20xx-20xx学年上学期，我学习了硕士论文写作与学术规范课程。通过认真参加了秦宏老师“关于创造性研究的理论与方法问题”、罗福凯老师“论文写作与学术规范”、梁铄博士“经管类研究与论文写作”等几次讲座与报告，加深了对硕士论文写作与学术规范的理解，对于如何进行高水平的学术研究有了更加全面的认识，下面将本学期的收获与心得记录如下：
一、 硕士论文写作的意义
硕士论文写作是研究生教学计划所规定的学习任务之一，也是硕士研究生知识与能力结合、提升理论水准的一项重要环节。进行硕士论文写作，有利于全面训练研究生的教育科学研究能力，有利于引导研究生学会思考、学会发现、学会钻研，培养研究生的创新精神。同时，硕士学位论文是现行高等教育的基本内容，是实现高等教育培养目标的重要教学环节，在培养硕士研究生的综合运用能力、科学研究能力、实践操作能力等方面具有举足轻重的作用。具体而言，硕士论文的作用和意义体现在以下三个方面：
1、硕士论文体现着高等教育的教学目标和要求。
学术论文是发表学术成果的基本方式，是现代学术研究的标志，理应成为各级各类学术研究者熟练掌握的一种应用文体。适应学术研究的国际化惯例，能够写出合乎标准和要求的论文成为我国现行高等教育的基本教学目标和要求，也是现代高级专业人才应当具备的一种基本能力。
2、硕士论文是高校研究生教学质量的检验方式。
研究生论文写作水平是检验高校教学质量的重要指标，研究生生论文的水平往往能够体现出学校的教学水平。对于高速发展的中国高等教育和公立民办的各级各类高等院校而言，学术论文作为行之有效的研究生教学质量和水平的检验方式，仍有其不可替代的价值和意义。
3、硕士论文是专业学习的总结，是必需的学术训练。
研究生阶段的学习中，论文写作是一项基本内容。通过论文的撰写，研究生可以有目的、有计划地根据课题研究的需要，梳理、检验和完善自己的知识储备和结构，掌握论文写作的基本方法、规范、规律和标准，培育严谨求实的学术精神。
二、 硕士论文写作与学术规范
学术论文的规范是课题研究与表达过程中应遵循的基本原则，它是通过对于学术论文特征的全面分析，确立出评价论文质量的一般标准。
学术规范包含着多个层面、多个维度的丰富内涵。学术论文的特征表现为学术性、科学性、创造性与理论性四个方面。学术性是指语言的学术性、内容的学术性和问题的学术性。创造性的内涵包括：研究是否推翻前人不正确的定论；有无新发现或提出新理论，或解决新问题；研究虽为老问题，但有无新意，或在继承前人成果的运用中发现不足而予以完善；是否反映在众多观点中独树一帜的见解。科学性指合乎规律、真实、准确的知识与结论，在学术研究中体现出内容准确、思维严密性与论证推理合乎逻辑性。理论性是指在论文撰写过程中，运用理论思维，通过抽象、概括、说理来剖析事物的本质与规律，运用概念、判断、推
理所组成的论证方法来解决问题，从而使被解决的问题由一般现象上升到一定的理论高度。
所有这些规范，归纳起来，可以分成三个层面：（1）道德层面，即坚守学术道德，要以德治学，主要靠自律；（2）精神层面，即严谨的治学态度，实事求是的科学精神（3）技术层面，即应遵守论文当一般编写格式和体例。
硕士论文写作应当严格遵循这几个方面的规范性要求，严格接受制度化规范的制约，才能保证写出乎共通标准、具有一定学术价值的学术论文。硕士论文写作是最为基础的专业学术训练，其主要目的在于让学生了解学术论文写作的基本原则与程序，明确学术规范意识，掌握论文写作规律与方法，达到学以致用、理论与实际相结合的目的。如果不进行基本的学术规范教育与学术训练，论文写作过程中就可能会出现不必要的抄袭、剽窃、侵占、拼凑等不端行为，必将在学术界造成一种恶性循环。因此，学术规范教育和学术训练理应成为硕士论文写作过程中的核心内容。
三、 如何撰写高质量的学术论文
硕士论文的撰写是一个系统、完整的科学研究训练过程。从选题开始到答辩为止，包括一系列互相衔接而又密不可分的环节。只有把握好这些环节，才能达到培养独立研究能力的目的。通过一个学期的学习，我加深了对硕士论文撰写和遵守学术规范的认识，现以硕士研究生的学位论文规范为例，就如何撰写高质量的学术论文谈一下自己的心得和体会。
（一）千里之行，始于选题
选题是撰写学位论文的首要环节。选题的好坏往往是决定论文成功与否的关键。要选好题目，应该做到以下几点：
第一，选题要符合研究方向，不能超出本专业研究方向的范围随意去选，否则即使论文作得不错，也不易被通过。
第二，选题的价值性。研究课题在理论上要有开拓价值。凡是难以提出自己见解的题目，最好不要去选。
第三，要有现实意义。选题过程中要坚持理论与实际相结合的原则，不但要考虑“热点”问题，而且要善于发现具有发展潜力和前途的题目。要做到这一点很不容易，需要有较深的理论功底和敏锐的观察力。这也是在今后的学习和研究过程中自己应该努力的方向。
第四，选题的可行性。要在研究方向的范围内，根据所掌握的或可能掌握的资料，确定论文的题目。一方面要“小题大作”，而不要“大题小作”。另一方面要考虑题目是否缺乏实现的必要条件，如果资料很少，无法下手，也是不可取的。把握好这两点，论文就好拓宽加深，比较容易写深写透，避免面面俱到，蜻蜓点水，在论文写作过程中也能做到得心应手。
（二）做好开题，架好桥梁
开题是介于选题和写作之间的中间环节。做好开题工作，就能架起课题与写作之间的桥梁，将研究构思真正地开始付诸于实施。
在这个环节中，首先要查阅、消化和综合文献。题目确定后，要集中一段时间查阅文献。科学研究必须吸收前人的研究成果，避免重复或走弯路，并力求有所前进。在这个过程中要与导师多加沟通，根据导师提供的一些主要文献扩大知识面和阅读范围，并根据已经掌握的文献，从这些文献所引证的参考文献目录中进一步去查找其他文献。这种“顺藤摸瓜”的方法，是一个可以在较短的时间内
收集到较多资料的捷径。另外还要查阅与自己的研究工作有关的学术期刊，特别是一些重要期刊，要尽量精查精读，读一些重点文章。这里，起码要看完所有目录。这样，就可以了解本学科专业在这个问题上研究的历史和现状，发现其中存在的问题和发展趋势，以便从中找准自己的主攻方向。还要重视报刊文摘中的“二次文献”。
在研究文献资料时，要注意三个问题：一是要弄清别人所得出的结论是否正确，有无创新，有无偏颇之处；二是要弄清这一结论是如何得出的，别人的研究方法是什么；三是要弄清别人的成功和不足之处，不要盲目追随，要多问几个为什么，要能够举一反三、扬长避短。
开题阶段的一个重要成果就是在综合研究的基础上写出开题报告。开题报告的内容包括：本课题目前国内外研究的现状，包括进展与问题；本课题研究的理论意义和现实意义；本课题研究的主要内容和基本思路；论文完成时间，等等。开题报告在导师规定时间写好后，提交导师指导小组，讨论通过后，方可进入写作阶段。在写开题报告之前，最好能写出一个研究综述来。这样，开题报告就会写得很实在、很具体，也为下一步拟订大纲奠定扎实的基础。
（三）论文写作，重中之重
学位论文写作的第一阶段是在开题报告的基础上，进一步加工形成详细的写作提纲。提纲一定要经过导师的审阅和批准，方可开始写作。对于提纲，首先是要推敲好题目。论文的题目是文章的点睛之笔，要使读者一看就能抓住该文的主要特点。题目要具体不要空泛，要醒目不要流于一般，要简练不要冗长，更要注意思想的确定性，不要给人以似是而非的印象。
第二阶段是论文写作。论文写作忌匆忙从事，且不要无纲而作或草纲而作，以免走弯路，做无效劳动。在写作过程中，一定还会发现提纲中的问题，要注意及时加以修正。硕士学位论文一般控制在3~5万字，不易过长或过短。正文写好后，还要写好以下内容：
1、论文摘要。摘要是论文的“窗口”，要以十分简练的语言概括论文的精华。摘要最好是在全文完成以后再写，这样可以概括得更准确一些。写外文摘要时最好不由中文摘要直接翻译，因为中、外文的写作习惯是不同的，直译往往效果较差。应当摆脱中文的束缚直接用外文写作。篇幅还可以稍长一些。
2、关键词。要精选能反映本文主要特点的单词或词组。词组应简明通用，约定俗成，不要生编乱造。词组不宜过多，一般以3~4个为宜。
3、引言。引言的内容是要提供该论文的研究背景，包括研究的意义、历史和现状，由此引出写作论文的目的。
4、注释。注释要求准确、统一、标准化。引证一定要核对原文。特别是经典著作，有新版本的就不能引用老版本。格式要按照新闻出版署的规范要求进行统一。
5、参考文献。参考文献目录不规范是论文写作中的通病。列举参考文献时应注意：只能列出自己读过的文献，不能列出自己没有读过的文献；只能列出和本文有关的文献，不能列出不相干的文献；文献目录编排一定要分类，分类的参考系可以自己酌情而定。
6、致谢。这也是论文中必须有的内容。对自己论文的写作过程作些说明是必要的，对曾经支持和帮助过自己写作的人，特别是对自己的授课教师、论文的指导教师，表示感谢也是合乎情理的。但是一定要注意分寸，溢美之词太多是不必要的，把一些不大相干、无关紧要的东西也写了上去，是不合适的。
论文的写作过程，一般要经过大纲、初稿、定稿几个阶段。只有精心修改数易其稿，才能写出一篇质量较高的论文。一篇合格的学位论文，一般地说，在内容上要具有理论感、现实感和历史感。就是说，一定要有理论的深度，要有历史的根底，要回答现实提出的问题。在逻辑上，要具有整体性、规范性、朴实性，即体系要严密，表述要规范，包括印制成册过程中的校对，都要一丝不苟；文章要朴素无华，不要哗众取宠，更不要弄些故意让人读不懂的东西。
（四）精心准备，做好答辩工作
答辩是研究生完成学位论文，争取学位必须通过的环节，是本学科专业的专家学者以组织的形式对学位论文进行集体审查和评定。它不仅考查学位论文是否合格，而且考查学生在这个领域里所达到的理论水平。在答辩过程中，要认真准备好发言提纲。要把论文的精华部分特别是具有创造性的部分的思路整理出来，要突出重点，不要什么都讲。要记熟发言的内容，发言时不要念稿子。稿子只能作为发言时的“备忘录”。对于老师们提出的问题，要认真做好记录。需要回答的问题，一般是答辩委员会主席指定回答的几个问题。有时候需要进行归纳概括，回答几个主要问题。在答辩中回答问题，要掌握好时间，长话短说，少而精要在规定的时间内完成发言，切忌长篇大论，虎头蛇尾；不可偏离主题，答非所问；要谦虚，禁忌强不知以为知。
四、 总结
要写出高质量的学术论文，进行高水平的学术研究，仅仅遵守写作格式和体例规范是不够的，除了必要的知识要求和技巧方面的要求外，还要有良好的学风和治学态度。首先，学贵有恒。在为学的道路上，有中道而废和功成业就两种可能性，功亏一篑和大功告成完全取决于学者有恒和无恒。通过了解大师的学术生涯和治学之路，我深刻体会到在学术研究的道路上应当发扬有恒的精神，锲而不舍。第二、学贵专一。学习必须专心致志，治学必须注意精力集中。最后，学贵于勤。“业精于勤，荒于嬉;行成于思，毁于随。”作为一名研究生，无论是进德还是修业，都要严格要求自己，勤勤恳恳，精益求精。
通过课程的学习和老师的讲解，我也深刻认识到，论文要讲究社会责任。论文的功能是发现真理，推进科学技术发展，促进社会文明进步，造福于大众，而不是危害社会和大众。论文的发表，既享有一定的法律权利，也承担一定的法律义务。论文的内容不可违法，包括论文作者不允许抄袭他人研究成果作为自己论文里的内容，所有引用文献都应在论文里加以注释。论文的质量状况，在一定程度上蕴含着作者的专业素质和思想品质。
一个学期的课程接近尾声，通过学习与研究，我对于如何进行硕士论文写作，怎样遵守学术规范以及怎样提高学术论文的质量和水平有了更加深刻的理解。在进行学术研究的过程中，要秉承良好的学风和治学态度，同时还要注重论文的社会责任。在今后的学习和研究过程中，我会谨记老师的教导，刻苦钻研、严谨治学、严格遵守学术规范，同时牢记作为研究者的社会责任和使命，在追求真理的道路上不断进步。
第二篇：硕士论文写作与学术规范总结报告
浅谈硕士研究生学位论文的撰写
一、学位论文的意义
研究生学位论文是表明作者具有创造性研究成果或在研究工作中具有新的见解，并据此申请博士学位、硕士学位的重要文献资料，是社会的宝贵财富。学位论文的写作是研究生学习最为重要的一个阶段。在这个阶段里,研究生的学习情况、学术潜力与研究素质将得到一次综合的体现与检验，因此具有十分重要的意义。对个人而言,学位论文的写作可以说是十分神圣的事情。学位是对一个人的知识结构、学术能力和专业水平的一个综合评价,尤其是学位的获得不仅代表着一个毕业生获得了多少的知识,而且代表着他获得的一种学术精神,独立、自主、创造、尊重人类文化,这是学位的根本精神,而这种精神就具体体现在学位论文的写作中。
二、学位论文的选题
选题是撰写学位论文的首要环节。从过去的实践看，有些研究生在撰写论文时，虽然费了很多的精力和时间，但是质量不高，其中重要原因是论文题目没有选好。选题之难,不只是一个学科的事情,而是一个普遍的现象。怎样选题,选什么样的题,这是因人而异的事情,但选题成功的一些通则还是需要注意的：一是选题要符合研究方向，不能超出本专业研究方向的范围随意去选，否则即使论文作得不错，也不易被通过。二要注意选题的价值性，在理论上要有开拓价值。凡是难以提出自己见解的题目，最好不要去选。三是要有现实意义。有些人往往热衷于抽象的思辨，好像把问题说得越玄越好，别人越看不懂越好。这是不可取的。要坚持理论与实际相结合的原则。选题不但要考虑“热点”问题，而且要善于发现具有发展潜力和前途的题目。要做到这一点很不容易，需要有较深的理论功底和敏锐的观察力。但这必须作为一个努力方向。四要注意选题的可行性。有些选题看起来很有特色，也很重要，但是如果缺乏实现的必要条件，例如资料很少，无法下手，也是不可取的。如有人在选择论文题目时，最容易犯的毛病就是追求大题，似乎题目越大越好，结果往往难以做好。 最好是“小题大作，不要“大题小作”，这样,论文才好拓宽加深，比较容易写深写透，避免面面俱到，蜻蜓点水。总之，要在研究方向的范围内，根据所掌握的或可能掌握的资料，确定论文的题目。
