二元一次方程组应用探索

二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：

一、数字问题

例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：

解方程组，得，因此，所求的两位数是14．

点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．

二、利润问题

例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.

解方程组，解得，

因此，此商品定价为200元．

点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．

三、配套问题

例3　某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得

，解之，得．

故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．

点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：

（1）“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即；

（2）“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：．

四、行程问题

例4　在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则

，整理，得，解得，

因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．

点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：

“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；

“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．

五、货运问题

典例5 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？

分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则

，整理，得，解得，

因此，甲、乙两重货物应各装150吨．

点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．

六、工程问题

例6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？

分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得

，解得.

点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．

第二篇：一元一次不等式应用题分类总结

用一元一次不等式（组解决实际问题的步骤：？

⑴审题，找出不等关系；

⑵设未知数；

⑶列出不等式；

⑷求出不等式的解集；

⑸找出符合题意的值；

⑹作答。

1、解不等式组应用题的方法

⑴找关键词——不等量

⑵找对比（两种情况），设未知数

⑶找总量

⑷总量已知：两种情况各自与总量比较（两个不等式）

【例1】 一本英语书98页,张力读了7天(一周)还没读完,而李永不到一周就读完了.李永平均每天比张力多读3页,张力每天读多少页?

【例2】某旅游团有48人到某宾馆住宿，若全安排住宾馆的底层，每间住4人，房间不够；每间住5人，有一个房间没有住满5人。问该宾馆底层有客房多少间?

【例3】用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？

【例4】用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？

2、解不等式组应用题的方法

⑴找关键词——不等量

⑵找对比（两种情况），设未知数

⑶找总量

⑷总量未知：两种情况相互比较（其中一种情况可计算总量，另一种情况有上下限）

【例1】把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。问这些书有多少本？学生有多少人？

【例2】某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。

【例3】某校校长暑假将带领该校“市级三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。已知两家旅行社的全票价都是240元，哪家旅行社比较好？

3、解两种“方案比较”应用题的方法

⑴找出两种方案的，设未知数

⑵分别列出两种方案的费用

⑶分情况讨论（结合人数）

【例1】某单位计划10月份组织员工到H地旅游人数估计在10～25人之间，甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元．该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠；问该单位应怎样选择，使其支付的旅游总费用较少？

【例2】．小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率为100瓦的白炽

灯和40瓦的节能灯，它们的单价分别为2元和32元，经了解，这两种灯的照明效果和使用寿命都一样，已知小王所在地的电价为每千瓦时0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算。

【例3】20xx年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950

盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两种侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40

盆，搭配一个

造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个种造型的成本是800

元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

1、物料分配不等式

1、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具不足3件，求小朋友的人数和玩具数。

2用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物，若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，请问：有多少辆汽车？

3一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无人住；每间住6人，有一间宿舍住不满，可能有多少间宿舍，多少名学生？

4某旅游团有48人到某宾馆住宿,若全安排住宾馆的底层,每间住4人,房间不够;每间住5人,有一个房间没有住满5人.问该宾馆底层有客房多少间?

5一群猴子，一天结伴去偷桃子，在分桃子时，如果每个猴子分了3个，那么还剩59个；如果每一个猴子分5个，就都能分得桃子，但剩下一个猴子分得的桃子不够5个，你能求出有几只猴子，几个桃子吗？

6、某次数学测验共20道题（满分100分）。评分办法是：答对1道给5分，打错1道扣2分，不答不给分。某学生有1道未答。那么他至少答对几道题才能及格？

2、原料配备问题

1、某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，先计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，设生产L型号的童装套装数为x（套），用这些布料生产两种型号的童装所获的利润为y（元）。

（1）写出y（元）关于x（套）的代数式，并求出x的取值范围；

（2）该厂生产的这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂的利润最大？最大的利润是多少？

2、今年x月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车

10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔 枝香蕉各2吨.（1）该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来.

（2）若甲种货车每辆要付运输费20xx元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？

3、某电器经营老板计划购进同种型号的空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇， 需要资金17400元，若购进10台空调哈30台电风扇，需要资金22500元.

