第一部分：基本要求（计算方面）

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；

求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；

含参数的线性方程组解的情况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；

讨论一个向量能否用和向量组线性表示；

讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；

将无关组正交化、单位化；

求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；

通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；

写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；

判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识

一、行列式

1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法

定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况

上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

（2）行列式值为0的几种情况：

Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；

Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；

Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例；

Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵

1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；

2．矩阵的运算

（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；

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一、课程特点

特点一：知识点比较细碎。

如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。

特点二：知识点间的联系性很强。

这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。

复习线代时，要做到“融会贯通”。

“融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处；

“贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。

二、行列式与矩阵

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。 行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和 阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行\列展开定理化为上下三角行列式求解。

对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于 、 、 等的相关性质，及性质 （其中 为矩阵 的特征值）。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、 、 、 的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

三、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。 向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组（一般式）

还具有两种形式：

（Ⅰ）矩阵形式 ，其中

， ，

（Ⅱ）向量形式 ，其中

,

向量就这样被引入了。

1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系

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概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ?

r(A)?n ?

?A的列（行）向量线性无关 ?

?A的特征值全不为0 ?Ax??只有零解 ? ?x??，Ax?? ?

A?0??n

???R,Ax??总有唯一解 ?

?ATA是正定矩阵 ?

?A?E ?A?pp???p p是初等阵

12si

???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E

注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○

n

?A不可逆 ?

r(A)?n ??

A?0??A的列（行）向量线性相关

?

0是A的特征值 ???Ax??有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量?r(aE?bA)?n

?

注 aE?bA????(aE?bA)x??有非零解 ○

??=-a

b?

向量组等价

?

矩阵等价(?)?具有

?反身性、对称性、传递性 ????

矩阵相似(?)?矩阵合同(?)??

√ 关于e1,e2,???,en：

①称为?的标准基，?中的自然基，单位坐标向量p教材87； ②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④trE=n；

⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.

n

n

a11a12a22?an2

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概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ?

?r(A)?n ?A的列（行）向量线性无关 ?

?A的特征值全不为0 ??Ax??只有零解 ? ?x??，Ax??

A?0?? n

????R,Ax??总有唯一解 ?ATA是正定矩阵 ?

?A?E ?A?pp???p p是初等阵

12si

???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E

注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○

n

?A不可逆 ?

r(A)?n ??

A?0??A的列（行）向量线性相关

?0是A的特征值 ???Ax??有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量?r(aE?bA)?n

?

注 aE?bA????(aE?bA)x??有非零解 ○

??=-a

?

向量组等价?

?

矩阵等价(?)?具有

?反身性、对称性、传递性 ????

矩阵相似(?)?矩阵合同(?)??

√ 关于e1,e2,???,en：

①称为?的标准基，?中的自然基，单位坐标向量p教材87； ②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④trE=n；

⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.

n

n

a11

Dn?

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线性代数总结

一、课程特点

    特点一：知识点比较细碎。

如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。

特点二：知识点间的联系性很强。

这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。

复习线代时，要做到“融会贯通”。

“融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处；

“贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。

二、行列式与矩阵

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行\列展开定理化为上下三角行列式求解。

对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于、、等的相关性质，及性质（其中为矩阵的特征值）。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、、、的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

三、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组（一般式）

还具有两种形式：

（Ⅰ）矩阵形式，其中

，，

（Ⅱ）向量形式，其中

,

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线性代数公式汇总

1、行列式

1.        行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.        代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.        代数余子式和余子式的关系：

4.        设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.        行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.        对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.        证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.        是阶可逆矩阵：

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线性代数总结

1.二阶行列式定义：记号

a11a21

a12a22

=a11a22-a12a21，称为二阶行列式（三阶与二阶类似）。

2.对角线法则只适用于二阶与三阶，四阶及以后不能用。

3.n级排列：由自然数1,2，…，n组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n级排列。

4.在一个n级排列（i1i2…it…ik…in）中，若数it>ik，则称it与ik构成一个逆序。一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为N(i1i2…in).

5.逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

6.注意：i. n阶行列式是n！项的代数和，且冠以正号的项和冠以负号的项（不包括元素本身 所带的符号）各占一半，因此，行列式实质上是一种特殊定义的数；

（）

ii.a 1jia2 j2…an jn的符号为（-1）Nj1j2…jn（不包括元素本身所带的符号）； iii.一阶行列式a=a，不要与绝对值记号相混淆。

7.行列式中各项正负号规定方法：当该项各元素的行（列）标按自然数顺序排列后，若对应的列（行）标，构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列则取负号。

8.对角行列式：非主对角线上元素全为零的行列式称为对角行列式，而对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为下（上）对角行列式。 9.任意一个排列对换一次，奇偶性发生改变

10.奇排列变成自然排列的对换次数为奇数；偶排列变成自然排列的对换次数为偶数 11.n阶行列式的定义式为

N(j1j2j3?jn)

D=Σ（-1）a1j1a2j2a3j3?anjn

※12.行列式的性质：

T

①D=D ②用数k乘行列式的某一行（列），等于用数k乘以此行列式。 ③交换行列式两行（列），行列式变号 ④行列式中，若两行（列）对应元素成比例，则行列式为零 ⑤行列式的拆分是按一行（列），拆开，即一次拆一行或一列 ⑥将行列式的一行（列）对应的元素上，行列式值不变

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