高中数学集合常考知识点总结

摘要：高中数学集合是高一新生入学接触高中数学的第一门功课。也是最容易混淆的知识点

之一。爱学啦通过关注最近几年高考对高中数学集合知识点的考察，总结了一些高中数学集

合常考知识点和解题方法。希望能帮助高一新生赢在起跑线上！总结如下： ●难点磁场 (★

★★

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高中数学集合是高一新生入学接触高中数学的第一门功课。也是最容易混淆的知识点之一。

爱学啦通过关注最近几年高考对高中数学集合知识点的考察，总结了一些高中数学集合常考

知识点和解题方法。希望能帮助高一新生赢在起跑线上！总结如下：

●难点磁场

(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B

≠ ,求实数m的取值范围.

●案例探究

［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、

b∈N,使得(A∪B)∩C= ，证明此结论.

命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所

考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.

知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C= 转化为A∩C= 且B∩C= ，这样难度

就降低了.

错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，

因而可能感觉无从下手.

技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，

可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值.

解：∵(A∪B)∩C= ，∴A∩C= 且B∩C=

∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0

∵A∩C=

∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0

∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0,即b2>1

①

∵

∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0

∵B∩C= ,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0

∴k2－2k+8b－19<0,从而8b<20,即b<2.5 ②

由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得

∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= .

［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五

分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都

不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都

不赞成的学生各有多少人？

命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切

实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.

知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.

错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.

技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.

解：赞成A的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的

集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.

设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞

成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.

依题意(30－x)+(33－x)+x+( +1)=50,解得x=21.

所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.

●锦囊妙计

1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述

法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发

挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.

2.注意空集 的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A B,

则有A= 或A≠ 两种可能，此时应分类讨论.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)集合M={x|x= ,k∈Z},N={x|x= ,k∈Z},则( )

A.M=N B.M N C.M N

D.M∩N=

2.(★★★★)已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m－1}且B≠ ,若A∪B=A，则( )

A.－3≤m≤4 B.－3<m<4

C.2<m<4 D.2<m≤4

二、填空题

3.(★★★★)已知集合A={x∈R|ax2－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个，则a的取值范

围是_________.

4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| =1,a>0,b>0},当A∩B只有一个元素时，

a,b的关系式是_________.

三、解答题

5.(★★★★★)集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求当a取什么实数时，A∩B 和A∩C= 同时成立.

6.(★★★★★)已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an, )|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}.

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.

(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；

(2)A∩B至多有一个元素；

(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠ .

7.(★★★★)已知集合A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w= zi+b,b∈R},当A∩B=B时，求b的值.

8.(★★★★)设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.

(1)求证：A B;

(2)如果A={－1，3}，求B.

参考答案

难点磁场

解：由 得x2+(m－1)x+1=0 ① ∵A∩B≠

∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.

首先，由Δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,当m≥3时，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.

当m≤－1时，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.

故所求m的取值范围是m≤－1.

歼灭难点训练

一、1.解析：对M将k分成两类：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=

nπ+ ,n∈Z},对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ,n∈Z}.

答案：C

2.解析：∵A∪B=A，∴B A,又B≠ ,

∴ 即2＜m≤4.

答案：D

二、3.a=0或a≥

4.解析：由A∩B只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线 =1相切，则1= ,即ab= .

答案：ab=

三、5.解：log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴B={2,3}.由x2+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C= ，∴2和－4都不是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩B ,即A∩B≠ , ∴3是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.

当a=5时，得A={2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C= 不符合，所以a=5(舍去)；当a=－2时，可以求得A={3，－5}，符合A∩C= ，A∩B ，∴a=－2.

6.解：(1)正确.在等差数列{an}中，Sn= ,则 (a1+an),这表明点(an, ）的坐标适合方程y (x+a1),于是点(an, )均在直线y= x+ a1上.

(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组 的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B= ；当a1≠0时，方程(*)只有一个解x= ,此时，

方程组也只有一解 ,故上述方程组至多有一解.

∴A∩B至多有一个元素.

(3）不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠ ,那么据(2）的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0）,而x0= ＜0,y0= ＜0,这样的(x0,y0） A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B= ，所以a1≠0时，一定有A∩B≠ 是不正确的.

7.解：由w= zi+b得z= ,

∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得| －2|≤2,化简得|w－(b+i)|≤1.

∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面.

又A∩B=B，即B A，∴两圆内含.

因此 ≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=2.

8.(1)证明：设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A.

∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).

即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故A B.

(2)证明：∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x},

∴方程x2+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得

∴f(x)=x2－x－3.

于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x(*)的根. 将方程(*)变形，得(x2－x－3）2－x2=0

解得x=1,3, ,－ .

故B={－ ，－1， ，3}.

本文来自:【爱学啦】原文地址：http://www.ixuela.com/shuxue/fangfa/17367.html

第二篇：高中数学集合知识点总结

一：集合

1、分类 非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

2、列举法：{a,b,c……}

R| x-3?3、描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x>2} ,{x| x-3>2}

4、语言描述法：

5、Venn图:

韦

恩

图

示

性

质

A Φ=Φ

A B=B A

A B A

A B B

A A=A

A Φ=A

A B=B A

A B A

A B B

(CuA) (CuB)

= Cu (A B) A A=A

(CuA) (CuB)

= Cu(A B)

A (CuA)=U

A (CuA)= Φ．

6、集合的分类：

有限集 含有有限个元素的集合

无限集 含有无限个元素的集合

空集 不含任何元素的集合

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

A?即：① 任何一个集合是它本身的子集。A

B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)?B,且A?②真子集:如果A C?C ,那么 A?B, B?③如果 A

B?④ 如果A A 那么A=B?同时 B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

运算类型 交 集 并 集 补 集

定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作?A交B?），即A B=｛x|x A，且x B｝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作?A并B?），即A B ={x|x A，或x B})．

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作 ，即

CSA=

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(3)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(4)指数为零底数不可以等于零，

(5)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

2. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，

(2) 画法

描点法：

图象变换法

1平移变换

2伸缩变换

3对称变换

3、映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

3.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

二．函数的性质

1.函数的单调性

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

（2）减函数

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

(2).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

○1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

○2 作差f(x1)－f(x2)；

○3 变形（通常是因式分解和配方）；

○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f(－x)与f(x)的关系；

○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

指数函数的图象和性质

a>1

0<a<1

定义域 R 定义域 R

值域y＞0 值域y＞0

在R上单调递增

非奇非偶函数 在R上单调递减 非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）

2、对数函数的性质：

a>1

0<a<1

定义域x＞0 定义域x＞0

值域为R 值域为R

在R上递增 在R上递减

函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0）