三、学位论文的开题
开题是介于选题和写作之间的中间环节。在这个环节中,首先要查阅、消化和综合文献。题目确定后,要集中一段时间查阅文献。科学研究必须吸收前人的研究成果,避免重复或走弯路，并力求有所前进。在这个问题上,导师要提供一些主要文献并指出一个大的范围，让学生逐步扩大知识面。学生可以根据已经掌握的文献，从这些文献所引证的参考文献目录中进一步去查找其他文献。这种“顺藤摸瓜”的方法，是一个可以在较短的时间内收集到较多资料的捷径。另外还要查阅与自己的研究工作有关的学术期刊，特别是一些重要期刊，要尽量
精查精读，读一些重点文章。这里,起码要看完所有目录。这样，就可以了解本学科专业在这个问题上研究的历史和现状,发现其中存在的问题和发展趋势，以便从中找准自己的主攻方向。还要重视报刊文摘中的“二次文献”。现在,还充分利用电脑，进行网上查找。在查阅了大量文献的基础上,进行综合性研究。在研究文献资料时，要注意三个问题：一是要弄清别人所得出的结论是否正确，有无创新，有无偏颇之处；二是要弄清这一结论是如何得出的，别人的研究方法是什么；三是要弄清别人的成功和不足之处，不要盲目追随，要多问几个为什么，要能够举一反三、扬长避短。
这样，在综合研究的基础上再写出开题报告。开题报告的内容是：本课题目前国内外研究的现状，包括进展与问题；本课题研究的理论意义和现实意义；本课题研究的主要内容和基本思路；论文完成时间，等等。开题报告在导师规定时间写好后，提交导师指导小组，讨论通过后，方可进入写作阶段。有的导师提出，在写开题报告之前，最好能写出一个研究综述来。这样，开题报告就会写得很实在、很具体，也为下一步拟订大纲奠定扎实的基础。
四、学位论文的写作与修改
首先,学位论文的写作必须讲究严格的学术规范, 作为一个研究生,必须树立良好的学术道德观念,必须认识到学术道德同生活道德是同样重要的事情。同时平常也要注意养成一种良好的读书习惯,读书应勤做笔记,做笔记则要详细地记全摘录内容的出处,包括书名、作者、卷次、页码、出版社、出版年月等,这样在注释的规范化方面就会十分方便了。而且最好坚持使用原始材料,要有一种质疑精神,对他人引用过的第二手材料非用不可时,也得经过核对查实后再用。
学位论文写作可以分为两段：一是在开题报告的基础上,进一步加工形成详细的写作提纲。提纲一定要经过导师的审阅和批准,方可开始写作。对于提纲，首先是要推敲好题目。论文的题目是文章的点睛之笔，要使读者一看就能抓住该文的主要特点。题目要具体不要空泛，要醒目不要流于一般，要简练不要冗长，更要注意思想的确定性，不要给人以似是而非的印象。二是论文写作。论文写作忌匆忙从事，且不要无纲而作或草纲而作,以免走弯路,做无效劳动。在写作过程中,一定还会发现提纲中的问题,要注意及时加以修正。硕士学位论文一般控制在三至五万字，不易过长或过短。
正文写好以后，还要写好以下几个部分：(1)论文摘要。以简练的语言概括论文的精华,是论文的“窗口”。摘要最好是在全文完成以后再写，这样可以概括得更准确一些。 (2)关键词。能反映本文主要特点的单词或词组，不宜过多，一般以三至四个为宜。(3)引言。引言的内容是要提供该论文的研究背景，包括研究的意义、历史和现状，由此引出写作论文的目的。一般在一千字左右。(4)注释。注释要求准确、统一、标准化。引证一定要核对原文，特别是经典著作，有新版本的就不能引用老版本。格式要按照新闻出版署的规范要求进行统
一。(5)参考文献。只能列出自己读过的文献，不能列出自己没有读过的文献；只能列出和本文有关的文献，不能列出不相干的文献；文献目录编排一定要分类，分类的参考系可以自
己酌情而定。参考文献目录也是判断一个学生论文质量的“窗口”。(6)后记。对自己论文的写作过程作些必要的说明，对曾经支持和帮助过自己写作的人，特别是对自己的授课教师、论文的指导教师，表示感谢。
五、总结
一般地说，一篇合格的学位论文在内容上要具有三“感”,即理论感、现实感、历史感。就是说，既要有理论的高度，也要有历史的深度，还要回答现实的问题。在逻辑上，要具有整体性、规范性、朴实性。
理论必须与实际行动相结合，才能结出丰硕的果实。了解了学位论文写作的大体步骤和注意事项，接下来的就要落实到具体行动上了。本人目前正在查阅积累资料、确定选题，希望通过自己的努力和导师的指导，能够写出一篇合格乃至优秀的毕业论文。
第三篇：硕士毕业论文范本
分 类 号： N941.5 密 级： 学校代码： 10638 学 号： 308070104013
硕 士 学 位 论 文
GM(1,1)模型的优化与一类强化缓冲算子
的构造
姓 名 ******* 指 导 教 师 ******* 教授
培 养 单 位 数学与信息学院 学 科 专 业 应用数学 研 究 方 向 不确定信息系统的预测与决策 申请学位类别 理学硕士 论文提交日期 二○一一年四月 论文答辩日期 二○一一年六月
西华师范大学学位评定委员会
四川·南充
二○一一年六月
Optimization of GM (1, 1) and a Kind of Practical Strengthening Buffer Operator
A Dissertation
Submitted to the Graduate Faculty
In Partial Fulfillment of the Requirement
For the Degree of Master of Natural Science
By
SUN Yan-na
Supervised by
Professor WEI Yong
Major in
Applied Mathematics
In
Department of Mathematics and Information
China West Normal University
Nanchong, Sichuan Province, China
Jun, 2011
目 录
目 录
摘 要........................................................................................................................... II ABSTRACT.................................................................................................................IV
第1章 前言................................................................................................................ 1
1.1 本课题的目的、意义.......................................................................................... 1
1.2 论文的主要内容.................................................................................................. 2
第2章 灰建模及缓冲算子的基础理论 ................................................................... 3
2.1 灰建模的基本原理.............................................................................................. 3
2.2 缓冲算子的基本理论.......................................................................................... 4
第3章 灰色GM(1,1)模型及缓冲算子的研究 ........................................................ 6
3.1 GM(1,1)模型的研究现状.................................................................................... 6
3.2 缓冲算子的研究现状.......................................................................................... 8
第4章 GM（1，1）模型建模方法的改进 ............................................................... 9
4.1 优化灰导数的等间距GM(1,1)........................................................................... 9
4.2 优化灰导数的非等间距GM(1,1)..................................................................... 13
第5章 一类新的缓冲算子的构造及缓冲算子新定理 ......................................... 19
5.1 一类新的实用强化缓冲算子的构造................................................................ 19
5.2 缓冲算子新定理................................................................................................ 22
第6章 结论与展望 ................................................................................................. 25
6.1 全文总结............................................................................................................ 25
6.2 研究展望............................................................................................................ 26
参考文献...................................................................................................................... 27 致 谢.......................................................................................................................... ⅰ 关于学位论文使用授权的声明.................................................................................. ⅱ 关于学位论文原创性的声明...................................................................................... ⅲ 在学期间的科研情况.................................................................................................. ⅳ
I
摘 要
摘 要
GM（1，1）模型是灰色系统预测理论的基础与核心[1]，它已被广泛应用于农业、工业、气象、电力、经济、社会等领域。它将系统看成一个随时间变化而变化的指数函数，不需要大量的时间序列数据就能够建立预测模型，其计算简单已被普遍认同。但是一方面灰色系统理论还存在一些缺陷，其模型精度有待进一步提高，很多学者已在提高精度方面做了很多研究[3-7]。另一方面，由于现实生活中的数据往往因受到外界很多冲击因素的干扰而失真，为了排除扰动因素的作用，刘思峰教授开创了对波动数据预测的新领域，他针对级比渐趋稳定的数据序列，提出了用满足缓冲三公理的缓冲算子作用后进行建模预测的新思路，众多学者从不同的背景出发，提出了各种缓冲算子，大大提高了灰色预测建模精度，从而大大拓广了灰色系统理论的应用范围。文献[41]将缓冲算子的构造与函数结合起来，为缓冲算子的构造开辟了新方向，文献[49]对缓冲算子公理进行了补充，并构造了变权缓冲算子。
