6.1二元一次方程组

数学备课组   主备人   李瑛

教学目标：

1．了解二元一次方程和它的解的概念，了解二元一次方程组和它的解的概念；会判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解。

2． 会把一些简单的实际问题中的数量关系，用二元一次方程组表示出来。

教学重点

二元一次方程及二元一次方程的解、二元一次方程组及二元一次方程组的解．

教学难点

二元一次方程的解是一组未知数的值，表述要规范．

教学方法：

教学过程设计

一、  知识回顾

1、什么是一元一次方程？“元”指什么？“次”指什么？

2、什么是一元一次方程的解？

3、简述解一元一次方程的基本步骤？

4、列一元一次方程解应用题的基本步骤？

二、新课：观察与思考：（师友合作，二组师友展示，一组师友设一个未知数一组师友设二个未知数）

1：某酒厂有大小两种存酒的木桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒28升，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2升.那么，1个大桶和1个小桶分别可盛酒多少升？

设一个未知数                       

设1个大桶盛酒x升，则1个小桶

    盛酒（28－5 x）升.

    根据题意，列方程，得

            x+5(28－5x)=20.

    解这个一元一次方程,得

                             x=5.

    从而，得28－5x=3.

    即1个大桶盛酒5升，1个小桶

    盛酒3升.

设两个未知数

设1个大桶盛酒x升，

     1个小桶盛酒y升.

     根据题意，可得方程：

               5x+y=28,      ①

                x+5y=20.      ②

    大桶和小桶的容积应当是

    同时满足方程①和②的未

    知数的值.

⑴   比较方程x+5(28－5x)=20和方程5x+y=28及x+5y=20，它们的共同点是什么，不同点是什么？（师友合作，总结定义）

⑵   x=5,y=3是否同时满足①和②？

像5x+y=28和x+5y=20这样，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.

巩固新知：（独立完成）

1、判断下列方程谁是二元一次

     方程？

      3a+5=9      m+n=18    

      x2+y=7      d+p+t+9 

      2xy=8        x+y=3

2、想一想

未知数x、y为哪些值时能使x+y=35成立？（师友合作，师友回答）

总结定义：使二元一次方程两边相等的两个未知的值，叫做这个二元一次方程的一组解.

3、解的写法：上下摆放，左弧号连接，如：x=30

                                       y=5

小结：二元一次方程的解有无数组.

练习2：写出2x+y=4的三组解                         .                 

3、二元一次方程的一般形式：  

ax+by=c （a≠0  b ≠0 ） 

练一练：把下列方程变成一般形式

3x-23=2y-6   46-3(2x+3)=3y   

0.5x=y-6      3y=-2x-16 

扩展延伸（师友展示） 

?      1、二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y=____

?   2、在x+3y=3中，若用x表示y，则y=     ，用y表示x，则x=       

?   3、已知方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当k=______时，方程为一元一次方程；当k=______时，方程为二元一次方程。

?   4、对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10，当x=0时，则y=____；当y=0时，则x=____。

?   5、方程2x+y=5的正整数解是______。

?   6、若(4x-3)2+|2y+1|=0，则x+2=             。

试着做做（师友和作）

已知甲数的2倍与乙数的3倍之和是12，甲数的3倍与乙数的2倍

之差是5.求这个数

 ⑴列一元一次方程求解.

⑵如果设甲数为x,乙数为y,请根据问题中的等量关系，列出含两个未知数的一组方程.

⑶用一元一次方程求得的甲数和乙数，代入⑵中所列的这组方程中，检验方程两边是否相等.

大家谈谈？

结合以上两个问题，请你谈谈列“含一个未知数”的方程和“含两个未知数”的方程的区别和联系.

概  念总结：

由于上面x和y必须同时满足两个方程，所以我们把这两个方程组合在一起，写成下面的形式，就得到了一个二元一次方程组.如：

由几个方程组成的一组方程叫做方程组.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组，叫二元一次方程组.

练习3：下面哪些是二元一次方程组？

 

一起探究

1.对于二元一次方程，任意给定未知数x的一个值，你能求出满足方程的未知数y的值吗？（独立填写课本3页的表格）

2.是否有同时满足这两个方程的一组解？若有，请你指出是哪组解.

二元一次方程组中方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解.

巩固练习：（小组合作）

1、已知x=3，y=6是方程组   2x+by=94

则a= （     ），b=（    ）  ax+y+35

2、买10支铅笔和5个本用10.5元，买6支铅笔和2个本用4.8元。铅笔和本的单价各是多少元？

挑战自我

1、在方程3x－ay＝8中，如果是它的一个解，那么a的值为           。

    2、一个二元一次方程的解集，是指这个方程的（         ）

    A   一个解     B     两个解      C     三个解      D     所有解组成的集合 

3、方程组           的解是（         ）

 

A                       B                                                      

C                            D

4、列方程组

一个学生有中国邮票和外国邮票共325张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少2张，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张？

三、      畅谈收获

四、      共性：

五、      个性：

六、反思：

在学习《二元一次方程组》时，学生对本节课的内容和前面学习的一元一次方程有点类似，学生学习起来感到枯燥无味。课堂气愤涣散，效率不高。

第二篇：二元一次方程组教案

（－）知识教学点

1．了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念．

2．会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式．

3．会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力和计算能力．

（三）德育渗透点

培养学生严格认真的学习态度．

（四）美育渗透点

通过本节的学习，渗透方程组的解必须满足方程组中的每一个方程恒等的数学美，激发学生探究数学奥秘的兴趣和激情．

二、学法引导

1．教学方法：讨论法、练习法、尝试指导法．

2．学生学法：理解二元一次方程和二元一次方程组及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础．

三、重点?难点?疑点及解决办法

（－）重点

使学生了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解．

（二）难点

了解二元一次方程组的解的含义．

（三）疑点及解决办法

检验一对未知数的值是否为某个二元一次方程组的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点．在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念．

