3x+1＞2x-5     （说出变形的方法和其依据）(不等式的性质几)

7一元一次方程和一元一次不等式解法的比较

解方程的一般步骤：                   解不等式的一般步骤

1.       去分母                                          1. 去分母

2.       去括号                                          2. 去括号

3.       移项                                               3. 移项

4.       合并同类项                                   4. 合并同类项

5.       系数化为1                                   5. 系数化为1

例题1．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：

（1）2（x+2）-6≤-3（x-4）       （2）5-

例、练习根据下列条件，求x的取值范围：

（1）2x-1的值不小于0；           （2）的值小于1．

8一元一次不等式组的概念

一般地，由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组。

要点：（1）组成不等式组的不等式必须是同一个未知数的不等式；

（2）每一个不等式必须是一元一次不等式；

（3）“几个”并没有确定个数，但必须是两个或两个以上；

（4）每个不等式在不等式组中的地位是相同的，并列的，缺一不可。

一元一次不等式组中各个不等式的解的公共部分叫做这个不等式组的解（

例题、下列不等式组是一元一次不等式组的是（  ）

 A.              B.           C.          D

练习、下列不等式组中，解集是2＜x＜3的不等式组是(　       )

A．     B．            C．                  D．

不等式组的解集在数轴上表示正确的是    (    )

 

                                                              

9解不等式组的步骤：

求不等式组的解的过程叫做解不等式组。

1.  分别解不等式组中的每一个不等式；

2.  将每一个不等式的解在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；

3.  写出这个一元一次不等式组的解。

4.       由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解的四种情况见下表：

 例题〔20##?芜湖市〕求满足不等式组的整数解

练习解下列一元一次不等式组，并把它的解在数轴上表示出来。

（1）          （2）                               

一元一次方程的应用例题河北省)在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题中共有25道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少选对了______道题。

　　评析：不等式应用题的难点之一是辨别它与方程应用题的异同，如何列出不等式，要善于抓住题中“不低于”、“至少”等字词的数学含义。本题中对“倒扣2分”应理解为不选或选错，实际应扣6分，故当设选对了x道题，则不选或选错题为(25-x)道，则有

　　100-6(25-x)≥60  　解出：x≥18x=19，即他至少选对了19道题。

练习:1、某市)足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队应打15场已负3场，若要想积22分，那么这个队至少还要胜(　　)

　　A、3场　　　　B、4场　　　　C、5场　　　　D、6场

练习：2、某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．

    （1）按该公司要求可以有几种购买方案？

    （2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？

练一练：1 解下列不等式并把解集在数轴上表示出来

 2x+3＜3x+2        -3x+2≤5           -≠2　

2：x取哪些正整数时，代数式3-的值不小于代数式的值？

3：若|3x-6|+(2x-y-m)²=0，求m为何值时y为正数。

第二篇：一元一次不等式知识点总结

一元一次不等式

重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。 知识点一：不等式的概念

1. 不等式：

用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：

(1) 不等号的类型:

① “≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；

③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；

④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；

⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；

(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：

由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

要点诠释：

不等式的解集必须符合两个条件：

(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；

(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

知识点二：不等式的基本性质

基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 符号语言表示为：如果，那么。 基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。 基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 符号语言表示为：如果 要点诠释： ，并且，那么（或）

(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；

(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；

(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；

(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。 知识点三：一元一次不等式的概念

的不等式，叫做一元一次不等式。

要点诠释： 只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样

(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：

①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为1。

(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。

知识点四：一元一次不等式的解法

1.解不等式：

求不等式解的过程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步

骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.

要点诠释：

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用

（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。

3.不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。

要点诠释：

在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左 规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）

1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。（性质2、3要倍加小心）

2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。

3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。

要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。

5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题。

6、常见不等式的基本语言的意义：

（1）

（3）

（5）

（7），则x是正数； （2），则x是非正数； （4），则x大于y； （6），则x不小于y； （8），则x是负数； ，则x是非负数； ，则x小于y； ，则x不大于y；

（9）或，则x，y同号；（10）或，则x，y异号；

（11）x，y都是正数，若，则；若，则；

（12）x，y都是负数，若，则；若，则