课    题：数列复习小结（二）

教学目的：

1．进一步掌握数列的有关概念和公式的应用

2．要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧

授课类型：复习课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一引入：

上一节总结了数列的有关概念、方法、公式等，本节继续通过讲解例题，进一步加深和提高运用所学知识解决问题的灵活性

二、例题讲解

例1 在△ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证△ABC为正三角形

   证：由题设，且 

∴

        ∴  即   从而 

∴ （获证）

例2 从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，

问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？

    2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{}，则：

      a= 0.2 kg ,   a=×0.2 kg ,    a= ()×0.2 kg

      由此可见：= ()×0.2 kg , 

= ()×0.2= ()×0.2=0.0125 kg

    2.由1.得{}是等比数列    a=0.2 ,    q= 

     

   例3在等比数列中，，求的范围

解：∵，∴

又∵，且，∴，

∴解之：

当时，，∴

（∵）

当时，，

∵且必须为偶数

∴，（∵）

例4 设{}, {}都是等差数列，它们的前n项和分别为, , 已知,求⑴；⑵

 ⑴ 解法1：＝＝

＝.

⑴解法2：∵{}, {}都是等差数列

∴可设＝kn(5n+3), =kn(2n-1)

∴=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),

  =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),

∴==

⑵解：由⑴解法2，有

=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),

  =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),

        ∴＝k5(105-2)=240k

           ＝k8(48-3)=232k

        ∴ =

例5设等差数列{}的前n项和为,

(1)   如果a＝9, S＝40, 问是否存在常数c，使数列{}成等差数列；

(2)   如果＝n－6n, 问是否存在常数c，使得＝对任意自然数n都成立

  解：(1) 由a＝9, S＝40, 得a＝7, d＝2,

∴ ＝2n＋5, ＝n²＋6n, ＝

  ∴ 当c＝9时, ＝n＋3是等差数列；

  (2) ＝对任意自然数n都成立，

等价于{}成等差数列,

由于＝n－6n

∴＝,

即使c＝9, ＝|n－3|, 也不会成等差数列，

因此不存在这样的常数c使得＝对任意自然数n都成立

三、课后作业：

1．已知, a, , …, , …构成一等差数列，其前n项和为＝n, 设＝, 记{}的前n项和为, (1) 求数列{}的通项公式；(2) 证明：<1.

  解：(1) ＝＝1, 当n≥2时, ＝－＝2n－1;

由于n＝1时符合公式，∴ ＝2n－1 (n≥1).

  (2) ＝,

∴ ＝,

   两式相减得

＝＋＝＋(1－)－,

   ∴ ＝＋(1－)－<1,

   2．已知等差数列{}的前n项和为，＝, 且＝,＋＝21, (1) 求数列{b_n}的通项公式；(2) 求证：＋＋＋……＋<2.

  解：(1)设等差数列{}的首项为, 公差为d,则＝(＋2d)·＝,

  ＋＝8＋13d＝21, 解得 ＝1, d＝1,

  ∴ ＝n, ＝, ＝;

  (2) ＋＋＋……＋

＝2·[(1－)＋(－)＋……＋()]<2.

  23．已知函数f (x)＝(x－1), 数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列(q∈R, q≠1, q≠0),

若＝f (d－1), ＝f (d＋1), ＝f (q－1), ＝f (q＋1),

  (1) 求数列{}, {}的通项公式；

  (2) 设数列{}对任意的自然数n均有

成立，求＋＋＋……＋的值

   解：(1) ＝f (d－1)＝(d－2), ＝f (d＋1)＝d,

∴ －＝2d, 即d－(d－2)＝2d,

解得d＝2, ∴ ＝0, ＝2(n－1),

   又＝f (q－1)＝(q－2), ＝f (q＋1)＝q,  ＝q,

∴ ＝q,

   ∵q ≠1, ∴ q＝3, ∴＝1, ＝3

  (2) 设＝(n∈N), 数列{}的前n项和为,

则＝＝2n, ＝＝2(n－1), 

 ∴－＝2, 即＝2, ∴ ＝2＝2·3

  ∴＋＋＋……＋

＝2＋2·3＋……＋2·3＝＝,

四、板书设计（略）

五、课后记：

第二篇：数列复习小结1

数列复习小结

一、教学目标

（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；

（2）提高分析、解决问题能力．

二、知识点总结

（一） 数列的概念

1．数列的概念与简单表示法

（1）从定义角度看：

（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N^*它的有限子集为定义域的函数a_n=f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.

2．数列的表示

（1）列表法；

（2）图象法：注意图象是       ，而不是_______；

（3）通项公式：

（4）递推公式：如果已知数列｛a_n｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

3．数列的分类

1）按数列项数的多少可以分为          和         。

2）按数列中相邻两项的大小可分为       、      、    和    .

4．数列的通项a_n与前n项和S_n之间的关系

对任一数列有a_n=               

（二）等差数列

1.等差数列的定义：

若数列｛a_n｝为等差数列，则有a_n-a_n-1=    (其中n≥2，n∈N^*).

