一次函数知识点总结及经典试题      

1、一次函数的定义

一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当，时，仍是一次函数．⑶当，时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

2、一次函数y=kx＋b的图象 画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直\线，

3、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中；

　　（3）解方程得出未知系数的值；

　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

1. 正比例函数，当m          时，y随x的增大而增大.

2. 函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是  (    )

A.       B.      C.        D.

3 若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过        （   ）

A.第一象限          B. 第二象限         C.第三象限         D.第四象限

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一次函数知识点总结与典型例题

知识点一：变量、常量及函数定义

函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为是x的函数。

【注：判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应】

例1、下列函数关系式中不是函数关系式的是（ D ）

A.    B.   C.   D.

例2、下列各图中表示y是x的函数图像的是 （ D ） 

知识点二、自变量取值范围：

①当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零；

②关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方数大于等于零；

③当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零；

    ④当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围一般为非负数。

例1、函数的自变量x的取值范围是                 例2、函数的自变量x的取值范围是                

例3、函数的自变量x的取值范围是               

知识点三、阅读函数图像

【注：阅读函数图像时必须先弄清楚x、y各表示什么】

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二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分 二次函数基础知识

? 相关概念及定义

b，c是常数，a?0）的函数，? 二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，

c叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数． ? 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，

? 二次函数各种形式之间的变换

? 二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中

2

2

b4ac?b2

h??，k?.

2a4a

? 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.

? 二次函数解析式的表示方法

? 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；

2

2

? 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；

? 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. ? 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数

都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ? 二次函数y?ax的性质

2

? 二次函数

y?ax?c的性质

?

?

? 二次函数y?a?x?h?的性质： 2

?

次函数y?a?x?h??k的性质 2

? 抛物线

y?ax?bx?c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

? a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

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二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分 基础知识

1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.二次函数的性质

（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.

（2）函数的图像与的符号关系.

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.

3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.

4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线中，的作用

（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线

，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.

（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：

①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

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二 次 函 数

主讲：陈老师

一、定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

例：已知关于x的函数）当a,b,c满足什么条件时

   （1）是一次函数   （2）是正比例函数    （3）是二次函数

二、二次函数是常数，的性质

（1）①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

③｜｜越大，开口越小。

（2）顶点是，对称轴是直线

（3）①当时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大；

② 当时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。

（4） 轴与抛物线得交点为(0,)

例：1、（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( D )

A．  a>0      B． b＜0    C． c＜0     D． a＋ b＋ c>0

练习：1、（2011山东威海，7，3分）二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（  A   ）．

A．－1＜x＜3      B．x＜－1       C． x＞3        D．x＜－1或x＞3

2、（2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b²=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ C   ）

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八年级数学《一次函数》辅导材料

一、知识点总结

1、一次函数与正比例函数的定义：

例如：y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）那么y叫做x的一次函数，特别地当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx（k是常数，k≠0）这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图象与性质（形状、位置、特殊点、增减性）

①、形状：一次函数的图象是一条 ；画法：确定两个点就可以画一次函数图象。

②、位置：直线的位置是由k、b的符号决定的： 当k 0时，图象经过一、三象限； 当k 0时，图象经过二、四象限。 当b 0时，图象与y轴相交于正半轴； 当b 0时，图象与y轴相交于负半轴； 当b 0时，图象经过坐标原点。

③、特殊点：与x轴和y轴交点分别是

④、性质：一次函数y?kx?b(k?0)，当k 0时，直线从左向右上升，y的值随x值的增大而增大；当k 0时，直线从左向右下降，y的值随x值的增大而减小。

3、待定系数法求函数解析式

在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个未知数k和b，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P1(a1，b1)，P2(a2，b2)代入得???b1＝a1k＋b，?求出k，b?

b的值即可，这种方法叫做__________． 2＝a2k＋b，

4、一次函数与方程、方程组及不等式的关系 ①、y＝kx＋b与kx＋b＝0

直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标． ②、y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0

从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．

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函数、基本初等函数的图象与性质

　1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大．

1． 函数的概念及其表示

两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．

2． 函数的性质

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．

(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．

(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.

3． 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质

(1)指数函数y＝a^x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log_ax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．

(2)幂函数y＝x^α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况．

4． 熟记对数式的五个运算公式

log_a(MN)＝log_aM＋log_aN；log_a＝log_aM－log_aN；log_aMⁿ＝nlog_aM；alog_aN＝N；log_aN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．

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