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导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结，供广大考生参考。

第一节 导数

1．基本概念

（1）定义

f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)dydf(x)?y |x?x0(或|x?x0)?f'(x0)?lim?lim?lim?x?0?x?0x?0dxdx?x?xx?x0

注：可导必连续，连续不一定可导.

注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.

（2）左、右导数

f?'(x0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0). ?lim?x?x0?xx?x0

f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0). ?lim?x?x?xx?x00f?'(x0)?lim??x?0

f'(x0)存在?f?'(x0)?f?'(x0).

（3）导数的几何应用

曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程：y?f(x0)?f'(x0)(x?x0).

法线方程：y?f(x0)??1(x?x0). f'(x0)

2．基本公式

（1）C'?0 （2）(x)?axa'a?1

（3）(ax)'?axlna（特例(ex)'?ex）（4）(logax)'?1(a?0,a?1) xlna

（5）(sinx)'?cosx （6）(cosx)'??sinx

（7）(tanx)'?sec2x （8）(cotx)'??csc2x

（9）(secx)'?secxtanx （10）(cscx)'??cscxcotx

（11

）(arcsinx)'? （12

）(arccosx)'?

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第二章 导数与微分 总结

一、导数与微分的概念与结论

1．导数的概念

（1）导数的定义： ． 左导数：．

右导数： ．

（2）f?(x0)存在?．

（3）导数f?(x0)． 切点处的切线方程：；法线方程：．

（4）导数f?(t0)．

（5）函数在x0．

（6）．

2．微分的概念

（1）微分的定义： ．

（2）微分与导数的关系： ．

（3）f(x)在任意点x处的微分： ．

（4）微分dyx?x?f?(x0)dx． 0

二、求导公式与求导法则

1．基本初等函数的求导公式

（1）(c)?? ； （2）(x?)??；

（3）(ax)?? （4）(ex)??；

（5）(logax)??； （6）(lnx)??；

（7）(sinx)??； （8）(cosx)??；

（9）(tanx)??； （10）(cotx)??；

（11）(secx)??； （12）(cscx)??；

（工科类）第二章 导数与微分 总结 第1页

（13）(arcsinx)?? （14）(arccosx)??；

（15）(arctanx)?? ； （16）(arccotx)?? ．

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高等数学（1）学习辅导（三）

第三章  导数与微分

     导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点：

⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。

在点处可导是指极限

存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限

    函数在点处的导数的几何意义是曲线上点处切线的斜率。

曲线在点处的切线方程为

函数在点可导，则在点连续。反之则不然，函数在点连续，在点不一定可导。

　　⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。

⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法

（1）导数的四则运算法则

（2）复合函数求导法则

（3）隐函数求导方法

（4）对数求导方法

（5）参数表示的函数的求导法

正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如

一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，

例如函数，求。

在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。如果我们把函数先进行变形，即

             

再用导数的加法法则计算其导数，于是有

                  

这样计算不但简单而且不易出错。

又例如函数，求。

显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得

两端求导得

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第四章  导数与微分

第一讲  导数

一，导数的定义：

1函数在某一点处的导数：设 在某个内有定义,如果极限(其中称为函数在(,+)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数在处的变化率)存在则称函数在点可导.并称该极限值为在点的导数记为,若记则==

解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值越大,则函数在该点附近变化的速度越快。

     ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ,,。

     ⑶函数在某一点处的导数是研究函数在点处函数的性质。

     ⑷导数定义给出了求函数在点处的导数的具体方法,即：①对于点处的自变量增量,求出函数的增量（差分）=②求函数增量与自变量增量之比③求极限若存在,则极限值就是函数在点处的导数,若极限不存在,则称函数在处不可导。

     ⑸在求极限的过程中, 是常数, 是变量, 求出的极限值一般依赖于

     ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。

⑺注意: 若函数在点处无定义,则函数在点处必无导数,但若函数在点处有定义,则函数在点处未必可导。

2 单侧导数：设函数在某个（或）有定义，并且极限（或）存在，则称其极限值为在点的左（右）导数，记为：或（或）。左导数和右导数统称为单侧导数。

函数在某一点处有导数的充要条件：左导数和右导数存在且相等。

3 函数在某一区间上的导数：⑴在内可导：如果函数在开区间内每一点都可导，则说在内可导（描述性）。⑵在内可导：如果函数在内可导且存在则说函数在上可导。

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导数、微分、积分公式总结【清晰贴吧版】

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数学选修2-2导数及其应用（定积分）知识点必记

1．函数的平均变化率是什么？

答：平均变化率为

注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念是什么？

答：函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

3.平均变化率和导数的几何意义是什么？

答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？

答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式有哪些？

6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

答：若，均可导（可积），则有：

6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？

答：①求函数f(x)的导数

②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.

③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；

注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？

答：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数 

(3)求方程=0的根

(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？

答：求在上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求在上的极值；

⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？

答：分割近似代替求和取极限    （“以直代曲”的思想）

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考研数学秋季复习：微积分考点总结

　　一、历年微积分考试命题特点

　　微积分复习的重点根据考试的趋势来看，难度特别是怪题不多，就是综合性串题。以往考试选择填空题比较少，而今年变大了。微积分一共74分，填空、选择占32分。第一是要把基本概念、基本内容有一个系统的复习，选择填空题很重要。几大运算，一个是求极限运算，还有就是求导数，导数运算占了很大的比重，这是一个很重要的内容。当然，还有积分，基础还是要把基本积分类型基础搞清楚，定积分就是对称性应用。二重积分就是要分成两个累次积分。三大运算这是我们的基础，应该会算，算的概念比如说极限概念、导数概念、积分概念。

　　二、微积分中三大主要函数

　　微积分处理的对象有三大主要函数，第一是初等函数，这是最基础的东西。在初等函数的基础上对分段函数，在微积分的概念里都有分段函数，处理的一般方法应该掌握。还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。这是我们经常遇到的三大基本函数。

　　三、微积分复习方法

　　微积分复习内容很多，题型也多，灵活度也大。怎么办呢?这其中有一个调理办法，首先要看看辅导书、听辅导课，老师给你提供帮助，会给你一个比较系统的总结。老师总结的东西，比如说我在辅导课程中总结了很多的点，每一个点要掌握重点，要举一反三搞清楚。从具体大的题目来讲，基本运算是考试的重要内容。应用方面，无非是在工科强调物理应用，比如说旋转体的面积、体积等等。在经济里面的经济运用，弹性概念、边际是经济学的重要概念，包括经济的函数。还有一个更应该掌握的，比如集合、旋转体积应用面等等，大的题目都是在经济基础上延伸出的问题，只有数学化了之后，才能处理数学模型。

　　还有中值定理，还有微分学的应用，比如说单调性、凹凸性的讨论、不等式证明等等。应用部分包括证明推断的内容。

　　总的来说，学好微积分，就是要掌握三个基本函数、三大运算，所以广大研友们要在这些方面多下功夫！

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