本选题在他们的工作的基础上，主要研究成果如下：
（1）通过对不用一次累加而直接建模的等间距GM(1,1)模型的灰色微分方程中的灰导数进行优化，提出了用z(t)?A(x(t)?C)，（其中A?ln((0)?
?(1)x(0)(k)(1)x(0)(k?1)，代)）
替原始灰色微分方程中的灰导数，同时用x(0)(k)代替原始灰色微分方程中的背景值z(1)(k)，得到新的灰色微分方程z(k)?ax(0)(k)?b，从而获得新模型，经过严格理论验证该模型具有指数，系数，平移常数重合性。大量的数据模拟和模型比较结果表明，优化后的模型提高了背景值的准确性以及灰预测模型的拟合精度和预测精度，且该模型既适合于低增长指数序列建模，也适合于高增长指数序列建模，同时也适合于非齐指数序列建模，可见新的建模方法大大提高了模型的模拟精度与预测精度，同时扩大了模型的适用范围。
（2）基于完全沿用等间距一次累加的原始非等间距模型精度不尽人意，但各种改进非等间距模型一次累加表达式复杂、计算繁琐这一基本事实，依据各种非等间距预测表达式都具有数据预测序列是时序指标的齐次指数函数的共同特征，提出不涉及非等间距的一次累加表达式，更无需其计算值，直接建立非等间距灰色微分方程，同时优化其灰导数，用序列拟合误差平方和最小来寻求最佳初始条件，获得了模拟预测精度较高的非等间距灰色预测模型。
（3）文献[41]将缓冲算子的构造与函数结合起来，为缓冲算子的构造开辟了新方向，文献[49]对缓冲算子公理进行了补充，并构造了变权缓冲算子。本选题在他
II
摘 要
们的工作的基础上，构造了一类缓冲算子，整合了这些常用的缓冲算子，使得常用缓冲算子更一般化了，也更加灵活了。
（4）在现有灰色系统缓冲算子公理体系下，本文得到了以下结果：设D为一强化（或弱化）缓冲算子，X?(x(1),x(2),?,x(n))为系统原始行为数据序列，其缓冲序列为XD?(x(1)d,x(2)d,?x(n)d)，f,g均为单调函数，并具有相同的单调性，且满足g(f(x(k)?，k?1,2,?,n，XD1?(x(1)d1,x(2)d1,?x(n)d1)，其中))x(k
x(k)1d?g[f(x(k),)则无论d]X为单调增长序列，单调衰减序列还是振荡序列， D1均为强化（或弱化）缓冲算子。
关键词：灰色理论；GM（1，1）模型；模型的改进；缓冲算子
III
Abstract
Abstract
GM (1, 1) is the foundation and core of grey system prediction theory [1-2]. And it has widely applied in numerous fields, such as agriculture, industry, meteorology, electric power, economy, society and so on. It regards a system as the exponential function which changes with the time variation, and does not need the massive time series data to establish the forecast model. The calculating simpleness for GM (1, 1) has been accepted by people. However, on the one hand, there are still some deficiencies in grey system theory, the accuracy of model need to be further improved. Many scholars have done a lot of research in improving the model accuracy [3~7]. On the other hand, due to real-life data tend to be under a lot of the impact of external interference factors, in order to exclude the impact of disturbance factors, Professor Liu Sifeng created a new field in prediction of fluctuated data, he aimed at the data series whose grade radio is becoming more and more stable, and presented a new idea to model for prediction after using the buffer operator based on the 3 axioms ,many scholars started from different backgrounds, and proposed a variety of buffer operators, then greatly increased the accuracy of grey prediction model, thus significantly broadened the field of application of grey system theory. Literature [41] connected the structure of buffer operator with functions, and opened a new direction for the structure of buffer operator .Literature [49] was supplemented for the buffer operator axioms, and constructed a variable weight buffer operator.
In this paper, on the basis of their work, the work in this dissertation mainly consists of following parts:
(1) This paper presents a new method to establish the direct model through optimizing
z(t)?ln(?
?(1)the x(0)(0)grey (k))(x(0)derivative, replacing the derivative (1)x(0)(k) by x(k?1)we getz(k)?ax(0)(k)?b. The new model has been proven strictly to have the property (1)(t)?C)， and the background valuez(k) byx(0)(k), then
of exponent, coefficient and translation constants superposition. The results of data simulation and model comparison show that the improved model in this paper raises the accuracy of background value, the fitting precision and forecasting precision. Moreover, it is not only suitable for the low growth sequence, but also suitable for the high growth sequence. What’s more, it is suitable for the nonhomogeneous exponential sequence. The new method not only improves the simulation and prediction precision, but also extends the application scope of GM (1, 1) model.
(2)Based on the truth that the accuracy of the original non-equidistance
IV
Abstract
model ,which completely adherence to 1-Ago of equidistance sequence ,is not satisfactory, but the 1-Ago expressions in the ways to improve the non-equidistance model are very complex and the calculation is very complicated, according to a variety of non-equidistance expressions have the common features that forecast sequence is the homogeneous exponential function about timing indicator, this paper proposes a method to establish gray differential equation of non-equidistant sequence directly, which does not involve the 1-Ago expressions of non-equidistance sequence , even without its calculated value, optimizing its gray derivative, with the sequence of squares and the smallest fitting error to find the best initial conditions, then we obtain a higher prediction accuracy of non-equidistant gray prediction model.
(3) Literature [41] connected the structure of buffer operator with functions, and opened a new direction for the structure of buffer operator .Literature [49] was supplemented for the buffer operator axioms, and constructed a variable weight buffer operator. This paper, on the basis of their work, constructs a class of buffer operator to integrate these common buffer operators, and make the buffer operator is more general and commonly used, and also more flexible.
(4)Based on the present theories of buffer operators in grey system, the following results are obtained in this paper: Assume that Dis a Strengthening (or weakening) Buffer Operator, X?(x(1),x(2),?,x(n)) is a sequence of raw data, XD?(x(1)d,x(2)d,?x(n)d)is a buffer sequence, f,gare all monotonously functions, and have the same monotonicity,satisfying g(f(x(k)))?x(k)，k?1,2,?,n，XD1?(x(1)d1,x(2)d1,?x(n)d1)，x(k)d1?g[f(x(k))d], then whenever X is a
monotonously increasing sequence, a monotonously decreasing sequence, or a vibration sequence, D1 is a strengthening(or weakening) operator.
