高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：

(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ? 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：{a,b,c??}

2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合 的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4） Venn图:

4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2 =－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集 注意：BA?有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A??B或B??A

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2 -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或 BA) ③如果 A?B, B?C 那么, A?C ④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1 个真子集

例题

1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）

A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a，b，c }的真子集共有 个

3.若集合M={y|y=x2 -2x+1,x?R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是

.

4.设集合A=??12xx??，B=?? xxa?，若A?B，则a的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40 人，化学实验做得正确得有31人， 两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2 -5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2 -19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ?

相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母 无关）；

②定义域一致 (两点必须同时具备)

2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换

3) 对称变换

4．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示．

5．映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）” 对于映射f：A→B来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况． (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1) ＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调 减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法： ○ 1 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ○ 2 作差f(x1)－f(x2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○ 5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○ 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○ 2确定f(－x)与f(x)的关系；

○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，

若不对称则函数是非奇非偶函数.

若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○ 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○ 2 利用图象求函数的最大（小）值

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

． 第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果 ?，那么x叫做a的n次方根，其中n>1， 且n∈N* ． ? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 当n是奇数时 ，当n是偶数时，? ? ???

2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：

? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质 （1）r a·s rr aa?? ),,0(Rsra??； （2）rs sraa?)( ),,0(Rsra??； （3） srraaab?)( ),,0(Rsra??．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数 且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意

1~指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 定义域 R 值域y＞0 值域y＞0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，)1a0a(a)x(fx???且值域是)]b(f),a(f[或)]a(f),b(f[；

（2）若0x?，则1)x(f?；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx?；

（3）对于指数函数 ???且，总有a)1(f?；

二、对数函数

（一）对数 1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数x叫做以．a为．底．N的对数，记作： （a— 底数，N— 真数， 对数式）

说明：1 注意底数的限制0>a，且1?a； 2 ??? log； 3 注意对数的书写格式．

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数 ??，把使 成立的实数x叫做函数 ?的零点。

2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与x轴交点的横坐标。 即：方程 有实数根?函数 ?的图象与x轴有交点?函数 有零点．

3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程 的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

（1）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程 有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

第二篇：高一数学必修1各章知识点总结

高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋, 北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1） 列举法：{a,b,c……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合 的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x =－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意： A ? B 有两种可能（1）A 是 B 的一部分，（2）A 与 B 是同一集合。 ；

类型 定 义 由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集． 记作 A I B 读 （ 作‘A 交 B’ ，即 ） A I B=｛x|x ∈ A，且 x ∈ B｝ ． 韦 恩 图 示 性 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合， 叫做 A,B 的并集．记作：A U B （读作‘A 并 B’，即 ） A U B ={x|x ∈ A，或 x ∈ B})．
A

设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中 所有不属于 A 的元素组 成的集合，叫做 S 中子 集 A 的补集（或余集） 记作 C S A ，即

x } CSA= {x | x ∈S, 且 ? A
B

A

B

S A

图1

图2

质

A I A=A A I Φ=Φ A I B=B I A AI B?A AI B?B

A U A=A A U Φ=A A U B=B U A AU B?Ａ AU B?B

(CuA) I (CuB) = Cu (A U B) (CuA) U (CuB) = Cu(A I B) A U (CuA)=U A I (CuA)= Φ．

/ / 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A 2． “相等”关系：A=B (5≥5，且 5≤5，则 5=5) 2 实例：设 A={x|x -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果 A?B,且 A≠ B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集， 记作 A B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 n n-1 有 n 个元素的集合，含有 2 个子集，2 个真子集 三、集合的运算 运算 交 集 并 集 补 集

例题： 1.下列四组对象 能构成集合的是 下列四组对象， 1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 个 2.集合{a，b，c }的真子集共有 2 3.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ∈ R},N={x|x≥0}，则 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A= { x 1 < x < 2} ，B= x x < a} ，若 A ? B，则 a 的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 人，化学实验做得正确得有 31 人， 人。 两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合 M= . 2 2 7.已知集合 A={x| x +2x-8=0}, B={x| x -5x+6=0}, C={x| 2 2 x -mx+m -19=0}, 若 B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求 m 的值 40

