20xx年高考_文科数学知识点总结（二十三） 命题要点：?1?平面向量在平面几何中的应用?′xx年1考，′xx年1考?；?2?平面向量在三角函数中的应用?′xx年2考，′xx年3考，′xx年2考?；?3?平面向量在平面解析几何的应用?′xx年2考，′xx年1考?.

A级

(时间：40分钟 满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．在边长为1的正六边形ABCDEF中，则·等于( )．

A.B.

C．1 D.

解析 ·＝(＋)·(＋)

＝1×1×cos 60°＋1×1×cos 120°＋1＋1×1×cos 60°＝.

答案 B

2．(20xx·武汉质检)已知P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )．

A．△ABC的内部B．AC边所在直线上

C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上

解析 由题意知：－＝λ，

即＋＝λ，

∴＝λ，即与共线，

∴点P在AC边所在直线上．

答案 B

3．△ABC的三个内角成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是

( )．

A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形

C．等边三角形D．钝角三角形

解析 △ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又A，B，C成等差数列，故B＝.

答案 C

4．(20xx·湖南十二校联考(二))设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin

B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )．

A.B.

C.D.

解析 依题意得sin Acos B＋cos Asin B＝1＋cos(A＋B)，sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B), sin C＋cos C＝1，2sin＝1，sin＝.又＜C＋＜，因此C＋＝，C＝.

答案 C

5．(20xx·济南模拟)已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是( )．

A．圆B．椭圆

C．双曲线D．抛物线

解析 ＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，

∴·＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)

＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2.

即y2＝x＋6.

答案 D

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.

解析 设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，

由余弦定理得：a2＝16＋a2－8acos θ，∴acos θ＝2.

∴·＝4×a×cos(π－θ)＝－4acos θ＝－8.

答案 －8

7．已知向量m＝(cos ωx＋sin ωx，cos ωx)，n＝(cos ωx－sin ωx，2sin ωx)，其中ω＞0.设函数f(x)＝m·n，且函数f(x)的最小正周期为π，则ω的值为________．

解析 ∵m＝(cos ωx＋sin ωx, cos ωx)，

n＝(cos ωx－sin ωx，2sin ωx)，

∴f(x)＝m·n＝cos2ωx－sin2ωx＋2cos ωxsin ωx

＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin.

∴f(x)＝2sin.

∵函数f(x)的最小正周期为π，∴T＝＝π，ω＝1.

答案 1

8．(20xx·南京二模)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．

解析 ∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a||b|cos＝4＞0，

∴|a＋b|＞|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝.

答案

三、解答题(共23分)

9．(11分)已知向量a＝(sin θ， )，b＝(1，cos θ)，θ∈.

(1)若a⊥b，求θ的值；

(2)求|a＋b|的最大值．

解 (1)∵a⊥b，

∴a·b＝sin θ＋cos θ＝0.

即tan θ＝－，

又θ∈，故θ＝－.

(2)|a＋b|2＝(sin θ＋1)2＋(＋cos θ)2＝5＋4sin，

故当θ＝时，|a＋b|2的最大值为9，故|a＋b|的最大值为3.

10．(12分)(20xx·杭州模拟)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若·＝·＝k(k∈R)．

(1)判断△ABC的形状；

(2)若c＝，求k的值．

解 (1)∵·＝cb

cos A，·＝cacos B，又·＝·，∴bccos A＝accos B，

∴sin Bcos A＝sin Acos B，

即sin Acos B－sin Bcos A＝0，∴sin(A－B)＝0，

∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，

即△ABC为等腰三角形．

(2)由(1)知，·＝bccos A＝bc·＝＝k，

∵c＝，∴k＝1.

B级

(时间：30分钟 满分：40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．(20xx·厦门二检)已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的

( )．

A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心

C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心

解析 因为||＝||＝||，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为三角形ABC的外心；由＋＋＝0，得＋＝－＝，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；由·＝·＝·得，·－·＝·＝0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心． 答案 C

2．设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0＜α＜β＜π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β

－α＝( )．

A.B．－C.D．－

解析 由|2a＋b|＝|a－2b|得3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0，而|a|＝|b|＝1，故a·b＝0，即cos(α－β)＝0，由于0＜α＜β＜π，故－π＜α－β＜0，故β－α＝.

答案 A

二、填空题(每小题4分，共8分)

3．已知向量a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)，则a·b的最大值为________．

解析 a·b＝sin θ＋cos θ＝2sin≤2.

答案 2

4．(★)(20xx·太原模拟)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.

解析 (构造法)∵等边三角形的边长为2，

∴如图建立直角坐标系，

∴＝(，－3)，

＝(－，－3)，

∴＝＋＝.

∴＝＋

＝(0,3)＋＝.

∴·＝·＝－2.