Key words: grey system theory; GM (1, 1); improvement of model; buffer operators
V
第1章 前言
第1章 前言
1.1 本课题的目的、意义
由于元素信息不完全，结构信息不完全，边界信息不完全，运行行为信息不完全等造成的信息部不完全构成了我们“灰”的基本含义。在人们的社会经济活动、科研活动以及日常生活中经常会遇到信息不完全的情况，随着科学技术的高速发展，如何更有效地提高筛选和处理信息的能力，已引起人们的高度重视。在对系统行为的研究过程中，由于内在、外在因素的扰动的存在和人们认识事物水平的局限，使得人们所得到的信息以及对许多事物或系统的认识是不完全的，往往带有某种不确定性。随着现代科学技术的不断发展和人类社会的进步，人们对不确定性系统的研究也日益深入，出现了一大批从不同角度、不同侧面描述和处理各类不确定性信息的理论、方法和成果，如模糊数学、灰色系统理论、粗糙集理论、未确知数学等。在自然界和社会科学领域，不确定性问题普遍存在。针对“随机不确定”现象，及服从某种典型分布的对象，可以用概率统计去解决；而对于“认知不确定”问题，及内涵明确，外延不明确的对象，可以用模糊数学去研究。然而，对于另外一类不确定性问题，即少数据、小样本、贫信息的不确定性问题，概率统计、模糊数学就难以解决，灰色系统理论正好解决了这类难题，它的研究对象就是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“ 少数据”、“贫信息”不确定性系统。灰色系统理论通过对“部分” 已知信息的生成和开发来提取有用的信息，并实现对人类现实世界和事物发展趋势的确切描述和认识[1]。
19xx年，我国学者邓聚龙教授的两篇开创性论文“灰色系统的控制问题”和“灰色控制系统”的公开发表，标志着灰色系统理论这一新兴横断学科的问世。这一新理论收到国内外学术界和广大实际工作者的积极关注，许多学者开始以极大的热情开展理论探索及其在不同领域的应用研究工作。该理论在众多科学领域中得到许多成功的应用，赢得了国际学术界的肯定和关注。世界上有100多所大学，国内外有很多出版机构，国际权威行检索机构，许多重要国际会议等都对灰色系统理论给予了肯定，并对世界系统科学界同行进一步了解灰色系统理论起到了积极作用。
经过近30年的发展，灰色系统理论已形成了以“灰”为研究对象，在“差异信息原理”、“解的非唯一性原理”、“最少信息原理”、“认知根据原理”、“新信息优先原理”、“灰性不灭原理”的基础之上，建立起了一门新兴许可的结构体系。它的主要内容包括以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制和优化为主体的技术体系 [1-2]。
1
第1章 前言
灰色模型作为灰色系统理论的模型体系的核心，已被广泛应用于农业、工业、气象、电力、经济、社会等领域，并获得了较为合理的研究结论，掌握了事物发展变化的规律，并为我们预测事物的发展趋势提供了理论依据。GM（1，1）模型是灰色模型的基础与核心，将系统看成一个随时间变化而变化的指数函数，不需要大量的时间序列数据就能够建立预测模型，其计算简单已被普遍认同。但是灰色系统理论还存在一些缺陷，其模型精度有待进一步提高。另外由于现实生活中的数据往往因受到外界很多冲击因素的干扰而失真，为了排除扰动因素的作用，刘思峰教授开创了对波动数据预测的新领域，他提出了用满足缓冲三公理的缓冲算子作用后进行建模预测的新思路。灰色预测模型的应用范围日趋广泛，也成为了我们研究贫信息的不确定系统的重要方法，因而对灰色预测模型及缓冲算子的研究具有较为重要的学术意义和较为广泛的应用价值。
1.2 论文的主要内容
本文共分六章。第一章是前言，介绍了灰色系统的发展状况和研究动态；第二章介绍了灰建模的基本原理和缓冲算子的基本理论；第三章介绍了灰色GM（1，
1）模型的研究现状及缓冲算子的研究现状；第四章通过对原始GM（1，1）模型的研究和分析，分别对等间距和非等间距的GM(1,1)模型作出了改进和优化；第五章通过对现有缓冲算子的分析，构造了一类新的实用强化缓冲算子，并得出了缓冲算子的新定理；最后一章结论主要对前五章的研究成果加以总结，并对未来的研究提出了展望。
2
第2章 灰色建模及缓冲算子的基础理论
第2章 灰建模及缓冲算子的基础理论
2.1 灰建模的建模机理
研究一个系统，一般应先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能、协调功能以及系统各个因素之间的关联关系、因果关系、动态关系进行具体的量化研究。灰预测数据有以下内涵特点：序列性、少数据性、全新息性、时间传递性和灰因白果律。
2.1.1 等间距GM(1,1)模型的建模机理 先介绍两种灰序列生成算子：
累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法，它在灰色系统理论中占有极其重要的地位。
累减生成是在获取增量信息时常用的生成，累减生成对累加生成起还原作用。累减生成与累加生成是一对互逆的序列算子。
设X?0???x?0??1?,x?0??2?,x?0??3??,x?0??n??为原始数据序列，则
x
?0?
k
?k?d1
?
?
i?1
x
?
?0?
?k?称为
x??
0?
X
(0)
的一次累加生成算子（记为1-AGO）；
x
?0?
?k?d2
?x
0?
k?
k
?
??1?称为X(0)的一次累减生成算子（记为1-IAGO）
GM(1,1)的灰微分方程模型的基本形式为x(0)(k)?az（1）(k)?b，其中x(0)(k)为
（1）（1）
(k)?x(k?1)））灰导数，a为发展系数，z（1）(k)为白化背景值（z（1）(k)?x，
1
2
?x(0)(2)???z(1)(2)
?(0)??(1)x(3)?z(3)?，??(a,b)T为参数列，B??b为灰作用量。若a且Y????????(0)??(1)?x(n)????z(n)??
1?
?1?，则GM(1,1)???1??
??(BTB)?1BTY. 模型x(0)(k)?az（1）(k)?b的最小二乘估计参数列满足a
2.1.2 非等间距GM(1,1)模型的建模机理
定义1[1] 设序列X
?0?
?x
?
?0?
?k1?,x?0??k2?,x?0??k3??,x?0??kn??，若间距
?0?
?ki?ki?ki?1?const，则称X（0）是非等间距序列。
令x?
0?
为非等间距序列，x?
?
x
??0
?1?k,
??
x?
2
?
k,
??
?x??3
k,
??
x， ?n??
k
?ki?ki?ki?1?const,i?2,3,?,n，则非等间距GM(1,1)定义型为
3
第2章 灰建模及缓冲算子的基础理论
?x
(1)
(ki)
?ki
i
?az
(1)
(ki)?b
)
，其中?x((1ik)?
x
(i
(1
k?)
)
?1
xi(
(
k?)
1)
，ix(k)
x
(1)
(ki)?
?x
m?1
(0)
(km),z
(1)
(ki)?0.5(x
(1)
(ki)?x
(1)
(ki?1))
2.2 缓冲算子的基础理论
定义1[2] 设X?(x(1),x(2),?,x(n))为系统行为数据序列，若 ⑴ 若?k?1,2,?,n?1，x(k)?x(k?1)，则称X为单调增长序列； ⑵ 若?k?1,2,?,n?1，x(k)?x(k?1)，则称X为单调衰减序列； ⑶ 若?k,k'??1,2,?,n?1?，有x(k)?x(k?1)，x(k')?x(k'?1)，则称X为振荡序列。令M?max?x(k)k??1,2,?,n??，称M?mm?max?x(k)k??1,2,?,n??，为序列X的振幅。
定义2[2] 设X?(x(1),x(2),?,x(n))为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经过D作用后记为XD?(x(1)d,x(2)d,?,x(n)d)，称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。
序列算子作用可以多次进行。相应地，若D1,D2,D3都为序列算子，称D1D2为二阶算子作用序列，等等。
公理1[2] （不动点公理）设X为系统行为数据序列，D为序列算子，则D满足x(n)d?x(n)。
公理2[2]（信息充分利用公理）系统行为数据序列X中的每一个数据x(k)，
k?1,2,?,n都应充分参与算子作用的全过程。
公理3[2]（解析化、规范化公理）任意的x(k)d，k?1,2,?,n，都可以由一个统一的x(1),x(2),?,x(n)初等解析式表达。
公理4[49] （单调性不变公理）设X经序列算子D作用后所得数据序列为
XD?(x(1)d,x(2)d,?,x(n)d)，则序列XD
与序列X的单调性必须保持一致。
定义3满足以上四公理的序列算子称为缓冲算子，一阶、二阶、三阶……缓冲算子作用序列称为一阶、二阶、三阶……缓冲序列。
定义4[2] 设X为系统行为数据序列，D为缓冲算子，若满足下列两个条件，则称缓冲算子D为强化缓冲算子。
⑴ 当X为单调增长（单调衰减）序列时，缓冲序列XD比系统行为数据序列X的增长率（衰减率）加快；
⑵ 当X为振荡序列时，缓冲序列XD比系统行为数据序列X的振幅大。 定理1[2] 设X?(x(1),x(2),?,x(n))为系统行为数据序列，缓冲序列记为
XD?(x(1)d,x(2)d,?x(n)d)，那么
⑴ 当X为单调增长序列时，D为强化缓冲算子?x(k)d?x(k)，
4
第2章 灰建模及缓冲算子的基础理论
k?1,2,?,n；
⑵ 当X为单调衰减序列时，D为强化缓冲算子?x(k)d?x(k)，k?1,2,?,n；
⑶ 当X为振荡序列时，D为强化缓冲算子则max?x(k)d??max?x(k)?，1?k?n1?k?n1?k?nmin?x(k)d??min?x(k)?。 1?k?n
从上述定理可以看出，单调增长序列在强化算子作用下，数据萎缩；单调衰减序列在强化缓冲算子作用下，数据膨胀。
5
第3章 灰色GM(1,1)模型及缓冲算子的研究
第3章 灰色GM(1,1)模型及缓冲算子的研究
3.1 GM(1,1)模型的研究现状
3.1.1 等间距GM(1,1)模型的研究现状
邓聚龙教授最先提出GM(1,1)的灰微分方程模型的基本形式为x(0)(k)?az(k?)
1（1）（1）(0)，其中bx(k)为灰导数，a为发展系数，z(k)为白化背景（1）（1）??(a,b)T为参数列，且值（z（1），b为灰作用量。若a(k)?x(k)?x(k?1)））2
?x(0)(2)???z(1)(2)
?(0)??(1)x(3)?，B???z(3)Y??
??????(0)??(1)?x(n)????z(n)??1??1?（1），则GM(1,1)模型x(0)(k)?az(k)?b的最小二乘???1??
