《概率论与数理统计》

第一章   概率论的基本概念

§2．样本空间、随机事件

1．事件间的关系 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生

               称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件发生

               称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件发生

               称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件发生

                ，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的

               ，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件

2．运算规则 交换律 

结合律

分配律

  

徳摩根律

§3．频率与概率

定义   在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率

…… …… 余下全文

《概率论与数理统计》

第一章   概率论的基本概念

§2．样本空间、随机事件

1．事件间的关系 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生

               称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件发生

               称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件发生

               称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件发生

                ，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的

               ，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件

2．运算规则 交换律 

结合律

分配律

  

徳摩根律

§3．频率与概率

定义   在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率

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《概率论与数理统计》

第一章   概率论的基本概念... 2

§2．样本空间、随机事件... 2

§4等可能概型（古典概型）... 3

§5．条件概率... 3

§6．独立性... 3

第二章   随机变量及其分布... 3

§1随机变量... 3

§2离散性随机变量及其分布律... 3

§3随机变量的分布函数... 3

§4连续性随机变量及其概率密度... 3

§5随机变量的函数的分布... 3

第三章    多维随机变量... 3

§1二维随机变量... 3

§2边缘分布... 3

§3条件分布... 3

§4相互独立的随机变量... 3

§5两个随机变量的函数的分布... 3

第四章   随机变量的数字特征... 3

§1．数学期望... 3

§2方差... 3

§3协方差及相关系数... 3

第五章 大数定律与中心极限定理... 3

§1． 大数定律... 3

§2中心极限定理... 3

第一章   概率论的基本概念

§2．样本空间、随机事件

1．事件间的关系 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生

               称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件发生

               称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件发生

…… …… 余下全文

第一章 

P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

特别地，当A、B互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)

条件概率公式

概率的乘法公式

全概率公式：从原因计算结果

Bayes公式：从结果找原因

第二章 

二项分布（Bernoulli分布）——X~B(n,p)

泊松分布——X~P(λ)

概率密度函数

怎样计算概率

均匀分布X~U(a,b)

指数分布X~Exp (θ)

分布函数

对离散型随机变量

对连续型随机变量

分布函数与密度函数的重要关系：

二元随机变量及其边缘分布

分布规律的描述方法

联合密度函数

联合分布函数

联合密度与边缘密度

离散型随机变量的独立性

连续型随机变量的独立性

第三章 

数学期望

离散型随机变量，数学期望定义

连续型随机变量，数学期望定义

l  E(a)=a，其中a为常数

l  E(a+bX)=a+bE(X)，其中a、b为常数

l  E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量

随机变量g(X)的数学期望

常用公式

方差

定义式

常用计算式

常用公式

当X、Y相互独立时：

方差的性质

D(a)=0，其中a为常数

D(a+bX)=b2D(X)，其中a、b为常数

当X、Y相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)

协方差与相关系数

协方差的性质

独立与相关

独立必定不相关

相关必定不独立

不相关不一定独立

第四章 

正态分布

标准正态分布的概率计算

标准正态分布的概率计算公式

一般正态分布的概率计算

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《概率论与数理统计》

第一章        随机事件与概率

1．事件的关系 

2．运算规则 （1） 

（2）

（3）

（4）

3．概率满足的三条公理及性质：

（1）  （2）

（3）对互不相容的事件，有 （可以取）

（4）   （5）  

（6），若，则，

（7）

（8）

4．古典概型：基本事件有限且等可能

5．几何概率

6．条件概率

（1）       定义：若，则

（2）       乘法公式：

若为完备事件组，，则有

（3）       全概率公式：

（4）       Bayes公式： 

7．事件的独立性： 独立  （注意独立性的应用）

第二章　随机变量与概率分布

1．  离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）=1

 （3）对任意，

2．  连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）；

（2）；（3）对任意，

3．  几个常用随机变量

4．  分布函数  ，具有以下性质

 （1）；（2）单调非降；（3）右连续；

 （4），特别；

 （5）对离散随机变量，；

 （6）对连续随机变量，为连续函数，且在连续点上，

5．  正态分布的概率计算  以记标准正态分布的分布函数，则有

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概率公式整理

1．随机事件及其概率吸收律：  

反演律：                 

2．概率的定义及其计算：    若 

对任意两个事件A, B, 有   

加法公式：对任意两个事件A, B, 有      

3．条件概率    乘法公式

全概率公式 Bayes公式 

4．随机变量及其分布  分布函数计算

5．离散型随机变量  (1)  0 – 1 分布

(2) 二项分布 若P ( A ) = p

* Possion定理   有 

(3)  Poisson 分布    

6．连续型随机变量 (1)   均匀分布 

(2) 指数分布       

(3) 正态分布  N (m , s2 )     

*N (0,1) — 标准正态分布              

7.多维随机变量及其分布   二维随机变量( X ,Y )的分布函数  

边缘分布函数与边缘密度函数   

  

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第一章 

P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

特别地，当A、B互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)

条件概率公式

概率的乘法公式

全概率公式：从原因计算结果

Bayes公式：从结果找原因

第二章 

二项分布（Bernoulli分布）——X~B(n,p)

泊松分布——X~P(λ)

概率密度函数

怎样计算概率

均匀分布X~U(a,b)

指数分布X~Exp (θ)

分布函数

对离散型随机变量

对连续型随机变量

分布函数与密度函数的重要关系：

二元随机变量及其边缘分布

分布规律的描述方法

联合密度函数

联合分布函数

联合密度与边缘密度

离散型随机变量的独立性

连续型随机变量的独立性

第三章 

数学期望

离散型随机变量，数学期望定义

连续型随机变量，数学期望定义

l  E(a)=a，其中a为常数

l  E(a+bX)=a+bE(X)，其中a、b为常数

l  E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量

随机变量g(X)的数学期望

常用公式

方差

定义式

常用计算式

常用公式

当X、Y相互独立时：

方差的性质

D(a)=0，其中a为常数

D(a+bX)=b2D(X)，其中a、b为常数

当X、Y相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)

协方差与相关系数

协方差的性质

独立与相关

独立必定不相关

相关必定不独立

不相关不一定独立

第四章 

正态分布

标准正态分布的概率计算

标准正态分布的概率计算公式

一般正态分布的概率计算

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