积   分

   整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识.

   一、不定积分

   不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等)

  二、定积分

  1.定义式:

  2.定义域:一维区间,例如

  3.性质:见课本P₂₂₉-P₂₃₂

    特殊:若,则,即区间长度.

  4.积分技巧:奇偶对称性.

   注意:定积分中积分变量可以任意替换即,而不定积分不具有这种性质.

  5.积分方法:与不定积分的方法相同.

  6.几何应用:

   定积分的几何意义: 表示以为顶与轴所夹区域面积的代数和(注意如,则面积为负);

   其他应用:如表示截面积,则积分为体积;平面弧长等.

   三、二重积分

   1.定义式:

   2.定义域:二维平面区域

   3.性质:见下册课本P₇₇ 

特殊: 若,则,即为的面积.

4.坐标系:

 ①直角坐标系:型区域,型区域

②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉,积分时一般先确定的范围,再确定的范围.

5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心;

6.几何应用:

二重积分的几何意义:若,则表示以为顶以为底的曲顶柱体体积;

其他应用:求曲面的面积

四、三重积分

1.定义式

2.定义域:三维空间区域;

3.性质:与二重积分类似;

  特殊: 若,则,其中表示的体积.

4.坐标系:

 ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面                             

积易求时采用)

     ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用;

     ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先,后,最后                                     

.

     5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等.

     6.应用: 表示密度,则为物体质量.(不考虑几何意义)

五、第一类曲线积分

1.定义式:(二维)  (三维)

2.定义域:平面曲线弧   空间曲线弧

3.性质:见课本P₁₂₈

  特殊: 则,表示曲线弧长.

4.计算公式(二维为例):

   

类似可推出的公式.注意化为定积分时下限小于上限.

5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心;

6.几何应用:见上3.

六、第二类曲线积分

1.定义式: (二维)

(三维)

2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维)

3.性质:见课本P₁₃₅

4.计算公式:

注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点.

5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关.

不能使用奇偶对称性.

6.应用:力做功.

七、第一类曲面积分

1.定义式:

2.定义域:空间曲面

  注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例.

3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似

  特殊: 则,表示曲线面积.

4.计算公式:类似可得在另两个曲面上的投影公式.

  注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标.

5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心.

6.几何应用:见上3.

八、第二类曲面积分

1.定义式

2.定义域:有向空间曲面

3.性质:见课本P₁₆₂

4.计算公式: ,类似可得另两个.

5.积分技巧:高斯公式,循环对称性.不能使用奇偶对称性.

注:要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目,使用时要注意曲面方向以及是否封

闭.

6.应用:求流量,磁通量等.

奇偶对称性:

定积分:若积分区间关于原点对称,例如 

若关于为奇函数,则

若关于为偶函数,则

    二重积分:若积分区域关于轴对称,记为的部分

若关于为奇函数,则

若关于为偶函数,则

同样可以得到积分区域关于轴对称时, 关于为奇、偶函数的公式.

三重积分: 若积分区域关于面对称,记为的部分

若关于为奇函数,则

若关于为偶函数,则

同样可以得到区域关于另两个曲面对称的情况.

例题:P₁₂₃#1(1)(2) P₁₂₄#2(4)

第一类曲线积分:若积分曲线关于轴对称,记为的部分

若关于为奇函数:

若关于为偶函数:

同样可以得到曲线关于轴对称的情况.

   第一类曲面积分:若积分曲面关于面对称,记为的部分,

若关于为奇函数:

若关于为偶函数:

同样可以得到曲面关于另两个坐标面对称的情况.

例题:课本P₁₅₈#6(3),P₁₈₄#2

变量对称性:一般在做重积分、曲面积分时使用，

 使用时要注意曲面或区域必须是关于变量是对称的,即对于曲面方程自变量相互替换后方程不改变,例如等,此时

    例题1:其中为球面被平面所截的曲线.

例题2: 其中为球面

   循环对称性(适用第二类曲面积分):若积分曲面满足变量对称,而且中依次替换,即后积分表达式不改变,则可以使用该对称性,有

例题:课本168页#3(4)

   质心:适用重积分,第一类积分.

  请同学们思考如何区别各种积分?(定义域)

  区别:以下两个例题应该怎样算?