（1）求空调和电风扇的采购价各是多少元？

（2）该老板计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元，该老板希望当这两种电器销售完时，所获的利润不少于3500元，试问老板有哪几种进货方案？（3）在所有的进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少？

4、用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：

现配制这种饮料10千

克，要求至少含有4200

单位的维生素C；且要求

购买甲、乙两种原料的

费用不超过72元；试写

出所需甲种原料的质量x（千克）应满足的不等式组，并解答。

5、 某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品

共50件。已知生产一件A种产品需甲原料9kg、乙种原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg、乙种原料10kg.（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组；（2）有哪几种符合题意的生产方案？请你设计。

6、某工厂要招聘A、B两个工种的工人150元，A、B两个工种的工人的月工资分别为600元和1000元。现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的工资最少？

7、A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往C、D两农村，如果从A城

运往C、D两地运费分别是20元/吨与25元/吨，从B城运往C、D两地运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知C地需要220吨，D地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请帮他算一算，怎样调运花钱最小？

8、某次数学测验共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答则不扣分。某同学有一题未答，那么这个同学至少答对多少道题，成绩才能在60分以上？

第三篇：二元一次方程组总结提升

主备人:张翠英 审核:七年级数学备课组 课型:复习 时间:20xx年x月

一、学习目标：

1、课标要求我们：进一步掌握二元一次方程组的两种解法——代人法和加减法及应用二元一次方程组解应用题。

2、本节课我们要做到：进一步理解“消元”的思想方法，并初步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法。

二、学习过程

【知识回顾】

1、解二元一次方程组的基本思想是什么？

2、代人法和消元法消元的一般步骤是什么？

3、利用二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么？

4、应用问题的基本类型有哪些？

对于第4题我们归纳如下：行程问题；工程问题；几何问题；盈亏问题；增长率问题；和差倍分问题；数字问题；搭配问题；质量分数问题等。

【知识框架】

【我探究我敢试】

(1)二元一次方程组的解法

解方程组 （学生上台演练。针对解答中出现的问题。师生共同评判）

5x+2y=12 7x -3y= -1 ax –by=a2 –b2

x – 3y= -1 4x -5y= -17 ax+by=a2+b2

练一练1.23x+17y=63 2(x?y)x?y

2=4 – 1

17x+23y=57 6(x+y)=4(2x –y)+16

2.若二元一次方程x+y=3,x-y=1和关于x.y的二元一次方程x –2m=0有公共解，求m的值？

（2）二元一次方程组的应用

1. 甲火车长92米，乙火车长84米，若相向而行，相遇后经过1.5秒两车错过，若同向而行，相遇后6秒钟两车错过，求甲。乙两车的速度？

解析：两车错车用的时间是指：

所走路程为：

两车相向而行时，错车时它们间的相对速度为两列火车的速度和，两列火车同向而行时，错车时它们间的相对速度为两列火车的速度和，两列火车同向而行时，错车时它们间的相对速度为两列火车的速度差。

2．一项工程，甲。乙两人合做8天可完成任务，需要用3520元，若甲独做6天后剩下

的工程由乙独做，还需12天才能完成，这样的费用需3480元。问（1）甲、乙两人单独完成此工程每天各需费用多少元？（2）甲、乙两人单独完成此工程各需多少天？

【我自测我提高】

1李大叔今年x月份购买了一台彩电和一台洗衣机，根据“家电下乡“的补贴标准 ：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的130/0补贴给农户。因此，李大叔从乡政府領倒了390元补贴款，若彩电的售价比洗衣机的售价高1000元，求彩电和洗衣机的售价各是多少元？

2为迎接“建国60周年国庆”，我市准备用灯饰美化红旗路，需采用A,B两种不同类型的灯笼200个，且B灯笼的个数是A灯笼的个数的2/3.

(1)A.B两种灯笼各需多少个？

（2）已知A、B两种灯笼的单价分别为40元、60元，则这次美化工程购置灯笼须多少费用？

3 为了防控甲流H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶。

（1）如果购买这两种消毒液公用780元，那么购买甲乙两种（不包括已购买的100），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多余1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶。

4 某超市在家电下乡活动中销售A、B两种型号的洗衣机，A型号洗衣机每台进价500元，售价550元；B型号洗衣机每台进价1000元，售价1080元。

（1）若该超市同时一次购进A、B两种型号洗衣机共80台，恰好用去6.1万元，求能购进A、B两种型号洗衣机各多少台;

(2 )该超市为使A、B两种型号洗衣机共80台的利润（利润=售价—进价）不少于5200元，但又不超过5260元，请你帮助该超市设计相应的进货方案.

【我反思我颖悟】