{

B(或

二、函数的有关概念
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1．函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对 应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相 对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意： 1．定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域 是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无 关） ；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标， 函数值 y 为纵坐标的点 P(x， 的集合 C， y) 叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象． C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的 每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示． 5．映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f， 使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之 对应，那么就称对应 f：A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f （对应关系） ：A（原象） → B（象） ” 对于映射 f：A→B 来说，则应满足：

(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况． (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任 意两个自变量 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1) ＞f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调 减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性， 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升 的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○ 任取 x1，x2∈D，且 x1<x2； 作差 f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方） ； 定号（即判断差 f(x1)－f(x2)的正负） ； 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） ．

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密 切相关，其规律： “同增异减” 注意： 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区 间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数． （2） ．奇函数
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一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)=—f(x)，那 么 f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1 ○首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2 ○确定 f(－x)与 f(x)的关系； 3 ○作出相应结论：若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) =

(3) y = x ? 1 ? 2 x

(4) y = ? x 2 + 4 x + 5

6.已知函数 f ( x ? 1) = x 2 ? 4 x ，求函数 f (x)， f (2x+1) 的解析式 7.已知函数 f (x) 满足 2f (x) + f (?x) =3x+4，则 f ( x ) = 。

8.设 f (x)是 R 上的奇函数，且当 x ∈ [0, +∞ ) 时, f ( x) = x(1 + 3 x ) ,则当 x ∈ (?∞, 0) 时 f (x) = 0，则 f(x)

f (x)在 R 上的解析式为
9.求下列函数的单调区间： ⑴ y = x2 + 2x + 3 ⑵ y = ? x2 + 2x + 3 ⑶ y = x2 ? 6 x ?1

是偶函数；若 f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则 f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看 函数的定义域是否关于原点对称， 若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称， (1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)／f(-x)=±1 来判定; (3) 利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系 时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10．函数最大（小）值（定义见课本 p36 页） 1 ○ 2 ○ 3 ○ 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

10.判断函数 y = ? x 3 + 1 的单调性并证明你的结论． 11.设函数 f ( x) = 1 + x 判断它的奇偶性并且求证： f ( 1 ) = ? f ( x ) ． 1? x2 x
2

第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1． 根式的概念： 一般地， 如果 x = a ， 那么 x 叫做 a 的 n 次方根， 其中 n >1， * 且n∈N ．
n

负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 n 0 = 0 。 当 n 是奇数时， a = a ，当 n 是偶数时， n a
n n n

? a ( a ≥ 0) =| a |= ? ? ? a ( a < 0)

如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函 数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)； 如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函 数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)； 例题： 1.求下列函数的定义域： ⑴y=
x 2 ? 2 x ? 15 x+3 ?3

2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：

a
a

m n

= n a m (a > 0, m, n ∈ N * , n > 1)
= 1 a
m n

，

m ? n

=

1
n

x ?1 2 ⑵ y = 1? ( ) x +1

a

m

(a > 0, m, n ∈ N * , n > 1)

0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1） a · a = a
r r r+s

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0，1] ，则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_ _ 3.若函数 f ( x + 1) 的定义域为 [ ?2 ， 3] ，则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是
? x + 2( x ≤ ?1) 4.函数 f ( x) = ? x 2 (?1 < x < 2) ，若 f ( x ) = 3 ，则 x = ? ?2 x( x ≥ 2) ?

(a > 0, r , s ∈ R) ；
（2） ( a ) = a
r s r rs

(a > 0, r , s ∈ R) ；
（3） ( ab) = a a
r s

5.求下列函数的值域： ⑴ y = x2 + 2 x ? 3 ( x ∈ R)

⑵ y = x 2 + 2 x ? 3 x ∈ [1, 2]

(a > 0, r , s ∈ R) ．
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（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 y = a ( a > 0, 且a ≠ 1) 叫做指数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域为 R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
x
6 6 5 5

幂值

真数

a b ＝ N ? log a N ＝ b
底数 指数 对数 （二）对数的运算性质 如果 a > 0 ，且 a ≠ 1 ， M > 0 ， N > 0 ，那么： 1 ○

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y＞0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点（0，1）

定义域 R 值域 y＞0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点（0，1）

2 ○ 3 ○

log a ( M · N ) = log a M ＋ log a N ； M log a = log a M － log a N ； N log a M n = n log a M (n ∈ R ) ．
log c b log c a
（ a > 0 ，且 a ≠ 1 ； c > 0 ，且 c ≠ 1 ； b > 0 ） ．

