数列知识点总结
第一部分 等差数列
一 定义式： 
一个数列是等差数列的等价条件：
(a，b为常数)，即
是关于n的一次函数，因为
，所以
关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。
二 通项公式：
三 性质结论
1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，如：3个数a-d,a,a+d； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
2.
与
的等差中项
；
在等差数列
中，若
，则
；若
，则
；
3.若等差数列的项数为2
，则
；
若等差数列的项数为
，则
，且
，
4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设
，
，则有
；
5.
, 
,则前
(m+n为偶数)或
(m+n为奇数)最大
第二部分 等比数列
一 定义：
成等比数列。
二 通项公式：
，
数列{an}是等比数列的一个等价条件是：
当
且
时，
关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。
三 性质结论：
1.
与
的等比中项
(
同号)；
2.在等比数列
中，若
，则
；若
，则
；
3.设
，
，
， 则有
第三部分 求递推数列通项公式
类型一：累加法 形如a
＝a
+ f (n)， 其中f (n) 为关于n的多项式或指数形式（a
）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．
类型二： 累积法 形如
.其中f (n) =
（p≠0，m≠0,b –c = km,k∈Z）或
=kn（k≠0）或
= km
( k ≠ 0, 0＜m且m ≠ 1)．
类型三：形如
=
，（pq ≠ 0）．且
的数列，——可通过倒数变形为基本数列问题．
当p = －q时，则有：
转化为等差数列；
当p ≠ －q时，则有：
．同类型五转化为等比数列．
类型四：特征根法 形如a
＝pa
+ q ,pq≠0 ，p、q为常数．
当p ＝1时，为等差数列；
当p ≠1时，可在两边同时加上同一个数x，即a
+ x = pa
+ q + x
a
+ x = p(a
+
)， 令x =
∴x =
时，有a
+ x = p(a
+ x )，从而转化为等比数列 {a
+ 
} 求解．
类型五：形如a
＝pa
+ f (n)，p≠0且 p为常数，f (n)为关于n的函数．
当p ＝1时，则 a
＝a
+ f (n) 即类型一．
当p ≠1时，f (n)为关于n的多项式或指数形式（a
）或指数和多项式的混合形式．
⑴若f (n)为关于n的多项式（f (n) = kn + b或kn
+ bn + c，k、b、c为常数），——可用待定系数法转化为等比数列．
⑵若f (n)为关于n的指数形式（a
）．
①当p不等于底数a时，可转化为等比数列；
②当p等于底数a时，可转化为等差数列．
第四部分 求前n项和
一：公式法求和直接用等差、等比数列的求和公式求和。
公比含字母时定要讨论
二.裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] （4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!（6）c/(（n+a）（n+b）)=(c/(a-b))*(1/( n+a)-1/(n+b))
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意： 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。 2余下的项前后的正负性是相反的。
三.错位相减 如：
说明 求形如{an·bn}的数列的前n项和，若其中{an}成等差数列，{bn}成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想．
四：分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和
五：合并求和：当通项公式中含有(-1)n,求和时可以对n的奇偶进行讨论,然后分情况求和.
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
可以先求出奇数项和偶数项的和，再相减。
但更好的方法是：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]
8．其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等