第一章 知识点小结

1.数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法，及其理论与软件实现。

2.误差的概念

（1）误差的来源：模型误差、观测误差、方法误差(又称截断误差，与所用算法有关)和舍入误差(计算机字长有限，在用计算机表示和计算中产生误差)。

（2）误差（限），相对误差（限）；

设x为精确值,a为x的一个近似数。

误差：                         

误差限：如果

相对误差：                                   

      实际运算                 

相对误差限：             

（3）

有效数字及有效数字与相对误差的关系；

                                                            

 

（4）

函数的误差估计：一元、多元、四则运算。

一元函数的误差估计：

 

则：

误差估计式：

多元函数的误差估计：

设               为              的近似值，                      为

               的近似函数，于是，由泰勒展开得函数值的误差为

                                                 

误差估计式：

四则运算：

            

3.误差的定性分析

（1）算法的数值稳定性；

用一个算法进行计算，初始数据误差（舍入误差造成）在计算中传播使计算结果误差增长很快，则称该算法是数值不稳定的，否则是数值稳定的。

（2）病态问题与条件数；

病态是数学问题即数学模型本身的性质,与算法无关。病态数学问题是指对一个数值问题本身，当输入数据有微小扰动（即误差）时，引起输出数据（即问题解）的相对误差很大，这就是病态问题。相反的问题为良态数学问题。

条件数C衡量问题的病态程度（C越大病态可能越严重）：

计算函数值y=f(x)时，若x有扰动，           其相对误差为

函数值y=f(a)的相对误差为             ，相对误差的比值：

                                

                                       称为计算函数值问题的条件数。

4.避免误差危害的原则：

（1）避免两相近数相减；（2）化简步骤，减少运算次数；

（3）避免绝对值很小的数做除数；（4）防止大数吃小数。

注：所有知识点总结及习题都是小组集体智慧的结晶。

第二篇：第一章知识点总结与精练

一、第一章 数的整除

（一）整数和整除

1.自然数的概念和整数的分类

（1）_______和________统称为自然数；______、_______和________统称为整数。

（2）0比较特殊，零是自然数也是整数，但0既不是_____整数也不是____整数。

2.整除和除尽

（1）_____a除以_____b，如果除得的商是整数而余数为_____,我们就说a能被b整除；或说b能整除a。

（2）整除和除尽的共同点：除数不为零，余数为_____.不同点：整除中被除数、除数，商均为整数，而除尽中被除数，除数，商____为整数。

3.因数和倍数

（1）a能被b整除，a叫b的______,b叫a的__________.

（2）因数：一个数的因数有______个（有限或无限），最小的因数是______,最大的因数是_____.

（3）倍数：一个数的倍数有______个（有限或无限），最小的倍数是_____,最大的倍数_______.

4.能被2或5整除的数

能被2整除的数的特征是__________.能被5整除的数的特征是____________.能同时被2,5整除的数的特征是________________.

（二）分解素因数

1.素数与合数

（1）__________________，这样的数叫素数；________________,这样的数叫做合数。

（2）正整数按含因数的个数可分为__________、___________和_____________.

（3）__________既不是素数也不是合数；所有的素数（除_____外）都是奇数；所有的偶数（除________外）都是合数。

（4）最小的素数是_____________;最大的素数是_________.

（5）__________________,叫做分解素因数。分解素因数的方法有__________和__________.

2.公因数与最大公约数

（1）___________________,那么称这两个数位互素。

（2）求公因数和最大公因数的方法：

①若两个数互素，则它们的最大公因数是________.

②若两个数存在倍数关系，则它们的最大公因数是___________.

③若两个数既不互素，也不存在倍数关系，则它们的最大公因数是_____________.

3.公倍数和最小公倍数

（1）求两个整数的最小公倍数，只要取它们___________的素因数，再取它们__________的素因数，将这些数连乘所得的积就是这两个数的最小公倍数；

（2）求最小公倍数的方法：

①若两个数互素，则它们的最小公倍数是________.

②若两个数存在倍数关系，则它们的最小公倍是___________.

③若两个数既不互素，也不存在倍数关系，则它们的最小公倍数是_____________.

4.公因数与公倍数

（1）求两个数最大公因数和最大公倍数的共同点：都可以用____________法求解。

（2）求两个数的最大公因数和最小公倍数的不同点：

①在用短除法除到各个商互素后，最大公因数是把________________相乘。

②在用短除法除到各个商互素后，最小公倍数是把________________________相乘。