注意：换底公式

log a b =

利用换底公式推导下面的结论 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （ 1 ） 在 [a ， b] 上 ， f ( x ) = a x (a > 0且a ≠ 1) 值 域 是 [f (a ), f ( b)] 或 （1） log a m b n =

1 n （2） log a b = ． log a b ； m log b a

[f (b), f (a )] ； （2）若 x ≠ 0 ，则 f ( x ) ≠ 1 ； f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ∈ R ；
（3）对于指数函数 f ( x ) = a x (a > 0且a ≠ 1) ，总有 f (1) = a ； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果 a = N (a > 0, a ≠ 1) ，那么数 x 叫做以 a 为 ． ．
x

（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数 y = log a x (a > 0 ，且 a ≠ 1) 叫做对数函数，其中

x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞） ．
都是形式定义， 注意辨别。 如： 注意： 1 对数函数的定义与指数函数类似， ○

y = 2 log 2 x ， y = log 5 x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
5

2 ○

对数函数对底数的限制： ( a > 0 ，且 a ≠ 1) ． 0<a<1
3 2.5 2 1.5

底 N 的对数，记作： x = log a N （ a — 底数， N — 真数， log a N — 对 ． 数式） 说明：○ 注意底数的限制 a > 0 ，且 a ≠ 1 ； 1 2 ○ 3 ○

2、对数函数的性质： a>1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

a x = N ? log a N = x ；
注意对数的书写格式．

0

- 0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

log a N

-1

-1

- 1.5

-1.5

-2

-2

- 2.5

-2.5

两个重要对数： 1 ○ 常用对数：以 10 为底的对数 lg N ； 2 ○ 自然对数：以无理数 e = 2.71828L 为底的对数的对数 ln N ． 指数式与对数式的互化

定义域 x＞0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点（1，0）

定义域 x＞0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 （1，0）

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（三）幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如 y = x ( a ∈ R ) 的函数称为幂函数，其中 α 为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1） ； （2）α > 0 时， 幂函数的图象通过原点， 并且在区间 [0,+∞) 上是增函数． 特
α

y = f ( x) 有零点．
3、函数零点的求法： 1 ○ 2 ○ （代数法）求方程 f ( x ) = 0 的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y = f ( x ) 的

别地， α > 1 时， 当 幂函数的图象下凸； 0 < α < 1 时， 当 幂函数的图象上凸； （3） α < 0 时，幂函数的图象在区间 (0,+∞) 上是减函数．在第一象限内， 当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于 + ∞ 时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴． 例题： 1. 已知 a>0，a 0，函数 y=a 与 y=loga(-x)的图象只能是
x

图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ． （1）△＞０，方程 ax + bx + c = 0 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴 有两个交点，二次函数有两个零点．
2

（2）△＝０，方程 ax + bx + c = 0 有两相等实根，二次函数的图象与 x 轴 有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
2

(

)

二次函数的图象与 x 轴无交点， （3） △＜０， 方程 ax + bx + c = 0 无实根， 二次函数无零点． 5.函数的模型
2

收集数据

画散点图
不 符

2.计算： ① log 3 2 =
log 27 64
1 3

;② 2 4+ log 3 =
2
4 3 1 2

； 25 =

1 log 5 3

27 + 2 log 5 2

=

;
实 际

合

选择函数模型

③ 0.064? ? (? 7 ) 0 + [(?2)3 ]? + 16 ?0.75 + 0.01
8

求函数模型

3.函数 y=log 1 (2x -3x+1)的递减区间为
2

2

4.若函数 f (x) = loga x(0 < a <1) 在区间 [a, 2a]上的最大值是最小值的 3 倍，则 a= （1）求 f (x) 的定义域（2）求使 f ( x ) > 0 的 x 的取值范围 5.已知 f ( x) = log 1 + x (a > 0且a ≠ 1) ，
a

检验 符合实际 用函数模型解释实际问题

1? x

第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数 y = f ( x )( x ∈ D ) ，把使 f ( x ) = 0 成立的实 数 x 叫做函数 y = f ( x )( x ∈ D ) 的零点。 2、函数零点的意义：函数 y = f ( x ) 的零点就是方程 f ( x ) = 0 实数根，亦即 函数 y = f ( x ) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即：方程 f ( x ) = 0 有实数根 ? 函数 y = f ( x ) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数
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