第五章三角形

一、知识要点：

1、  三角形的有关概念

（1）三角形的定义

   由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，它有三条边、三个内角和三个顶点，三角形可用符号“△”表示．

（2）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

（3）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线．

（4）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．

2、  三角形的有关性质

（1）边的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．

（2）角的性质：三角形的内角和为180°，一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，直角三角形的两个锐角互余．

（3）稳定性：即三角形的三边的长度确定后，三角形的形状保持不变．

3、  三角形的分类

（1）按边分          （2）按角分

4、  全等三角形的有关概念和性质

（1）全等图形：两个能够 重合 的图形称为全等图形．

全等图形的特征 ：全等图形的 形状和大小 都相等．

全等三角形：两个能够 完全重合的三角形叫做全等三角形，两个全等三角形重合时，互相重合的边叫做对应边，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的角叫做 对应角 ．

（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

5、  全等三角形的判定条件

（1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：①边角边（SAS）；②角边角(ASA);③角角边(AAS);④边边边(SSS).

(2)直角三角形的全等的条件::除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判别方法外，还有一种重要的判别方法，也就是斜边、直角边（HL）判别方法.

6.判别两个三角形全等

1．已知两边  

2．已知一边一角

3．已知两角

7.    作三角形

用尺规作三角形的类型主要有：

（1）     己知三角形的       三边            ，求作这个三角形

（2）     己知三角形的       两边及夹角      ，求作这个三角形

（3）     己知三角形的       两角及夹边      ，求作这个三角形．

二、应注意的问题

1.①三角形的角平分线不同于一个角的平分线，前者是一条线段，后者是一条射线．三角形的高线是线段，而线段的垂线是直线；

②锐角三角形的三夺高线都在三角形的内部，直角三角形中，有两条高线恰好是它的两条边，钝角三角形的三条高线中，有两条高线在三角形的外部，它们的垂足落在边的延长线上

③三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点．

2、注意：不能把“边边角”和“角角角”作为判定两个三角形全等的依据．

3．书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.

4、注意：

①在作三角形等几何作图中，作图痕迹务必保留，不能将作图痕迹抹掉

②在作符合某些条件的三角形时，它的作法可能不惟一，只要作法合理，都是正确的．

四、考点例析

考点一：三角形三边关系

三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．

三角形三个内角的和等于180，直角三角形的两个锐角互余．

考点四 图形的全等

两个能够重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．特别地，全等图形的面积相等．

考点五 全等三角形的特征及三角形全等的条件

全等三角形的对应边相等，对应角相等．

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” ．

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角” 或“ASA” ．

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” ．

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边” 或“SAS”．

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边” 或“HL”．

第二篇：解三角形知识总结

解三角形知识总结

1知识点：                      特点：                            

1（07重庆）在中，AB=，，则BC=（   ）

A   3-     B      C  2      D  3+

2（07湖南）中角A，B，C所对的边为a,b,c，若a=1，c=，C=则A=（  ）

3（06山东）在中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知A=，a=，b=1，则c=（   ）  A  1        B  2       C  -1      D 

4（07北京）在中，若tanA=，，BC=1，则AB=（  ）

2知识点：                      特点：

1（07重庆）在中，AB=1，BC=2，B=60，则AC=（  ）

2(2012重庆理)设的内角的对边分别为,且则______

3．（2012（北京理））在△ABC中,若,,,则________.

4（05上海）在中，若，AB=5，BC=7，则AC=（  ）

3知识点：                      特点：

1（07湖南）在中，角A，B，C对的边a,b,c，若a=1，b=，c=，则B=（  ）

2(06辽宁)已知等腰三角形ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值为（   ）

A       B       C       D   

3(2011重庆理)若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且   C= 60°，则ab的值为（     ）

A．       B．     C． 1      D．

4知识点：                       特点：

1．11（07全国）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA。1）求B的大小；2）若，c=5，求b的值。

2(2011辽宁理)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos²A=

则（   ）A．    B．    C．   D．

3 (2011浙江文)在中，角所对的边分.若，则 (  )

(A)-       (B)     (C)  -1     (D) 1

4（20##年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则                                                   （　　）

A．          B．        C．        D．

5知识点：                       特点：

1 ．（20##年高考（上海文））在中,若,则的形状是

A．钝角三角形.  B．直角三角形.  C．锐角三角形.  D．不能确定.