,

其中

第二篇：高等数学微积分总结

                                积   分

   整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识.

   一、不定积分

   不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等)

  二、定积分

  1.定义式:

  2.定义域:一维区间,例如

  3.性质:见课本P₂₂₉-P₂₃₂

    特殊:若,则,即区间长度.

  4.积分技巧:奇偶对称性.

   注意:定积分中积分变量可以任意替换即,而不定积分不具有这种性质.

  5.积分方法:与不定积分的方法相同.

  6.几何应用:

   定积分的几何意义: 表示以为顶与轴所夹区域面积的代数和(注意如,则面积为负);

   其他应用:如表示截面积,则积分为体积;平面弧长等.

   三、二重积分

   1.定义式:

   2.定义域:二维平面区域

   3.性质:见下册课本P₇₇ 

特殊: 若,则,即为的面积.

4.坐标系:

 ①直角坐标系:型区域,型区域

②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉,积分时一般先确定的范围,再确定的范围.

5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心;

6.几何应用:

二重积分的几何意义:若,则表示以为顶以为底的曲顶柱体体积;

其他应用:求曲面的面积

四、三重积分

1.定义式

2.定义域:三维空间区域;

3.性质:与二重积分类似;

  特殊: 若,则,其中表示的体积.

4.坐标系:

 ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面                             

积易求时采用)

     ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用;

     ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先,后,最后                                     

.

     5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等.

     6.应用: 表示密度,则为物体质量.(不考虑几何意义)

五、第一类曲线积分

1.定义式:(二维)  (三维)

2.定义域:平面曲线弧   空间曲线弧

3.性质:见课本P₁₂₈

  特殊: 则,表示曲线弧长.

4.计算公式(二维为例):

   

类似可推出的公式.注意化为定积分时下限小于上限.

5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心;

6.几何应用:见上3.

六、第二类曲线积分

1.定义式: (二维)

(三维)

2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维)

3.性质:见课本P₁₃₅

4.计算公式:

注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点.

5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关.

不能使用奇偶对称性.

6.应用:力做功.

七、第一类曲面积分

1.定义式:

2.定义域:空间曲面

  注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例.

3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似

  特殊: 则,表示曲线面积.

4.计算公式:类似可得在另两个曲面上的投影公式.

  注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标.

5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心.

6.几何应用:见上3.

八、第二类曲面积分

1.定义式

2.定义域:有向空间曲面

3.性质:见课本P₁₆₂

4.计算公式: ,类似可得另两个.

5.积分技巧:高斯公式,循环对称性.不能使用奇偶对称性.

注:要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目,使用时要注意曲面方向以及是否封

闭.

6.应用:求流量,磁通量等.

奇偶对称性:

定积分:若积分区间关于原点对称,例如 

若关于为奇函数,则

若关于为偶函数,则

    二重积分:若积分区域关于轴对称,记为的部分

若关于为奇函数,则

若关于为偶函数,则

同样可以得到积分区域关于轴对称时, 关于为奇、偶函数的公式.

三重积分: 若积分区域关于面对称,记为的部分

若关于为奇函数,则

若关于为偶函数,则

同样可以得到区域关于另两个曲面对称的情况.

例题:P₁₂₃#1(1)(2) P₁₂₄#2(4)

第一类曲线积分:若积分曲线关于轴对称,记为的部分

若关于为奇函数:

若关于为偶函数:

同样可以得到曲线关于轴对称的情况.

   第一类曲面积分:若积分曲面关于面对称,记为的部分,

若关于为奇函数:

若关于为偶函数:

同样可以得到曲面关于另两个坐标面对称的情况.

例题:课本P₁₅₈#6(3),P₁₈₄#2

变量对称性:一般在做重积分、曲面积分时使用，

 使用时要注意曲面或区域必须是关于变量是对称的,即对于曲面方程自变量相互替换后方程不改变,例如等,此时

    例题1:其中为球面被平面所截的曲线.

例题2: 其中为球面

   循环对称性(适用第二类曲面积分):若积分曲面满足变量对称,而且中依次替换,即后积分表达式不改变,则可以使用该对称性,有

例题:课本168页#3(4)

   质心:适用重积分,第一类积分.

  请同学们思考如何区别各种积分?(定义域)

  区别:以下两个例题应该怎样算?

,

其中