初中一元一次方程知识点汇总

（一）、方程的有关概念

1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.

2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.

  例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程. （例1）

3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. （例2）

注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.

    ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

（二）、等式的性质

    等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.

    等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c

  等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，

  等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么=

（三）、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．（例3）

（四）、去括号法则

1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．

2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．

（五）、解方程的一般步骤（例4）

1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)

2. 去括号(按去括号法则和分配律)

3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)

4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)

5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=).

一．列一元一次方程解应用题的一般步骤

   （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．

二、一元一次方程的实际应用

1. 和、差、倍、分问题：

增长量＝原有量×增长率     现在量＝原有量＋增长量

  （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.

  （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

例1.1：兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？

      解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，

      则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．

      由题意，得2×（9+x）=15+x

          18+2x=15+x，移向得：2x-x=15-18

           ∴x=-3

      答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．

（点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3年后具有相反意义的量）

例1.2.一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程__3x-2x=10________.

例1.3. 用一根长80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10厘米，则这个长方形的长和宽各是__25_____、____15____.面积是____375cm___.

    分析:设宽为X，则长为X+10

          2(x+10)+2x=80

            2x+20+2x=80

                  4x=60

                   x=15

          面积=25*15=375

2. 等积变形问题：

（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：

     ①形状面积变了，周长没变；

     ②原料体积＝成品体积.

（2 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

     ①圆柱体的体积公式       V=底面积×高＝S·h＝

     ②长方体的体积           V＝长×宽×高＝abc

   例2.1 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，≈3.14）．

解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得      ·（）2x=300×300×80

   例2.2. 一根内径为3㎝的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8㎝、高为1.8㎝的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了＿＿11＿＿㎝.

分析：解：设水在圆柱形长试管中的水位为高度为x,由此可列方程如下：

          ×8 ×8×1.8=×3×3×x

                       X=12.8cm

         试管中的水高度下降了：12.8-1.8=11cm

3. 工程问题：

   工程问题：工作量＝工作效率×工作时间   

   完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

    例3.1. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，

(+)×3+=1　

           X=33|5

　　　　　　

    例3.2. 甲、乙工程队从相距100m的马路两端开始挖沟，甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队的2倍少1m，若5天完工，两队每天各挖几米？

分析：解：设乙队每天挖x米，甲队每天挖2x-1米

      5（2x-1）+5X=100

          10x-5+5x=100

                 X=7米

      甲：14-1=13米 乙：7米

4.行程问题：

路程＝速度×时间   时间＝路程÷速度   速度＝路程÷时间

  （1）相遇问题：  相遇路程=速度和*相遇时间

                   S1+s2=(v1+v2)*t 

  （2）追及问题：  追及路程=速度差*追及时间

  （3）航行问题：顺流速度＝静水速度＋水流速度

                 逆流速度＝静水速度－水流速度

                 顺流路程＝顺流速度*顺流时间

                 逆流路程＝逆流速度*逆流时间

   抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

例4.1. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

　　（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？

　　（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

　　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480  x=39\23

    解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600  x=12\23

    解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=600 x=12\5

解：设x小时后快车追上慢车。 由题意得，140x=90x+480  x=48\5

解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480 x=57\5

例4.2.一只轮船航行于甲乙两港之间，顺水去，4小时到达；逆水返回，5小时到达。已知两港间相距80千米，求轮船在静水中的速度和水流速度。

      解答：设船在静水中的速度为x千米一小时，

      因为：水流速度=顺流速度-静水速度=静水速度-逆流速度

      所以可以列方程：80|4-x=x-80\5

                           X=18  

      水流速度：20-18=2千米一小时

5.商品销售问题

（1）商品利润率＝×100%

 （2）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

 （3）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

  (4)利润=进价*利润率

  （5）售价=进价*（1+利润率）=标价*（折扣数\10）

（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．有关关系式：商品售价=商品标价×折扣率

（5）商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价

例5.1.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

解：设该工艺品每件的进价是元,标价是（45+x）元.依题意，得:

    8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x

    （360+8x）*0.85-8x=120

           306+6.8x-8x=120

          -1.2x=-186 x=155

        进价155 标价 200

6. 储蓄问题

⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

⑵ 利息=本金×利率×期数

本息和=本金+利息

本息=本金*（1+利率*期数）

利息税=利息×税率（20%）

    纯利息=本金*利率*期数*（1-利息税率）

（3）利润＝×100%  

例6.1．小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本息和约4700元，问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）．

解答：设这种债券的年利率是x，根据题意有

   4500+4500×2×x×（1-20%）=4700

                            x=0.027777=0.03        

7. 数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．

 十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）

(2)数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.

7.1.一个两位数,个位数字与十位数字之和为8,将个位数字与十位数字对调后，所得的新数比原数的乘积是1855，求原数

分析：设各位数字为x，十位数字为8-x。

      则：第一个数字：10（8-x）+x=80-9x

          第二个数字：10x+(8-x)=8+9x

          (80-9x)(8+9x)=1855

               X=5或者x=3

所以原数等于53或者35

第二篇：一元二次方程知识点总结

一元二次方程

考点一、一元二次方程    （6分）

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法    （10分）

1、直接开平方法:

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：

公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

5、韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

考点三、一元二次方程根的判别式    （3分）

根的判别式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III当△<0时，一元二次方程没有实数根

考点四、一元二次方程根与系数的关系    （3分）

如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

考点五、一元二次方程的二次函数的关系

大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了