2. (2011四川文、理)在ABC中．.则A的取值范围是

  (A)(0，]    (B)[ ，)  (c)(0，]  (D) [ ，)

3（2002上海）在中,内角,,所对的边分别是,已知且则b=_______

4(10辽宁）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

求A的大小；

6知识点：                       特点：

1（06北京）在中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则的大小是（   ）

2(2011重庆)若△的内角，满足，则

       A．    B．      C．         D．

7知识点：                       特点：

1在中，B=45，，则三角形的外接圆的面积为______

8知识点：                       特点：

1在中，A=60，，则（    ）

2（05江苏）在中，A=，BC=3，则的周长为（  ）

A     B   

C          D

9知识点：                      特点：

（15）在中，角A，B，C所对的边分别为，，则角A的大小为           。

10知识点：                      特点：

1.（09全国Ⅱ文）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.

2（2012安徽文）设的内角所对的边为,且有    (Ⅰ)求角的大小;[

3（12新课标）已知分别为三个内角的对边，（1）求。  

4．（12浙江文）在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,bsinA=acosB.

(1)求角B的大小;     (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

5、（11湖南）在中，角所对的边分别为，且满足.

（I）求角的大小；

（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．

6. (2011全国新课标卷理)在中，，则的最大值为    。

11知识点：                      特点：

1在中，，则三角形一定是（  ）

A等腰三角形   B直角三角形   C等腰直角三角形   D等腰三角形或直角三角形

5在中，已知，则此三角形是（  ）

A锐角三角形   B直角三形   C钝角三角形    D直角或等腰三角形

12知识点：                      特点：

9（05湖北）在中，已知tanB=，cosC=，AC=3，求的面积。

其他知识点：1)三内角和为180°     

(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

(3)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin=cos，cos=sin

(4)在△ABC 中，

(5)内切圆半径r= =     p=

数 列 测 试 题

1．(重庆文1)在等差数列{a_n}中，a₂=2，a₃=4，则a₁₀=

2．(四川理8)数列{a_n}的首项为3，{b_n}为等差数列且b_n=a_n+1-a_n(nÎN^*)．若则b₃=-2，b₁₀=12，则a₈=

3．(江西文5)设{a_n}为等差数列，公差d=-2，S_n为其前n项和．若S₁₀=S₁₁，则a₁=

4．(江西理5)已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n+S_m=S_n+m，且a₁=1．那么a₁₀=

5．(全国理4)设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若a₁=1，公差d=2，S_k+2-S_k=24，则k=

6．(安徽文7)若数列{a_n}的通项公式是a_n=(-1)ⁿ(3n-2)，则a₁+a₂+…+a₁₀=

7．(天津理4)已知{a_n}为等差数列，其公差为-2，且a₇是a₃与a₉的等比中项，S_n为{a_n}的前n项和，nÎN^*，则S₁₀的值为

8．(辽宁文5)若等比数列{a_n}满足a_na_n+1=16ⁿ，则公比为

9．(四川文9)数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，a_n+1=3S_n(n≥1)，则a₆=

10．(天津文11)已知{a_n}是等差数列，S_n为其前n项和，nÎN^*．若a₃=16，S₂₀=20，则S₁₀的值为___________．

11．(湖南理12)设S_n是等差数列{a_n}(nÎN^*)的前n项和，且a₁=1，a₄=7，则S₅=__

12．(重庆) 在等差数列{a_n}中，a₃+a₇=37，则a₂+a₄+a₆+a₈=___．