??(BTB)?1BTY.经过众多学者的分析和研究，GM(1,1)建模步骤估计参数列满足a
中存在以下几个问题：
第一，利用灰色微分方程求发展系数a,灰作用量b时，最小二乘法指标函数不一定最合理，不一定是最优的方法，可以寻求更合理的方法来处理参数列??(a,b)Ta。
第二，利用白化微分方程求含a,b的响应式，灰色、白化微分方程本来不统一。
?(1)(1)?x(1)(1)?x(0)(1)求响应式中的待定系数，时间第三 : 利用初始条件x
操之过急, 选择单一。
第四：灰色微分方程中导函数、原函数是近似,可以通过数学方法使得方程中的原函数与导函数更匹配。
根据以上几个问题，很多学者做了研究，改进 GM(1,1)模型的建模方法主要有以下几种：(1)求参数列的方法；(2)改白化微分方程、改灰色微分方程、同时改白化和灰色微分方程、去白化微分方程，通过这些方法来实现灰色、白化微分方程的统一；(3) 对模型的初始条件进行改进; （4）对背景值的改进，优化灰导数，或同时优化这两者，使得方程中的原函数与导函数更匹配。
陈友军等人分析了最小二乘法指标函数的不一定合理性，并提出了用关联度最大作指标函数来求参数列a，b。对微分方程的改进上也有很多学者作了研究，
6
第3章 灰色GM(1,1)模型及缓冲算子的研究
这里主要介绍下(3)，(4)两种改进途径的研究现状。
(1)初始条件的改进
通过对模型产生误差的原因分析，有学者认为将x(1)(1)作为初始条件是不合理的，并有不少学者在这方面做了很多研究工作，对模型的初始条件的改进方法主要有以下两类：①根据灰色理论的新信息优先原理，将最后一项即最新的数据x(1)(n)作为灰色微分模型的初始条件[24]，在此基础上，另有学者提出了以任一项数据x(1)(m)m?1,2,?,n作为初始条件（即将m从1到n取值，对每一个值用GM（1，1）模型进行一次预测，找出平均相对误差最小（或在其他评价标准下）的模型对应的m，令m对应的x(1)(m)为初始条件）[26]，②根据最小二乘法理论，有学者提出用模拟（预测）值与原始数据的误差平方和最小来确定初始条件，通过对模型的初始条件的改进，大大地降低了预测误差。
(2)对背景值的改进
经过不少学者的研究分析，原始灰色GM（1，1）模型中背景值与灰导数不完全匹配，背景值的构造是产生误差的主要原因，因此，不少学者对模型的背景值的改进进行了研究，主要有以下改进方法：①运用指数平滑法将原背景值
[18-26](1)(1)(1)(1)，②罗党k?1,2,?,n?1z(k)优化为：Z(k)??x(k)?(1??)x(k?1)
等人做了更进一步的改进，对一阶线性微分方程两边进行积分，将原背景值z(1)(k)优化为：z(k)=(1)x
lnx(1)(1)(k)?x(1)(k?1)(1)(k)?lnx(k?1) k?2,3,?n[3]。通过对模型背景
值的改进，使得新模型不仅适用于低增长序列同时适用于高增长序列，而且模拟精度也大大提高了。
(3)对灰导数的改进
GM（1，1）模型的灰微分方程的基本形式是x(0)(k)?az(1)(k)?b
是邓聚龙教授在白化微分方程dx(1)k?2,3,...，(1)
dt?ax
(1)(1)将离散点列x?b的基础上，
(1)(1)(0)在k点的导数用差分形式来处理（即：
x(1)dxdt?xt?k(k)?x(k?1)?x(k)），将背景值(k)用z(1)(k)来代替而得到的。然而，这样的近似处理，使得GM（1，1）模型的模拟误差较大，因此，很多学者对灰导数进行了研究和优化：
文献[5] 不用一次累加而直接建模，并提出了以向前差商和向后差商的优化加权平均值作为灰导数白化值建立GM (1, 1) 的方法，并证明了该法具有线性变换一致性。
7
第3章 灰色GM(1,1)模型及缓冲算子的研究
3.1.2 非等间距GM(1,1)模型的研究现状
GM (1 ,1) 模型模拟和预测精度主要取决于参数a 和b ,而参数a 和b 的值又依赖于背景值的构造,因此,背景值成为直接影响GM(1 ,1) 模型模拟和预测精度的关键，而一次累加的定义直接影响背景值的构造。学者对非等间距GM (1 ,1) 模型的研究主要是对序列一次累加的定义的改进：
（1）在文献[38]中累加定义给出x?ki??
x?1??1??x?kj??kj，实际上这里的?0?j?1i?ki?可以理解为是将非等间距插值（以便利用等间距思路来处理非等间距问
题），但它在插值的时候没有考虑值的逐渐变化，而是采用了值的突变，这样就给模型带来了一定的误差，也在一定程度上影响了灰色系统理论的应用。
（2）文献[38]中的x???ki?可以理解为是将非等间距插值（以便利用等间距1
思路来处理非等间距问题），但由于它在插值的时候没有考虑值的逐渐变化，而是采用了值的突变，这样就给模型带来了一定的误差，也在一定程度上影响了灰色系统理论的应用，文献[27]通过考虑值的逐渐变化来给出新的累加定义：
x?1??ki??x?0?i
j?1?kj?k1???{?[xl?1?0??kj?1??x(0)(kj)?x?kj(0)(kj?1)l]}
（3）当原始数据经过一次累加后，如果还不接近指数形式，我们应当进行数据处理，使其接近指数形式，这样才可能得到好的模拟效果，又因为我们用指数形式进行模拟，文献[28]提出用x???t??ce对原始数据进行插值，得到了新的0dit
i
一次累加定义x?ki???1?x?0?i?kj?k1????cj?1e
j?2l?1dj?1?kj?1?l??
3.2 缓冲算子的研究现状
由于现实生活中的数据往往因受到外界很多冲击因素的干扰而失真，为了排除扰动因素的作用，刘思峰教授开创了对波动数据预测的新领域，他针对级比渐趋稳定的数据序列，提出了用满足缓冲三公理的缓冲算子作用后进行建模预测的新思路，众多学者从不同的背景出发，提出了各种缓冲算子，大大提高了灰色预测建模精度，从而大大拓广了灰色系统理论的应用范围。文献[43]将缓冲算子的构造与函数结合起来，为缓冲算子的构造开辟了新方向，文献[49]对缓冲算子公理进行了补充，并构造了变权缓冲算子。本文在他们的工作的基础上，构造了一类缓冲算子，整合了这些常用的缓冲算子，使得常用缓冲算子更一般化了，也更加灵活了。
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第4章 GM(1,1)模型建模方法的改进
第4章 GM（1，1）模型建模方法的改进
在本章里，作者对GM(1,1)模型进行了深入研究，根据GM（1，1）模型的原理，找出影响模型精度及其适应性的关键因素，并对其进行优化，提高了模型的精度，扩大了模型的适用范围，实例表明新模型具有较满意的模拟和预测效果，具有重要的理论价值和实际价值。
4.1优化灰导数的等间距GM(1,1)
虽然文献[3]、[4]、[7]从优化背景值的角度进行改进，使得白化微分方程与灰色微分方程更加匹配，大大提高了模型的精度，文献[5]不用一次累加而直接建模，并提出了以向前差商和向后差商的优化加权平均值作为灰导数白化值建立GM (1, 1) 的方法，但是根据GM（1，1）模型的原理，它将系统看成一个随时间变化而变化的指数函数，本文通过对不用一次累加而直接建模的灰色微分方程中的灰导数进行优化，从而优化了GM(1 ,1) 模型,数据模拟和模型比较表明,与原GM (1,1) 模型和文献[7]中提出的优化模型相比,本文优化后的模型模拟精度有所提高，具有较高的理论价值和应用价值。
4.1.1 对灰导数的优化
定理 1 设原始数据序列x?0???x?0??1?,x?0??2?,x?0??3??,x?0??n??，x?0?的1-IAGO序
00?10?)列为?(1x)?????(x?2?,??x?(?1)?3?,?,??x?0(1)??n，若x?0?满足指数形式
x?0?(k)=BeA(k?1)+C，则x?0?与?(1)x?0?具有相同的指数。
证明：若x?0?满足指数形式x?0?(k)=BeA(k?1)+C，则
?(1)x?0?(k)=x?0?(k)?x?0?(k?1)=BeA(k?1)+C?（BeA(k?2)+C）
=B(1?e?A)eA(k?1)
令D?B(1?e?A),则?(1)x?0?(k)=DeA(k?1)
若?(1)x?0?(k)满足齐次指数形式?(1)x?0?(k)=DeA(k?1),
x?0?k
(k)=??
i?2(1)x?0?(i)?x(0)(1)=B(1?e?A)(eA?e2A???e(k?1)A)?x(0)(1)
=BeA(k?1)+C，
即x?0?与?(1)x?0?具有相同的指数。证毕！
上述定理说明离散指数函数与其经一次累减生成的离散指数函数具有相同的指数。根据GM（1，1）模型的原理，它将系统看成一个随时间变化而变化的
9
第4章 GM(1,1)模型建模方法的改进
指数函数，
定理2 设原始数据序列x?0???x?0??1?,x?0??2?,x?0??3??,x?0??n??, 则
1）若x满足非齐次指数形式，即x
dx(?0??0?(k)=BeA(k?1)+C，则A?ln(??)1)0(()1)0((x(k)(k?1)x)，k?3。令(k)0)z(t)?dx((t)0)dt
)?A(x((t)?C)0)，写成离散形式有z(k)?dk
?0??A(x((k)?C)； 02）若x近似满足指数形式，即x(k)?Be
dx?0?A(k?1)+C，令Ak?ln(??1()(0)x(k)(k?1)1()(0)x)，k?3。令z(t)?(0)dx((t)0)dt?At(x((t)?C)0)，写成离散形式有
z(k)?(k)
dk?Ak(x(0)(k)?C)。
4.1.2利用优化的灰导数建模 灰色微分方程为
z(k)?ax(0)(k)?b (1)
将z(k)?A(x(0)(k)?C)代入(1)，有
A(x(0)(k)?C)?ax(0)(k)?b
整理得，
Ax(0)(k)?ax(0)(k)?b?AC
记b?AC?b?，Ax(0)(k)?z?(k)，则有
z?(k)?ax
?(0)(k)?b? (2) (2)式的最小二乘估计参数序列为a??(a,b?)T?(BTB)?1BTY，其中，
??x(3)?z?(3)?????(0)z(4)?x(4)??，B?Y??????????(0)?z(n)?????x(n)(0)1??(0)(0)?a1?x(2)?x(1)e。令C?，则b?b??AC，由?a1?e???1??