2.等差中项：

3.等差数列的通项公式：a_n=          ，其中a₁为首项，d为公差.

当d>0时，数列｛a_n｝为    数列；当d<0时，数列｛a_n｝为    数列；当d=0时，数列｛a_n｝为        列.

4.等差数列的前n项和公式：

_____________________________; _____________________________

5.等差数列的性质：

（1）等差数列｛a_n｝中，a_n-a_m=        d；

（2）等差数列｛a_n｝中，若m+n=p+q(其中m,n,p,q∈N^*)，则          ；若m+n=2p，则a_m+a_n=      _p，也称a_p为a_m，a_n的           .

（3）等差数列中依次k项和成等差数列，即

___________________________________成等差数列，其公差为      。

6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为___________________

  若四个数成等差数列，可设为_____________________________.

7.等差数列的判定方法：

1）定义法：                            是等差数列。

2）中项公式法：              （n）是等差数列

3) 通项公式法：                        是等差数列

4）前n项和公式法：            （A,B,为常数）是等差数列

（三）等比数列

1.等比数列的定义：

若数列｛a_n｝为等比数列，则有            (n≥2, n∈N^*,q≠0).

2.等比中项：____________________________________

3.等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a₁,公比为q，则其通项公式为a_n=         .

4.等比数列的前n项和公式：若等比数列的首项为a₁,公比为q，则其前n

项和                     .

5.等比数列的性质：若等比数列的首项为a₁,公比为q，则有：

（1）a_n=a_m     ；

（2）m+n=s+t(其中m,n,s,t∈N^*)，则________t；若m+n=2k，则_________m.

（3）等比数列中依次k项和成等比数列，即

_________________________________成等比数列，其公比为      。

（四）求和方法

1.公式法:

①=(等差数列);

②(等比数列)

2.倒序相加法:将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法(等差数列前n项公式的推导所用方法).

3.错位相减法:若｛a_n｝是等差数列,｛b_n｝是等比数列,求数列｛a_nb_n｝的前n项时,可在等式两边同乘以数列｛b_n｝的公比,再与原式相减,从而求和的方法(等比数列前n项和公式的推导方法).

4.裂项相消法:若｛a_n｝是等差数列,求数列的前n项和时,可把一项拆成两项的差的形式从而求和,也适合于其它裂项后易于求和的数列.

5.分组求和:对于既非等差又非等比数列的一类数列,若将数列的项进行适当的拆分,可分成等差、等比或常数列,然后求和.

6.并项求和法:当相邻两项的和为常数或有一定规律易于求和时可用这种方法.

数列复习小结课后作业

1.已知为等差数列，，则=___

2.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= ______

3.设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则=         .

4.等差数列的前n项和为，已知，,则______

6.若数列{a_n}是首项为1，公比为a－的无穷等比数列，且{a_n}各项的和为a，则a的值是                      

7.已知数列对任意的满足，且，那么=           

                         

8.若等差数列的前5项和，且，则                  

9.在数列中，， ，则              

10.记等差数列的前项和为，若，，则                

11.已知是等比数列，，则=

                   

12.设等比数列的公比，前n项和为，则           

13.设等差数列的前项和为，若，则的最大值为__________。

15.已知函数,等差数列的公差为.若,则            .

16.若等差数列{}的前三项和且，则=             

17.设等比数列{ }的前n 项和为  ，若  =3 ，则   =______  

18.数列的前项和为，若，则等于___

19.设等差数列的前项和为，若，，则

20.已知数列{}的前项和，第项满足，则

21.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是

22.各项均为正数的等比数列的前n项和为S_n，若S_n=2,S₃₀=14,则S₄₀等于

23.设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则

24.设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则____

25.等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．

26.已知等差数列的前项和为，若，则         ．

27.若数列的前项和，则此数列的通项公式为              ；数列中数值最小的项是第                    项．

28．在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式         ．

四解答题

1.设是正数组成的数列，其前n项为Sn，且对于所有正整数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项。

⑴求的通项公式；

⑵求的值。

2.设数列的前项和为 已知

（I）设，证明数列是等比数列  

（II）求数列的通项公式。

3.已知数列的前项和为，且，

(1)证明：是等比数列；

(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.

4.已知是各项均为正数的等比数列，且

，

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和。

5.已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.

（Ⅰ）求通项及；

（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.

6.已知为等差数列，且，。

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列满足，，求的前n项和公式

7.在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.

（Ⅰ）证明成等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

8.在数列中，，，．

（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．

9.已知实数列等比数列,其中成等差数列.

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)数列的前项和记为证明: ＜128…).

10.设数列满足，．

（Ⅰ）求数列的通项；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

11.设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．

（1）求数列的等差数列．

（2）令求数列的前项和．

12.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，

（Ⅰ）求，的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

13.某企业20##年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A_n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B_n万元（须扣除技术改造资金），求A_n、B_n的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

14.等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.  （1）求r的值； （11）当b=2时，记     求数列的前项和