2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组．

3．通过二元一次方程组的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题．

七、教学步骤

（－）明确目标

本节课的教学目标为理解二元一次方程及二元一次方程组的概念并会判断一对未知数的值是否为二元一次方程组的解．

（二）整体感知

由复习方程及其解，导入二元一次方程及二元一次方程组的概念，并会判断它们；同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔；最后学会检验二元一次方程组解的问题．

（三）教学过程

1．创设情境、复习导入

（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？

回答老师提出的问题并自由举例．

【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学习二元一次方程做铺垫．

（2）列一元一次方程求解．

香蕉的售价为5元／千克，苹果的售价为3元／千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：思考，设未知数，回答．

设买了香蕉 千克，那么苹果买了 千克，

根据题意，得

解这个方程，得

答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克．

上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？ 设买了香蕉 千克，买了苹果 千克，根据题意可得两个方程

观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？

观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点．

方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程．

这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识—二元一次方程组．

【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解．

2．探索新知，讲授新课

（1）关于二元一次方程的教学．

我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习．

练习一

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由．

① ② ③

④ ⑤ ⑥

练习二

分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程． 学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2．

【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解．

练习三

课本第6页练习1．

提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数（ 或 ）每取一个值，另一个未知数（ 或 ）就有惟一的值与它相对应．

练习四

填表，使上下每对 、 的值满足方程 ．

－2 0 0.4 2

－1 0 3

师生共同总结方法：已知 ，求 ，用含有 的代数式表示 ，为 ；已知 ，求 ，用含有 的代数式表示 ，为 ．

【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解二元一次方程组奠定了基础．

（2）关于二元一次方程组的教学．

上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程．因此，把这两个方程合在一起，写成

这两个方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起． 练习五

已知 、 都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？ ① ②

③ ④

【教法说明】练习五有助于学生理解二元一次方程组的概念，目的是避免学生对二元一次方程组形成错误的认识．

对于前面的问题，列二元一次方程组要比列一元一次方程容易些．根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即 ， ，这里 ， 既满足方程①，又满足方程②，我们说

是二元一次方程组

的解．

学生活动：尝试总结二元一次方程组的解的概念，思考后自由发言． 教师纠正、指导后板书：

使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

例题 判断 是不是二元一次方程组 的解．

学生活动：口答例题．

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：二元一次方程组的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯．

3．尝试反馈，巩固知识

练习：（1）课本第6页第2题 目的：突出本节课的重点．

（2）课本第7页第1题 目的：培养学生计算的准确性．

4．变式训练，培养能力

练习：（1）P8 4．

【教法说明】使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念，并为解二元一次方程组打下基础．

（2）P8 B组1．

【教法说明】为列二元一次方程组找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力．

（四）总结、扩展

1．让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获．

2．教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．

3．中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题．

八、布置作业

（一）必做题：P7 3．

（二）选做题：P8 B组2．

（三）预习：课本第9～13页．

参考答案

略．

教案点评：

以情境教学为主，教师引导和指导，学生积极参与，逐步领悟，教师概括总结和学生自我学习评价相结合，提高课堂教学效益，充分体现以学为主的原则． 教学过程

1．创设情境、复习导入

（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？

回答老师提出的问题并自由举例．

【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学习二元一次方程做铺垫．

（2）列一元一次方程求解．

香蕉的售价为5元／千克，苹果的售价为3元／千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：思考，设未知数，回答．

观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？

观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点．

方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程．

这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识：二元一次方程组．

【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解．

2．探索新知，自学交流并展示。

练习一

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由．

① ② ③

④ ⑤ ⑥

练习二

分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程． 学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2．

【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解．

练习三

课本第6页练习1．

提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数（ 或 ）每取一个值，另一个未知数（ 或 ）就有惟一的值与它相对应．

师生共同总结方法：已知 ，求 ，用含有 的代数式表示 ，为 ；已知 ，求 ，用含有 的代数式表示 ，为 ．

【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解二元一次方程组奠定了基础．

3.学生探究二元一次方程组．

上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程．因此，把这两个方程合在一起，写成：

这两个方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

【方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起】 如：判别下列方程组是否为二元一次方程组？

① ②

③ ④

【教法说明】练习五有助于学生理解二元一次方程组的概念，目的是避免学生对二元一次方程组形成错误的认识．

对于前面的问题，列二元一次方程组要比列一元一次方程容易些．根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即 ， ，这里 ， 既满足方程①，又满足方程②，我们说***是二元一次方程组 的解．

学生活动：尝试总结二元一次方程组的解的概念，思考后自由发言．

教师总结：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

例题 判断 是不是二元一次方程组 的解．

学生活动：口答例题．

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：二元一次方程组的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯．

4．学生检测，巩固知识

练习：（1）课本第6页第2题 目的：突出本节课的重点．

（2）课本第7页第1题 目的：培养学生计算的准确性．

（3）变式训练，培养能力练习：P8 4．【教法说明】使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念，并为解二元一次方程组打下基础．P8 B组1．【教法说明】为列二元一次方程组找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力．

5.学生反思、总结。

1．让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获．

2．教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．

（一）必做题：P7 3．

（二）选做题：P8 B组2．

（三）预习：课本第9～13页．