??(a,b)T。 此可得①式的最小二乘估计参数序列为a
1） 白化微分方程
dx(0)(t)dt?ax(0)(t)?b的时间响应函数为 10
第4章 GM(1,1)模型建模方法的改进
?0?x?t??b??a(t?1)b??0?x1?e?????a?a?
2） 灰色微分方程z(k)?ax(0)(k)?b的时间响应式为
x?0??k??b??a(k?1)b??0?x1?e?????a?a?， k?1,?n
定理 3 当原始序列为x?0?(k)=BeA(k?1)?C严格满足指数函数形式的时候，由新灰色微分方程z(k)?ax(0)(k)?b，其中z(k)?A(x(0)(k)?C), 和白化微分方程dx(0)(t)
dt?ax(0)(t)?b（其中a,b如2.2所述），组成的新GM(1,1)模型得到的模拟?(0)的指数，系数，平移常数与x?0?具有重合性。 序列x
证明：设原始序列为x(0)(k)?BeA(k?1)?C，则z(k)?A(x(0)(k)?C)，则存在常数a??A和b??AC,使灰色微分方程z(k)?ax(0)(k)?b成立。因此
b??a(k?1)b??0??AC??A(k?1)??AC?A(k?1)?(0)(k)?x???1??xe??B?C?e??Be?C????????a?a????A????A?
即当原始序列x?0?满足指数函数形式的时候，新GM(1,1)模型得到的模拟序列?(0)(k)的指数，系数，平移常数与x(0)(k)的指数，系数，平移常数具有重合性。x
证毕！
4.1.3数据模拟与精度比较
例1 以标准指数列x(0)(k?1)?e?ak取不同的发展系数a生成不同原始数据，我们分别以文献[4]的模型M1、文献[7]的M2和本文的新GM(1,1)模型M3进行数据拟合并比较其精度。
我
xi(们)分(别0)取?ai?0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0，得?{0xi(?1)xi, ,k?0,,?,5可得6)1，以表}1的数据为原始数据，用本文新
的GM(1,1)模型建模，并求出其平均绝对误差和平均相对误差。并与文献[7]的结论进行比较，得出表2
由表2可以看出无论是从模型平均相对误差还是平均绝对误差来看，本文的新GM(1,1)都大大优于其他模型。其实根本没有模型误差，只有因近似计算带来的计算误差。
表1: 原始数据
11
第4章 GM(1,1)模型建模方法的改进
xi
(0)
i
?ai
(1)
xi
(0)
(2)
xi
(0)
(3)
xi
(0)
(4)
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
1.1052 1.2214 1.4918 1.8821 2.2255 2.7183
1.2214 1.4918 2.2255 3.3201 4.9530 7.3890
1.3499 1.8221 3.3201 6.0496 11.0232 20.0855 90.0171 403.4288
xi
(0)
(5)
xi
(0)
(6)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
1.4918 2.2255 4.9530 11.0232 24.5325 54.5982 403.4288
1.6487 2.7183 7.3890 20.0855 54.5982 148.4132 1808.0424 268337.2865
4.4817 20.0886 7.3891 54.5982 12.1825 20.0856
2980.9580 22026.4658
148.4132 1808.0424 22026.4658
403.4288 8103.0839 162754.7914 3269017.372
表2 : 三种优化GM(1,1)模型的模拟误差
发展系数
?ai
M1 M2 M3
平均相对平均绝对平均相对误差（%） 误差 0.00187176 2.7756e-16 0.00092811 4.9960e-16 0.00075593 6.6613e-16 0.83996684 4.6074e-15 0.00059526 1.7986e-14 0.00034762 3.0642e-14 0.00383656 5.7732e-13 0.00014417 8.4308e-12 0.00001608 1.0973e-10 0.00006632 1.2251e-9
误差（%） 1.9112e-14 2.2971e-14 1.0493e-14 3.9083e-14 6.1841e-14 4.2231e-14 8.2333e-14 1.0857e-13 1.1680e-13 1.2004e-13
平均绝对平均相对平均绝对误差 0.000032 0.000062 0.000066 0.000166 0.000135 0.000104 0.007874 0.925802 0.809833 18.504937
误差（%） 误差 0.0023 0.0031 0.0013 0.0025 0.0010 0.0004 0.0017 0.0185 0.0014 0.0027
0.0000267 0.0000188 0.0000306 0.0758480 0.0000861 0.0000431 0.0069359 0.0019024 0.0014754 0.432216
0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
（注：M1, M2模型误差来自文献[7]） 例
x
?0?
2 : 原始数据序列
?{ 2.7180,7.3883,20.0835,54.5925,148.3978,403.3870,1096.5} .这是一个高增
长的序列，我们分别以文献[4]的模型M1、文献[7]的M2和本文的新GM(1,1)模型M3进行数据拟合并比较其精度。以前5个数据为原始数据进行模拟，以后2个数据作为预测效果检验，用本文新的GM(1,1)模型建模，并求出其相对误差。并与文献[7]的结论进行比较，得出表3，以原始数据建立模型可得
a??1.0000
, b? 5.8141e-006,
12
第4章 GM(1,1)模型建模方法的改进
?(0)(k)?{2.7180,7.3883,20.0835,54.5926,148.3981,403.3878,1096.5} x
表3 模拟和预测精度表
模拟值
?(0)(3) x?(0)(4) x?(0)(5) x
M1 相对误差（%）
0.112 -0.522 -1.160 0.506 M1
M2 相对误差（%） 0.00167516061 0.00247850403 0.00255535349 0.002645211916
M2
模拟值
（%）
（%）
403.42334621
-0.001649
403.3878 1096.5
-1.835 -2.484
相对误差
模拟值
M3 相对误差（%） -0.0000417 0.0001838 0.0001910 0.00013882
M3 相对误差（%） -0.00019832
平均误差 (%)
模拟值
模拟值 410.834 1123.837
相对误差
?(0)(6) x?(0)(7) x
1096.5988648 -0.0001035
0.000876
平均误差(%)
2.1595 -0.000099160
（注：M1为文献[4]建立的模型，M2为文献[7]建立的模型，M3为本文的新模型）
由表3可以看出本文的新GM (1,1)模型保持了较高的精度。相比而言，本文的新GM(1,1)模型无论是从模拟精度还是预测精度来看，都比文献[7]高, 其模拟及预测精度几乎达到100%.
4.1.4 总结
本文通过对GM(1,1)模型的灰导数进行优化分析，提出了通过优化灰导数的一种直接建模法，得出新的GM(1,1)模型。经过严格理论验证该模型具有指数，系数，平移常数重合性，而且经过标准指数序列和非标准指数序列的数据的模拟、预测验证，优化后的模型提高了灰微分方程和白化微分方程的吻合性以及灰预测模型的拟合精度和预测精度，并在保持原GM(1,1)模型计算简单等优点的基础上，拓广了其适应范围，该模型既适合用于低增长指数序列建模，也适合用于高增长指数序列建模，同时也适合于非齐指数序列建模!因此具有较高的理论价值和应用价值。
13
第4章 GM(1,1)模型建模方法的改进
4.2优化灰导数的非等间距GM(1,1)
文献[22,34,35]通过将序列的间距作为乘子而生成原始数据序列的一次累加序列，改进了非等间距GM(1 ,1)模型预测模型;文献[38]通过对一次累加生成序列开m次方,用背景值取代中心值,得到了一类基于中心逼近化的非等间距GM(1 ,1)模型预测模型。文献[39，40]提出了非等间距GM (1 ,1) 模型的背景值的改进方法,用齐次（非齐次）指数函数来拟合一次累加生成序列,提出了一种背景值构造的方法,获得了较高的预测精度。但各种改进非等间距模型一次累加表达式复杂、计算繁琐,本文依据各种非等间距预测表达式都具有数据预测序列是时序指标的齐次指数函数的共同特征，提出不涉及非等间距的一次累加表达式，更无需其计算值，直接建立非等间距灰色微分方程，同时优化其灰导数，用序列拟合误差平方和最小来寻求最佳初始条件，获得了模拟预测精度较高的非等间距灰色预测模型,并应用实例表明本文提出方法的有效性。
4.2.1对灰导数的优化
定义1[1] 设序列X?0???x?0??k1?,x?0??k2?,x?0??k3??,x?0??kn??，若间距
（0）?ki?ki?ki?1?con，则称sX是非等间距序列。
由于原始数据序列是接近指数形式的非等间距序列，设x?0?(t)=BeA(t?1)，曲线过两点(ki?1,x(0)(ki?1))，(ki,x(0)(ki))，则有：
x
(0)
(ki?1)?Be
A(ki?1?1)
（1），x(0)(ki)?BeA(k?1)（2）
i
由(2)/(1)得
A?
1(ki-ki-1)
ln
xx
(0)
(ki)
(0)
(ki?1)
定理1设原始数据序列X?0???x?0??k1?,x?0??k2?,x?0??k3??,x?0??kn??, 则 1）若x满足齐次指数形式，即x
dx
(0)
?0??0?
(ki)?Be
A(ki?1)
，则A?
1(ki-ki-1)dx
(0)
ln
xx
(0)
(ki)
(0)
(ki?1)
(0)
，
i?2
。令z(t)?
?0?
(t)
dt
?Ax
(0)
(t)，写成离散形式有z(ki)?
(ki)
dki1(ki-ki-1)dx
(0)
?Ax
(ki)；
2）若x近似满足指数形式，即x(ki)?Be
。令z(t)?
?0?
A(ki?1)
，令Ak?
i
ln
xx
(0)
(ki)
(0)
(ki?1)
(0)
，
i?2
dx
(0)
(t)
dt
?Atx
(0)
(t)，写成离散形式有z(ki)?
