数学归纳法（2）

教学目的：1．进一步理解“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式；理解为证成立，必须用成立的假设；掌握为证成立的常见变形技巧。

2. 掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质；培养学生对于数学内在美的感悟能力。

教学重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤

教学难点：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设

授课类型：新授课

教学过程：

一、复习――归纳法，完全归纳法，不完全归纳法，数学归纳法，数学归纳法的证明步骤

二、讲解范例：

例1：用数学归纳法证明

证明：（1）当时，左边，右边，等式成立。

     （2）假设当时，等式成立，

那么当时，

等式也成立。

由（1）（2）得对于任意都成立。

例2：用数学归纳法证明　

证明：（1）当时，左边，右边，等式成立。

     （2）假设当时，等式成立，即 

那么当时，

等式也成立。

由（1）（2）得对于任意都成立。

例3：用数学归纳法证明：能被13整除。（）

证明：（1）当时，能被13整除，命题成立。

     （2）假设当时，能被13整除，那么当时，

由假设能被13整除，得能被整除，又能被13整除，所以能被13整除，命题也成立。

由（1）（2）得原命题对任意都成立。

三、课堂练习：

1．书P34/2

2．用数学归纳法证明

当时，左边应为_____________.

3．判断下列推证是否正确，并指出原因.

用数学归纳法证明：

证明：假设时，等式成立

就是 成立

那么

        =

这就是说当时等式成立，

所以时等式成立.

四、小结 ：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确首取值并验证真假（必不可少）。“假设时命题正确”并写出命题形式。

分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等。可明确为：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。

五、课后作业：书P34/1，2，3     练习册P13习题7.5（A）1，2，3

六、板书设计（略）

七、课后记：

第二篇：上教版高二数学教案——7.4数学归纳法1

数学归纳法（1）

教学目的：1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力。能区分不完全归纳法与完全归纳法；学会由特殊到一般的思维方式。

2．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤。

3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写。

教学重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析。

教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。

授课类型：新授课

教学过程：

一、复习引入：

问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？

方法一：把它倒出来看一看就可以了。

特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性。

方法二：一个一个拿，拿一个看一个。

比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球。

特点：有顺序，有过程。

问题2：在数列中，，先算出的值，再推测通项的公式。

过程：，，，由此得到：，

解决以上两个问题用的都是归纳法。（得出归纳法的概念）

再请看数学史上的两个资料：

资料1：费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献。但是，费马曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的。18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时， =4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测。

有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的，但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！

资料2：f（n）=n²+n+41，当n∈N时，f（n）是否都为质数？

f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，

f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，

f（10）=151，…  f（39）=1 601．

但是f（40）=1 681=41²是合数。算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来。

对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准。对于数学问题，应寻求数学证明。

课堂实验：（多米诺骨牌) ,多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：

（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；

（2）第一张牌被推倒。

用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法。

二、讲解新课：

1．归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。

特点：由特殊→一般。

2．不完全归纳法： 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。

如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳。（如等差等比数列通项公式的推导）

我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段。在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想。因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要。

3．完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。

完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。

4.数学归纳法:对于某些与正整数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当时命题成立，证明当时命题也成立。这种证明方法就叫做数学归纳法。

5．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果时，命题成立，再假设当时，命题成立。(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，命题都成立。

6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当取第一个值结论正确；

(2)假设当时结论正确，证明当时结论也正确。

由(1)，(2)可知，命题对于从开始的所有正整数都正确。

三、讲解范例：

例1：用数学归纳法证明：如果是一个等差数列，那么a_n=a₁+(n－1)d对一切都成立。

证明：(1)当时，左边，右边，等式成立。

(2)假设当时等式成立，即

那么当时，

即当n=k+1时，等式也成立。

由(1)和(2)可以判定，等式对任何都成立。

例2：用数学归纳法证明：

证明：(1)当时，左边，右边，等式成立。

(2)假设当时等式成立，即，

那么当时，

，等式也成立。

由(1)和(2)，可知等式对任何都成立。

四、课堂练习：

1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=。

证明：(1)当n=1时，左边=1，右边==1

∴等式成立。

(2)假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+…+k=，

那么当n=k+1时，

1+2+3+…+k+(k+1)=k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+1)=(k+1)(k+1+1)

∴n=k+1时，等式也成立.

由(1)(2)可知等式对一切n∈N*都成立.

2.首项为，公比为的等比数列的通项公式是：

证明：(1)n=1时，左边，右边

∴左边=右边，等式成立。

(2)假设当时等式成立，即，那么当时，

等式也成立。

由(1)、(2)可知等式对一切n∈N^*都成立。

五、小结 ： (1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明;(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想。

六、课后作业：书P31/1，2，3    练习册P12/2，3，4

七、板书设计（略）

八、课后反思：