答案 －2

【点评】 本题构造直角坐标系，通过坐标运算容易理解和运算．

三、解答题(共22分)

5．(10分)(20xx·淄博模拟)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)．

(1)若x＝，求向量a与c的夹角；

(2)当x∈时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．

解 (1)设a与c夹角为θ，当x＝时，a＝，

cos θ＝＝

＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.

(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1＝2sin xcos x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin， ∵x∈，∴2x－∈，

故sin∈，∴当2x－＝，

即x＝时，f(x)max＝1.

6．(12分)(20xx·南通模拟)已知向量m＝，

n＝.

(1)若m·n＝1，求cos的值；

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．

解 (1)m·n＝sin ·cos ＋cos2

＝sin ＋＝sin ＋，

∵m·n＝1，∴sin＝.

cos＝1－2sin2＝，

cos＝－cos＝－.

(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，

由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.

∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．

∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.

∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.

∴＜＋＜，sin∈.

又∵f(x)＝sin＋.∴f(A)＝sin＋.

故函数f(A)的取值范围是.

第二篇：20xx年高考_文科数学知识点总结(二十五)

20xx年高考_文科数学知识点总结（二十五）

命题要点：数列的求和(′xx年7考，′xx年8考). A级(时间：40分钟 满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

－1．数列{1＋2n1}的前n项和为( )．

A．1＋2n B．2＋2n C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n

解析 Sn＝n＋＝n＋2n－1.

答案 C

2．(20xx·安徽)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝

( )．

A．15

B．12

C．－12 D．－

15

解析 设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9

＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.

答案 A

3．(20xx·海南二模)数列1，3，5，7，…的前n项和Sn为( )．

A．n2＋1－ B．n2＋2－

C．n2＋1－ D．n2＋2－

解析 由题意知已知数列的通项为an＝2n－1＋，则Sn＝＋＝n2＋1－.

答案 C

4．(20xx·三门峡模拟)已知数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为( )．

A．11 B．99 C．120 D．121

解析 ∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10，得n＝

120.

答案 C

5．数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项的和

为( )．

A．700 B．710 C．720 D．730

解析 由题意知{an＋bn}也为等差数列，所以{an＋bn}的前20项和为：

S20＝＝＝720.

答案 C

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．在等差数列{an}中，Sn表示前n项和，a2＋a8＝18－a5，则S9＝________.

解析 由等差数列的性质，a2＋a8＝18－a5，

即2a5＝18－a5，∴a5＝6，

又∵S9＝＝9a5＝54.

答案 54

7．(20xx·武汉模拟)等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.

解析 当n＝1时，a1＝S1＝1，

－－当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n1－1)＝2n1，

－－又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n1，∴a＝4n1.

∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．

∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．

答案 (4n－1)

8．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.

－－解析 设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn1＝3×3n1＝3n，

故bn＝log3an＝n，

所以＝＝－.

Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.

答案

三、解答题(共23分)

9．(11分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．

解 (1)设等差数列{an}的公差为d.

因为a3＝－6，a6＝0，

所以解得a1＝－10，d＝2.

所以an＝－10＋(n－1)·2＝2n－12.

(2)设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，

所以－8q＝－24，即q＝3.

所以{bn}的前n项和公式为Sn＝＝4(1－3n)．

10．(12分)(20xx·重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.

解 (1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.

－所以{an}的通项为an＝2·2n1＝2n(n∈N*)

＋(2)Sn＝＋n×1＋×2＝2n1＋n2－2.

B级

(时间：30分钟 满分：40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．(20xx·台州调研)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为( )．

A.或5 B.或5

C. D. 解析 设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1，且＝，解得q＝2，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝.

答案 C

2．(20xx·江南十校二模)若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为( )．

A．1－ B．1－

C. D.

－－－解析 an＝2n1，设bn＝＝2n1，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋3＋…＋2n1＝＝.

答案 C

二、填空题(每小题4分，共8分)

3．数列1，，，…的前n项和Sn＝________.

解析 由于数列的通项an＝＝＝2，

∴Sn＝2

＝2＝.

答案

4．(20xx·北京)在等比数列{an}中，a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.

解析 ∵＝q3＝－8，∴q＝－2.

－∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n1－.

－答案 －2 2n1－

三、解答题(共22分)

5．(10分)(20xx·湖州模拟)设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.

(1)求{an}，{bn}的通项公式；

(2)求数列的前n项和Sn.

解 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且解得

－－所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn1＝2n1.

(2)＝，

Sn＝1＋＋＋…＋＋，①

2Sn＝2＋3＋＋…＋＋.②

②－①，得Sn＝2＋2＋＋＋…＋－

＝2＋2×－

＝2＋2×－＝6－.

6．(12分)等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.

(1)求an与bn；

(2)求＋＋…＋.

－解 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn1.

依题意有

解得或(舍去)

－故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n1.

(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，

所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋

＝

＝

＝－.