14
(ki)
dki
?Akix
(ki)。
第4章 GM(1,1)模型建模方法的改进
4.2.2初始条件的确定 白化微分方程
dx
(0)
(t)
dt
?ax
(0)
(t)?b的连续解为：x
(0)
(t)??
ca
e
?at
?
ba
（其中c
为待定系数）。为了达到最佳的拟合效果，根据原值序列拟合误差平方和
n
S?
?[x
i?1
?(0)
(ki)?x
(0)
(ki)]
2
最小来确定最佳系数c：
dSdc
n
显然S是关于c的函数，为求S最小时的c值，令?0即可。
n
2?[?
i?1
ca
e
?ak
i
?
ba
?x
(0)
(ki)](?
e
?aki
a
)?0可得c?
?[b?ax
i?1
ni?1
(0)
(ki)]e
?aki
?e
?2aki
4.2.3利用优化的灰导数建模 灰色微分方程为
z(k)?ax
(0)
(k)?b
?(a,b)
①
T
①式的最小二乘估计参数序列为a
?
?(BB)
(0)
T?1
BY
T
，其中，
??x(k2)?z(k2)?
???(0)
z(k3)?x(k3)??，B?Y??
????????(0)
z(k)?n????x(kn)1?
?1?。 ???1??
1） 白化微分方程
dx
(0)
(t)
dt
?ax
(0)
(t)?b的时间响应函数为
n
x
(0)
(t)??
ca
e
?at
?
ba
?[b?ax
??
i?1
ni?1
(0)
(ki)]e
?aki
e
?2aki
?at
?
ba
a?e
2） 灰色微分方程z(k)?ax
(0)
(k)?b的时间响应式为
n
x
(0)
(ki)??
ca
e
?aki
?
ba
?[b?ax
??
i?1
ni?1
(0)
(ki)]e
?aki
e
?2aki
?aki
?
ba
,k?1,2?n，
a?e
i
定理 2 当原始序列为x?0?(ki)?BeA(k?1)严格满足指数函数形式的时候，由新灰色微分方程z(ki)?ax(0)(ki)?b，其中z(ki)?Ax(0)(ki), 和白化微分方程
15
第4章 GM(1,1)模型建模方法的改进
dx
(0)
(t)
dt
x
?0?
?ax
(0)
?(0)的指数，系数与(t)?b，组成的新GM(1,1)模型得到的模拟序列x
具有重合性。
i
证明：设原始序列为x?0?(ki)?BeA(k?1)，则z(ki)?Ax(0)(ki)，则存在常数a??A和
b?0,使灰色微分方程z(ki)?ax
n
?(0)
(0)
(ki)?b成立。因此
n
?[b?ax
(ki)??
i?1
ni?1
n
(0)
(ki)]e
?aki
xe
?2aki
?aki
?
ba
?ABe
?
i?1
ni?1
A(ki?1)
e
Aki
e
2Aki
Aki
a?eA?e
?Be
Aki
?e
i?1ni?1
2Aki?A
?Be
2Aki
Aki
e
?A
?Be
A(ki?1)
?e
即当原始序列x?0?满足指数函数形式的时候，新GM(1,1)模型得到的模拟序列
?(0)(k)的指数，系数与x(0)(k)的指数，系数具有重合性。证毕！ x
4.2.4数据模拟与精度比较
例1[2] 表1：原始数据表
本例以原始的非等间距GM（1，1）模型为原模型，以文献[2]的模型为模型，记本文模型为新模型，得表2：
表2：模型的模拟效果和相对误差表
16
第4章 GM(1,1)模型建模方法的改进
了精度。
例2 [25] P.G 福雷斯研究了许多材料的长寿命对称循环下温度对疲劳强度的影响。表3是钛合金疲劳强度随温度变化的实验数据,这是一个非等间距序列。本文应用文献[25]的数据,用本文提出的方法对其建立模型并进行精度比较得表4。
表3 钛合金疲劳强度随温度变化关系
T/ ℃( ??1(x
ki
)
100 130 170 210 240 270 310 340 380
(0)
(ki))
560 557.54 536.10 516.10 505.60 486.10 467.40 453.80 436.4
表4：模型的模拟效果和相对误差表
要优于文献[11]的模型，而且本文简化了模型的表达式。 4.2.5总结
本文依据各种非等间距预测表达式都具有数据预测序列是时序指标的齐次指数函数的共同特征，提出不涉及非等间距的一次累加表达式，更无需其计算值，直接建立非等间距灰色微分方程，同时优化其灰导数，用序列拟合误差平方和最小来寻求最佳初始条件，获得了模拟预测精度较高的非等间距灰色预测模型。经
17
第4章 GM(1,1)模型建模方法的改进
过严格理论验证该模型具有指数，系数重合性，而且经过标准指数序列和非标准指数序列的数据的模拟、预测验证，优化后的模型提高了灰微分方程和白化微分方程的吻合性以及灰预测模型的拟合精度和预测精度。不用一次累加而直接用原始数据建模，既简化了计算，又提高了精度，具有较高的理论价值和应用价值。
18
第4章 GM(1,1)模型建模方法的改进
19
第5章 一类新的缓冲算子的构造及缓冲算子新定理
第5章 一类新的缓冲算子的构造及缓冲算子新定理
5.1 一类新的实用强化缓冲算子的构造
由于现实生活中的数据往往因受到外界很多冲击因素的干扰而失真，为了排除扰动因素的作用，刘思峰教授开创了对波动数据预测的新领域，他提出了用满足缓冲三公理的缓冲算子作用后进行建模预测的新思路，众多学者从不同的背景出发，提出了各种缓冲算子，大大提高了灰色预测建模精度，从而大大拓广了灰色系统理论的应用范围。文献[41]将缓冲算子的构造与函数结合起来，为缓冲算子的构造开辟了新方向，文献[49]对缓冲算子公理进行了补充，并构造了变权缓冲算子。本文在他们的工作的基础上，构造了一类缓冲算子，整合了这些常用的缓冲算子，使得常用缓冲算子更一般化了，也更加灵活了。 5.1.1一类新的缓冲算子的构造
定理5.1.1 设 X?(x(1),x(2),?,x(n))为系统原始行为数据序列，x(k)?0，
k?1,2,?,n
，其缓冲序列为X1D?(
r
(x11)d,x?1(2d)
,xn)，其(d中
)
x(k)d1?h[wk(x(k),x(k?1),?x(n))g(x(k))，
wn(x(n))?1,wk,g,h
r?0,wk?0,g?0,h?0,
且
均为单调函数，并具有相同的单调性，且满足
为单调增长序列，单调衰减序列还是振
h(g(x(k)))?x(k)，k?1,2,?,n则无论X
荡序列，D1均为强化缓冲算子。
证明：D1显然满足缓冲算子四公理，故D1为缓冲算子。 设wk,g,h均为单调递增函数，
（1）当X为单调增长序列时，则0?x(k)???x(i)???x(n) ，因为wk?0,g?0，wk,g为单调递增函数，所以
0?wk???wi???wn?1， 0?gk???gi???gn
因为r?0所以
0?wk???wi???wn?1，
r
r
r
从而
20
第5章 一类新的缓冲算子的构造及缓冲算子新定理
0?wkgk?gk r
因为h?0,h为单调递增函数，所以
0?x(k)d1?h(wkgk)?h(gk)?x(k)，即D1对单调增长序列为强化缓冲算子。 r
（2）当X为单调衰减序列，则x(k)???x(i)???x(n)?0，因为wk?0,g?0，wk,g为单调递增函数，所以
wk???wi???wn?1gk???gi???gn?0，
因为r?0所以
wk???wi???wn?1， rrr
从而
wkgk?gk r
因为h?0,h为单调递增函数，所以
x(k)d1?h(wkgk)?h(gk)?x(k)，即D1对单调增长序列为强化缓冲算子。 r
（3）当X为振荡序列时，设
x(?)?max?x(k)k?1,2,?,n?，
x(?)?min?x(k)k?1,2,?n?，
因为wk?0,g?0，wk,g为单调递增函数，所以
w??1,w??1，
因为r?0所以
w??1,w??1， rr
从而
w?g??g?,w?g??g?, rr
因为h?0,h为单调递增函数，所以
x(?)d1?h(w?g??h(gk)?x(?)，x(?)d1?h(w?g??h(g?)?x(?) rr即D1对振荡序列为强化缓冲算子。
同理可证，当wk,g,h均为单调递减函数时，无论X为单调增长序列，单调衰减序列还是振荡序列，D1均为强化缓冲算子。
5.1.2 应用
21
第5章 一类新的缓冲算子的构造及缓冲算子新定理
定理5.1.2
r
取定理5.1.1中的
h(x)?g(x)?x
，即
x(k)d2?wk(x(k),x(k?1),?x(n))x(k))
k?1,2,?,n则当wk
，
r?0,wk?0,
且
wn(x(n))?1,
为单调递增函数时，无论X为单调增长序列，单调衰减序列
还是振荡序列，D1均为强化缓冲算子。
定理5.1.3 当取定理5.1.2中的wk(x(k),?,x(n))?递增函数时，x(k)d3?
f(x(k))f(x(n))
f(x(k))f(x(n))
,r?1,则f(x)为单调
x(k)是强化缓冲算子。
f(x(k))f(x(n))
定理5.1.4 当取定理5.1.1中的wk(x(k),?,x(n))?
,r?1,g(x)?f(x)h(x)f(x(k))f(x(n))
取作f(x)的反函数，f(x)为严格单调函数，即x(k)d4?h(缓冲算子，这便是文献[41]中的定理2. 定理5.1.5当取定理5.1.1中的
wk(x(k),?,x(n))?r?1,g(x)?f(x),
f(x))是强化
f(x(k))???f(x(n))(n?k?1)f(x(n))
,
h(x)
取
作f(x)的反函数，f(x)为严格单调函数，则X为单调增长序列或单调衰减序列时，x(k)d5?h(中的定理3.
推论5.1.1当定理5.1.3中的f(x(k))?x(k)时
x(k)d6?
x(k)x(n)
?x(k)是强化缓冲算子,这便是文献[47]中的定理4. f(x(k))???f(x(n))(n?k?1)f(x(n))
f(x(k)))是强化缓冲算子，这便是文献[41]
推论5.1.2当取定理5.1.1中的
wk(x(k),?,x(n))?
x(k)???x(n)(n?k?1)x(n)
则X为单调增长序列,r?1,h(x)?g(x)?x时，
是强化缓冲算子,这便是文献?x(k)，
或单调衰减序列时x(k)d7?[47]中的定理5. 推
论
5.1.3
x(k)???x(n)(n?k?1)x(n)
取
(x(k))
定
,
理5.1.2中，
的则
wk(x(k),?,x(n))?
