第一章  空间几何体知识点归纳

1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体

⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式：

     一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

1、空间几何体的三视图和直观图

投影：中心投影  平行投影

（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”

2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）.  观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.

3、斜二测画法的基本步骤：

①建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）

②建立斜坐标系，使=45⁰（或135⁰），注意它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X^‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y^‘轴，且长度变为原来的一半； 

一般地，原图的面积是其直观图面积的倍，即

4、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积；⑵圆锥侧面积：

⑶圆台侧面积：

⑷体积公式：

；；    

⑸球的表面积和体积：

.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证

1 、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

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高中数学之立体几何

平面的基本性质

公理1  如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2  如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3  经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.

根据上面的公理，可得以下推论.

推论1  经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2  经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3  经过两条平行直线，有且只有一个平面.

空间线面的位置关系

                共面  平行—没有公共点

(1)直线与直线         相交—有且只有一个公共点

异面(既不平行，又不相交)

               直线在平面内—有无数个公共点

(2)直线和平面  直线不在平面内  平行—没有公共点

               (直线在平面外)  相交—有且只有一公共点

(3)平面与平面   相交—有一条公共直线(无数个公共点)

平行—没有公共点

异面直线的判定

证明两条直线是异面直线通常采用反证法.

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一.基本概念和原理： 立体几何知识点

1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么

这两个角相等。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法

2

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量)

（规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为

0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]）

斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的

最小角

如果平面内的一条直线,

与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线

a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。 直，那么这条直线垂直于这个平面。

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

如果一条直线和一个平面没有公共点，

那么我们就说这条直线和这个平面平行。

行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，

经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

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高考复习科目：数学 高中数学总复习（九） 复习内容：高中数学第九章-立体几何

复习范围：第九章

I. 基础知识要点

一、 平面.

1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.

注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.

2. 两个平面可将平面分成部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）

3. 过三条互相平行的直线可以确定个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）

[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有个.

4. 三个平面最多可把空间分成部分.（X、Y、Z三个方向） 二、 空间直线.

1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内

[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线（×）.（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）

②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交

③若直线a、b异面，a平行于平面 ，b与 的关系是相交、平行、在平面 内.

④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.

⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）

⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）

⑦ 是夹在两平行平面间的线段，若 ，则 的位置关系为相交或平行或异面.

2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）

3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.

（二面角的取值范围 ）

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三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形  ②侧面是梯形    ③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）

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一、立体几何初步

'h特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）

S直棱柱侧面积?ch

S正棱锥侧面积?

S正棱台侧面积?

1

ch' 2

1

(c1?c2)h' 2

S圆柱侧?2?rh

S圆柱表?2?r?r?l?

S圆台表??r2?rl?Rl?R2

S圆锥侧面积??rlS圆锥表??r?r?l?

S圆台侧面积?(r?R)?l

柱体、锥体、台体的体积公式

??

V柱?Sh

1V锥

?Sh

3

1

V台?(S'?S)h

3

V圆柱?Sh??r2h

1

V圆锥

??r2h

3

11

V圆台?(S'?S)h??(r2?rR?R2)h

33

球体的表面积和体积公式：V球=4?R3

3

； S球面=4?R2

二、直线与平面的位置关系

2.1.1

1 2 三个公理：

（1符号表示为

A∈L

A

B∈

l?? LA∈α

B∈α

（2A B

· C · 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，

·

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理

（3公理

1 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b =>a∥c c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 3 4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； ?② 两条异面直线所成的角θ∈(0，；

2

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

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空间向量与立体几何知识点归纳总结

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

           

;;

运算律：⑴加法交换律：

⑵加法结合律：

⑶数乘分配律：

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。

（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>

                                <=>

（4）与共线的单位向量为

4. 共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。

（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>

           <=>

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