20xx年高考_文科数学知识点总结（三十二）
命题要点：?1?两条直线的位置关系?′xx年2考，′xx年1考?；?2?点到直线的距离、平行线间的距离?′xx年1考?.
A级
(时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )．
A．3x＋2y－1＝0 B．2x－3y＋5＝0
C．3x＋2y＋7＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析 由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的斜率是－，由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
答案 A
2．(20xx·湖州模拟)“m＝2”是“直线2x＋my＝0与直线x＋y＝1平行”的
( )．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 m＝2时，直线2x＋my＝0与直线x＋y＝1平行，故充分性成立；反之，直线2x＋my＝0与直线x＋y＝1平行时，m＝2，故必要性成立．所以“m＝2”是“直线2x＋my＝0与直线x＋y＝1平行”的充要条件．
答案 A
3．(20xx·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0，关于x轴对称的直线方程为( )．
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析 与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0. 答案 A
4．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )．
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0
解析 所求直线过点A且与OA垂直时满足条件，此时kOA＝2，故求直线的斜率为－，所以直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
答案 A
5．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m
的值是( )．
A．－2 B．－7 C．3 D．1
解析 由已知条件可知线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m＝3.
答案 C
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(★)(20xx·江苏南通、扬州、泰州二模)若直线ax－2y＋2＝0与直线x＋(a－3)y＋1＝0平行，则实数a的值为________．
解析 (回顾检验法)由两直线平行的条件得a(a－3)＝－2，解得a＝1或2，经检验，a＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a的值为1.
答案 1
7．(20xx·东北三校二模)已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.
解析 由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝.
答案
8．已知＋＝1(a＞0，b＞0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为________． 解析 点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，当a2＝2b2且a＋b＝ab，即a＝1＋，b＝时取等号．
答案
三、解答题(共23分)
9．(11分)求过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程．
解 由得∴l1与l2交点为(1,2)，
设所求直线y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，
∵P(0,4)到直线距离为2，∴2＝，∴k＝0或k＝.
∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
10．(12分)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解 (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.
又∵直线l1过点(－3，－1)，∴
－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.
(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．
∴k1＝k2，即＝1－a.
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
B级
(时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．若三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
解析 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝－1或，故实数m的取值最多有4个．
答案 C
2．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为
( )．
A. B. C. D.
解析 由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l的方程为y－(－1)＝－1[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0，由点到直线的距离公式得：点P(3,2)到直线l的距离为＝.
答案 A
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．
解析 记直线m的倾斜角是θ.由题意知直线l1、l2间的距离等于＝.又直线m被直线l1、l2所截得的线段的长是2，因此直线m与直线l1的夹角的正弦值等于＝，直线m与直线l1的夹角是30°，又直线l1的倾斜角是45°，因此θ＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤.
答案 ①⑤
4．(20xx·绍兴模拟)已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．
解析 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距
为2k2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝.
答案
三、解答题(共22分)
5．(10分)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝，求直线l的方程.
解 设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，
由解得A；
由解得B.
∵|AB|＝，
∴ ＝，
整理，得7k2－48k－7＝0，
解得k1＝7或k2＝－.
因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.
6．(12分)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
解 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
∴a＝4，即点A(4,0)在直线l上，又∵l过点P(0,1)，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
第二篇：20xx年高考_文科数学知识点总结(三十七)
20xx年高考_文科数学知识点总结（三十七） 命题要点：?1?抛物线的定义和标准方程?′xx年4考，′xx年3考?；?2?抛物线的性质?′xx年4考，′xx年4考?.)
A级
(时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )．
A. B．－ C．8 D．－8
解析 抛物线的标准方程为x2＝y，由条件得2＝－，a＝－.
答案 B
2．(20xx·惠州调研)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为
( )．
A．－2 B．2 C．－4 D．4
解析 因为椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4. 答案 D
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为
( )．
A. B．1 C．2 D．4
解析 抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2.
答案 C
4．(20xx·福州模拟)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝( )．
A．9 B．6 C．4 D．3
解析 由于抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，由＋＋＝0，可取＝(－1,0)，此时，＋＝(1,0)，注意到对称性，可令A的坐标为、C的坐标为.于是，可得||＋||＋||＝2 ＋1＝5＋1＝6.
答案 B
5．(20xx·广州调研)从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为( )．
A．5 B．10 C．20 D.
解析 由抛物线方程y2＝4x易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由|PM|＝5可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝×5×4＝10.
答案 B
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(20xx·如皋模拟)抛物线x＝y2的准线方程为________．
解析 由x＝y2变为标准方程为：y2＝4x，故其准线方程为：x＝－1.
答案 x＝－1
7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
解析 ∵y2＝4x，∴p＝2，F(1,0)，又∵|AF|＝2，∴xA＋＝2，∴xA＋1＝2，∴xA＝1.即AB⊥x轴，F为AB的中点．
∴|BF|＝|AF|＝2.
答案 2
8．(20xx·河南洛阳、安阳统考)点P在抛物线x2＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P的坐标为________．
解析 由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点即为所求点P的坐标，此时|PF|＋|PA|最小．
答案
三、解答题(共23分)
9．(11分)抛物线的顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，而焦点是该双曲线的左顶点，求此抛物线的方程．
解 双曲线方程化为－＝1，∴双曲线中心为O，左顶点为(－3,0)，由题意抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)且－＝－3，∴p＝6，方程为y2＝－12x.
10．(12分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．
解 法一 根据已知条件，抛物线方程可设为
y2＝－2px(p＞0)，则焦点F.
∵点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5，
故
解得 或
∴抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
法二 设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有－(－3)＝5，∴p＝4.
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，又∵点M(－3，m)在抛物线上，故m2＝(－8)×(－3)，
∴m＝±2.
B级
(时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(20xx·新课标全国)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )．
A．18 B．24 C．36 D．
48解析 如图，设抛物线方程为
y2＝2px(p＞0)．
∵当x＝时，|y|＝p，
∴p＝＝＝6.
又P到AB的距离始终为p，
∴S△ABP＝×12×6＝36.
答案 C
2．(20xx·台州模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：
①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．
其中正确的命题是( )．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解析 因为|PF|＝|MF|＝|NF|，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误：令直线PM的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得
y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误． 答案 A
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案 y2＝4x
4．(20xx·济南模拟)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．
解析 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且
与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，
联立方程，得
即3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，求得b＝－，
所以切线方程为4x＋3y－＝0，则切点到直线4x＋3y－8＝0的距离也就是所求的最小值，此最小值也即为两直线间的距离，为＝.
答案
三、解答题(共22分)
5．(10分)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，Q是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO交准线于P点，过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点，求证：·＝0.
证明 y2＝2px(p＞0)的焦点F准线为x＝－.
设Q(x0，y0)(x0≠0)，则R，
直线OQ的方程为y＝x，此直线交准线x＝－于P点，
易求得P.∴y＝2px0，
∴·＝·(p，－y0)＝p2－＝p2－p2＝0.
6．(12分)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率． 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得
y＝4x1， ①
y＝4x2， ②
∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)． ∴y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)， ∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．