?(x(n))?(1??)x(k)
r?1,0???1
22
第5章 一类新的缓冲算子的构造及缓冲算子新定理
(x(k))x(k)d8??(x(n))?(1??)x(k)这便是文献[49]中的定理4. ?x(k)是强化缓冲算子。
5.1.3 结 语
本文将缓冲算子的构造与函数联系起来，构造了一类新的实用强化缓冲算子。由于只要求函数为单调（递增或递减）而非严格单调函数，这样的函数随手可得，一次可以构造一大类缓冲算子，为解决扰动数据序列的建模提供了很多选择，有一定的实用价值。
5.2 缓冲算子新定理
定理5.2.1设D为一强化缓冲算子，X?(x(1),x(2),?,x(n))为系统原始行为数据序列，其缓冲序列为XD?(x(1)d,x(2)d,?x(n)d)，f,g均为单调函数，并具有相同的单调性，且满足g(f(x(k)))?x(k)，k?1,2,?,n，XD1?(x(1)d1,x(2)d1,?x(n)d1)，其中x(k)d1?g[f(x(k))d],则无论X为单调增长序
列，单调衰减序列还是振荡序列， D1均为强化缓冲算子。
证明：D1显然满足缓冲算子公理2和公理3。
设f,g 均为单调递增函数，
（1）当X为单调增长序列时，则x(k)???x(i)???x(n)
因为f为单调递增函数，所以
f(x(k))???f(x(i))???f(x(n))，
因为D为一强化缓冲算子，所以
f(x(k))d???f(x(i))d???f(x(n))d，
f(x(k))d?f(x(k)),k?1,2?n且f(x(n))d?f(x(n))
因为g为单调递增函数，所以
g[f(x(k))d]???g[f(x(i))d]???g[f(x(n))d]（公理4），
g[f(x(k))d]?g[f(x(k))],k?1,2?n且g[f(x(n))d]?g[f(x(n))]
即g[f(x(k))d]?x(k),k?1,2?n且g[f(x(n))d]?x(n)（公理1）
故D1对单调增长序列为强化缓冲算子。
（2）当X为单调衰减序列，则x(k)???x(i)???x(n)，
因为f为单调递增函数，所以
23
第5章 一类新的缓冲算子的构造及缓冲算子新定理
f(x(k)???f(x(i))???f(x(n))，
因为D为一强化缓冲算子，所以
f(x(k))d???f(x(i))d???f(x(n))d，
f(x(k))d?f(x(k)),k?1,2?n且f(x(n))d?f(x(n))
因为g为单调递增函数，所以
g[f(x(k))d]???g[f(x(i))d]???g[f(x(n))d]（公理4），
g[f(x(k))d]?g[f(x(k))],k?1,2?n且g[f(x(n))d]?g[f(x(n))] 即g[f(x(k))d]?x(k),k?1,2?n且g[f(x(n))d]?x(n)（公理1） 故D1对单调衰减序列为强化缓冲算子。
（3）当X为振荡序列时，设
x(?)?max?x(k)k?1,2,?,n?， x(?)?min?x(k)k?1,2,?n?， 同理于（1），（2）的证明，D1满足公理1和公理4，故D1为缓冲算子。
因为f为单调递增函数，所以f(x(k)),k?1,2?n也为振荡序列，且
f(x(?))?max?f(x(k))k?1,2,?,n?， f(x(?))?min?f(x(k))k?1,2,?n? 因为D为一强化缓冲算子，所以
f(x(?))d?f(x(?))，f(x(?))d?f(x(?))
因为g为单调递增函数，所以
g[f(x(?))d]?g[f(x(?))]，g[f(x(?))d]?g[f(x(?))]
即g[f(x(?))d]?x(?)，g[f(x(?))d]?x(?)
故D1对振荡序列为强化缓冲算子。
同理可证，当f,g均为单调递减函数时，无论X为单调增长序列，单调衰减序列还是振荡序列，D1均为强化缓冲算子。
定理5.2.2 设D为一弱化缓冲算子，X?(x(1),x(2),?,x(n))为系统原始行为数据序列，其缓冲序列为XD?(x(1)d,x(2)d,?x(n)d)，f,g均为单调函数，并具有相同的单调性，且满足g(f(x(k)))?x(k)，k?1,2,?,n，XD2?(x(1)d2,x(2)d2,?x(n)d2)，其中x(k)d2?g[f(x(k))d]则无论X为单调增长序
列，单调衰减序列还是振荡序列， D2均为弱化缓冲算子。
24
第5章 一类新的缓冲算子的构造及缓冲算子新定理
上述性质的证明过程与性质1的证明类似, 略。
作者将缓冲算子的构造与函数联系起来，构造了一类新的实用缓冲算子。由于只要求函数为单调（递增或递减），这样的函数随手可得，已有的任何一个缓冲算子（无论强化还是弱化）都可以得到一大类缓冲算子，为解决扰动数据序列的建模提供了很多选择，有一定的实用价值。
25
第6章 结论与展望
第6章 结论与展望
6.1 全文总结
本选题研究的对象是GM(1,1)预测和缓冲算子的构造。通过对GM(1,1)模型的优化，拓广其应用范围,同时提高了精度。通过分析现有缓冲算子的不足，构建一类强化缓冲算子,扩大了此类强化缓冲算子的范围，并研究了缓冲算子的新定理，为冲击扰动序列建模的数据处理提供了更多的选择。
主要做了以下工作：
（1）通过对不用一次累加而直接建模的等间距GM(1,1)模型的灰色微分方程中的灰导数进行优化，提出了用z(t)?A(x(t)?C)，（其中A?ln((0)?
?(1)x(0)(k)(1)x(0)(k?1)，代)）
替原始灰色微分方程中的灰导数，同时用x(0)(k)代替原始灰色微分方程中的背景值z(1)(k)，得到新的灰色微分方程z(k)?ax(0)(k)?b，从而获得新模型，经过严格理论验证该模型具有指数，系数，平移常数重合性。大量的数据模拟和模型比较结果表明，优化后的模型提高了背景值的准确性以及灰预测模型的拟合精度和预测精度，且该模型既适合于低增长指数序列建模，也适合于高增长指数序列建模，同时也适合于非齐指数序列建模，可见新的建模方法大大提高了模型的模拟精度与预测精度，同时扩大了模型的适用范围。
（2）基于完全沿用等间距一次累加的原始非等间距模型精度不尽人意，但各种改进非等间距模型一次累加表达式复杂、计算繁琐这一基本事实，依据各种非等间距预测表达式都具有数据预测序列是时序指标的齐次指数函数的共同特征，提出不涉及非等间距的一次累加表达式，更无需其计算值，直接建立非等间距灰色微分方程，同时优化其灰导数，用序列拟合误差平方和最小来寻求最佳初始条件，获得了模拟预测精度较高的非等间距灰色预测模型。
（3）文献[41]将缓冲算子的构造与函数结合起来，为缓冲算子的构造开辟了新方向，文献[49]对缓冲算子公理进行了补充，并构造了变权缓冲算子。本选题在他们的工作的基础上，构造了一类缓冲算子，整合了这些常用的缓冲算子，使得常用缓冲算子更一般化了，也更加灵活了。
（4）在现有灰色系统缓冲算子公理体系下，本文得到了以下结果：设D为一强化（或弱化）缓冲算子，X?(x(1),x(2),?,x(n))为系统原始行为数据序列，其缓冲序列为XD?(x(1)d,x(2)d,?x(n)d)，f,g均为单调函数，并具有相同的单调性，且满足g(f(x(k)?，k?1,2,?,n，XD1?(x(1)d1,x(2)d1,?x(n)d1)，其中))x(k
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x(k)d1?g[f(x(k))d],则无论X为单调增长序列，单调衰减序列还是振荡序列， D1均为强化（或弱化）缓冲算子。
6.2 研究展望
由于本人对灰色系统理论的研究尚浅，对灰系统理论中一些看法还不够成熟，所做的工作中还有很多需要改进的地方，但笔者相信已具有发现问题并解决问题的能力，在今后的学习生活及工作，笔者会继续对灰色系统理论的研究，争取做出成绩，目前看来，笔者认为有以下几个方面可以进行研究：
(1）进一步深入研究灰模型的适用范围
(2)由于GM(1,1)模型的优化只有更优,没有最优,将继续分析模型误差产生的原因，并研究GM(1,1)模型的优化.
(3)将对缓冲算子的选用上以及从理论上研究通过缓冲算子作用以后能否从根本上提高模型精度进行研究
(4)由于目前灰数的运算不具有可逆性,将从理论上在这方面做些工作.
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致 谢
致 谢
本文是在导师魏勇教授的亲切关怀和悉心指导下完成的。教授渊博的理论知识、严谨的治学态度、活跃的创造性思维、崇高的教学风范以及开拓进取的精神使我受益匪浅，必将激励我在以后的学习、研究和工作中不断进取。在我论文撰写过程中，魏老师在繁忙的工作之余抽出时间认真审阅、批改，并给了我很多好的建议。我取得的每一点成绩和进步，都凝结着恩师大量的心血。导师为人处世的作风也是我值得学习的榜样。在此，谨向敬爱的恩师致以真诚的敬意和衷心地感谢！
另外，感谢西华师范大学数学与信息学院的各位领导和老师在生活上提供的诸多帮助以及学习上的不断鼓励。感谢同班同学在学习上的支持和帮助！感谢几位室友及各位师弟师妹的关心、支持和帮助！
还要感谢所有参考文献的作者，你们的工作是我汲取学术营养的土壤。
最后，谨以此不成熟的论文献给养育我二十多年的父母和亲人，长久以来，无论风雨，无论是成功还是失败，他们一直在背后给我以默默的支持和无尽的鼓舞，二十多年的风风雨雨，他们为我的成长付出了很多很多，正是有了他们的关怀和几十年的辛苦工作，才有了现在的我，希望能以此带给他们一些慰籍。
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