第一章一元一次不等式和一元一次不等式组

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一．   不等关系

1.用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），，连接的式子叫做不等式。

2.（非负数=大于等于0 ） = （0和正数=不小于0）

（非正数=小于等于0） = （0和负数=不大于0）

二．   不等式基本性质

1．不等式的两边加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变，即，如果a>b，那么a+c>b+c, a-c>b-c.

2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即，如果a>b，并且c>0，那么ac>bc， .

3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即，如果a>b，并且c<0，那么ac<bc， .

三．不等式的解集在数轴上的表示：

方向：大于号向右，小于号向左。

有等号的画实心圆圈，无等号的画空心圆圈；

四．一元一次不等式

1． 只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数最高次数为1

2． 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，特别注意，当不等式两边都乘以或除以一个负数时，不等式方向改变。

3． 解一元一次不等式的步骤：

①去分母；②去括号；③ 移项；④合并同类项；

⑤系数化为1

4． 不等式应用题

①审题，设出的未知数。②找出题中不等式的数量关系（要抓住题中的关键字眼，如“大于”，“小于”，“不大于”，“不小于”；）

③列出不等式；④解不等式⑤答

五．一元一次不等式与一次函数

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一元一次不等式

一、不等式的解和解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个使这个不等式成立的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

一个不等式所有解的集合通称为解集；

二、解不等式

求不等式解集的过程叫做解不等式。

三、用数轴表示不等式的解集

用数轴表示不等式应该记住以下规律：①不等号大于向右画，小于向左画；②有等号画实点，无等号画空心点。

三、不等式的性质

1、不等式成立与不等式不成立的意义

对于含有未知数的不等式来说，当未知数取某些值时，不等式的左右符合不等号所表示的大小关系，我们就说，不等式成立；当未知数取某些值时，不等式的左右两边不符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式不成立。

2、不等式的基本性质

不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

用式子可表示为：如果a＞b，那么a±c＞b±c

不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

                用式子可表示为：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（）

不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

用式子可表示为：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（）

四、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

一元一次不等式经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，都能化成ax＞b或ax＜b的最简形式。

四、一元一次不等式的解法

利用不等式得性质，我们可以把一个较复杂得一元一次不等式逐步转化为x＞a（x≥a）或x＜a（x≤a）。这个过程叫做解一元一次不等式。

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一元一次不等式

重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。 知识点一：不等式的概念

1. 不等式：

用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：

(1) 不等号的类型:

① “≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；

③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；

④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；

⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；

(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：

由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

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一元一次不等式基础知识点及例题、练习

现代双语实验学校  曹伟

1.用不等号＞、＜表示不等关系的式子，叫不等式。

如120＞135 ，x＜30  ,120＜5x

例题：用不等式表示下列数量关系。

    （1）a的一半与－3的和小于或等于1。

   

   

解：

   

   

   

     x的5倍加16：5x＋16  其关系不大于：

 练习用不等式表示：x的2倍与1的和大于－1为__________，y的与t的差的一半是负数为_________

2.能使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。

例题：下列各数中，哪些是不等式x+2＞5的解？那些不是？

-3，-2，-1,0,1.5，2.5，3，3.5,5,7

3.一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。

例题：两个不等式的解集分别为x＜2和x≦2，他们有什么不同？在数组上怎么表示他们的区别？

练习：两个不等式的解集分别为x≦1和x>1，他们有什么不同？在数组上怎么表示他们的区别？

4.不等式的性质。如果(1)a＞b，那么a+c＞b+c,a-c＞b-c.(2).如果a＞b,并且c＞0,那么ac＞bc. (3).如果a＞c，并且c＜0,那么ac＜bc.

例题： 指出下列各题中不等式的变形依据

  1）由3a>2得a>    2) 由3+7>0得a>-7    

3）由-5a<1得a>-    4)由4a>3a+1得a>1

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四、列一元一次方程解应用题的步骤有：

1、审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。

2、设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。

3、找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。

4、列方程：根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。

5、解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。

6、检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。

7、作答：正确回答题中的问题。

五、常见的一元一次方程应用题：

1、和差倍分问题:

（1）增长量＝原有量×增长率； （2）现在量＝原有量＋增长量

2、等积变形问题：

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但面积不变。

2 （1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝?rh

（2）长方开的面积 周长＝2×（长+宽） S=长×宽

3、数字问题：

一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c 。

十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a 。

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。

4、市场经济问题：（ 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ）

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝商品利润×100% （3）售价=成本价×(1+利润率) 商品成本价

（4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x折： 折后价（售价）=标价×x计算。 10

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一元一次不等式(组 )

考点一、不等式的概念    （3分）

1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法

考点二、不等式基本性质   （3~5分）

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；

考点三、一元一次不等式    （6--8分）

 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1

考点四、一元一次不等式组    （8分）

 1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

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一元一次不等式

重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。 知识点一：不等式的概念

1. 不等式：

用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：

(1) 不等号的类型:

① “≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；

③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；

④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；

⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；

(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：

由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

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