线代代数部分

一、数学试卷题型结构

20##年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲，试卷题型结构为：单项选择题8小题，每小题4分，共32分；填空题6小题，每小题4分，共24分；解答题(包括证明题)9小题，共94分；均与20##年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲相同。

    线性代数部分在数学一、二、三中均占22%，具体分值为：单项选择题 2小题，每小题4分，共8分；填空题1小题，每小题4分，共4分；解答题(包括证明题) 2小题，每小题11分，共22分。线性代数总共34分。

二、线性代数的特点

1.概念多、符号多、运算法则多，容易混淆；

2.内在联系紧密，抽象性、逻辑性要求较高；

3.以线性方程组为主线，以矩阵理论为核心，以初等变换为基本方法。

三、线性代数的复习策略

1.归纳整理，查漏补缺,注意总结复习；

2.实战演练，在类似真实环境下做真题及模拟题，提高解题速度，找出差错；

3.积极备考,注意身体及心态。

四、线性代数的复习概论

1.吃透基本概念，掌握相应性质

线性代数的基本概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表示，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定矩阵，合同变换与合同矩阵。 

2.正确运用基本方法和基本运算

基本方法和基本运算要掌握，重要的有：行列式(数字型、字母型、抽象型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求（非）齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。

3.注重概念与方法之间的联系和区别

线性代数的基本概念和性质很多，并且它们之间存在着千丝万缕的联系，要特别注意根据每年线性代数考试的两个大题内容找出所涉及到的概念与方法之间的联系和区别。例如：向量的线性表示与非齐次线性方程组解的讨论之间的联系；向量的线性相关(无关)与齐次线性方程组有非零解(仅有零解)的讨论之间的联系；实对称矩阵的对角化与实二次型化标准形之间的联系等等。掌握它们之间的联系和区别，对解决线性代数的大题在解题思路、方法、技巧方面会有很大的帮助。

4.加强综合能力的训练，培养分析问题和解决问题的能力

　　从近十年特别是近两年的研究生入学考试试题看，对考生分析和解决问题能力的考核有所增强。线性代数部分的两个大题中基本上都是多个知识点的综合考查，从而达到对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力的全面考查。因此，在打好基础的同时，通过做一些综合性较强的习题，如近年的考试真题(或模拟题)，边做边总结，加深对概念、性质、内涵的理解和应用方法的掌握。

五、线性代数的复习重点

    线性代数前后知识的联系非常紧密，所以在复习线性代数的时候，一定要抓住这点，把知识连贯起来，这时就会发现，掌握线性代数是比较容易的。整个线性代数，通常可以分成三大块内容。第一部分，行列式和矩阵，是线性代数的基础部分，基础部分一般来讲不考大题。以这个为基础，延伸出两个主要部分，一部分是向量和线性方程组，一般情况下每年在这个部分考一个大题；另一部分是特征值、对角化与二次型，特别是矩阵的特征值和特征向量，非常重要；其次是二次型，与对称矩阵可以看作是同一事件的两个不同方面，因为大家知道，二次型和对称矩阵构成了一一对应的关系，二次型也很重要。

第一部分，行列式和矩阵(基础部分,一般考小题)

行列式这部分没有太多内容，主要就是行列式的定义、性质及计算。重点在于行列式的计算和展开公式。展开公式的本质是：一个矩阵 A 乘以A 的伴随矩阵等于 A 的行列式乘以单位矩阵。

矩阵是一个基础，关联到整个线性代数，所以矩阵的运算非常重要，尤其不要做非法的运算。因为大家习惯了数的运算，在做矩阵运算的时候容易受到数的运算的影响，所以这个地方大家要把它搞清楚。矩阵运算里一个很重要的运算就是初等变换。我们在解线性方程组、求特征向量时都离不开初等变换。这是我们矩阵部分的重点。

重要题型：

1.计算行列式；

2.矩阵运算（逆矩阵计算与证明）；

3.求矩阵的秩。

第二部分，向量与线性方程组（重要，一般考一大题)

向量这部分是逻辑性非常强的部分，也是大家感到比较困难的部分，这部分的逻辑推理很强，大家一定要非常熟悉那些教材里重要的定理，拿到一个题马上要能反应过来。比如说有这样一个定理，很多考生都觉得比较难，其实可以形象地记忆。定理是这样的：第一个向量组可由第二个向量组线性表示，第一个向量组线性无关，可以推出第一个向量组含的向量的个数小于等于第二个向量组含的向量的个数。这个定理考了多次了，20##年单独考了这个题，是一个选择题。其实这个题大家可以换一种方式记一下，比如可以这样记，就是说一个线性无关的向量组不可能由一个比它的个数还少的向量组线性表示，这句话就表示了前面的定理。它的几何直观就是指一个高维空间的东西不能放到低维空间，至少放到同维空间。比如一个立体的东西是放不到一个平面中去的，也放不到一条直线上去的。你这样把几何直观理解后，这个定理就不会记错了。

关于向量，证明（或判别）向量组的线性相关（无关）、线性表示等问题的关键，在于深刻理解线性相关（无关）的概念及掌握几个相关的定理，并要注意证明过程中逻辑的正确性及反证法的使用。向量组的极大无关组、等价向量组、向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。

线性方程组的解的判定、解的性质、解的结构这三部分要搞清楚，考试经常考到，每年一定会在线性方程组里面出大题。

重要题型

1.判定向量组线性相关性；

2.向量组的线性表示；

3.求向量组的秩与极大无关组；

4.方程组（齐次，非齐次）解的判定与求解；

5.两方程组的公共解与同解。

第三部分，特征值、对角化与二次型（重要，一般考一大题)

矩阵的特征值和特征向量问题，是线性代数的重点的重点，考试经常考到，基本上都是大题，有时大题、小题都考。对具体的矩阵，解一个特征方程就可以求出特征值了；特征向量就是求齐次线性方程组的基础解系。前面的基础打牢了，这里就没有什么问题了。对抽象矩阵的特征值和特征向量，也需要注意。

二次型只要把对应的矩阵写出来，问题就可以转化为对称矩阵的对角型来讨论。所以后面的内容又联系上前面的东西。把前面的基础打牢，后面的知识自然就掌握了。线性代数中碰到解题的问题，有时候是把矩阵的问题转化为线性方程组来做，有时候是把线性方程组的问题转化为矩阵来解决。

重要题型

1.求特征值与特征向量；

2.相似对角化判定与计算；

3.求二次型的标准形；

4.正定矩阵（二次型）的判定与证明。

六、线性代数的典型例题

例1 已知，，，则＝       .

例2 设是维列向量，又，，若，则＝       .

例3  已知均为3阶不可逆矩阵，且满足，若，则

＝       .

例4  设阶矩阵满足，则必有(   )

（A） （B）  （C）   （D） 

例5  设是四个4 阶方阵，其中，，，，且满足，若，则的取值范围是(   )

（A）  （B）  （C） （D） 

例6  设矩阵，经初等行变换可化为，

则必有(   )

   (A)        (B)

   (C) 线性无关   (D) 线性相关，但无法给出其关系

例7  设向量组线性无关,向量 能由线性表示,向量不能由线性表示,则必有(   )

   (A) 线性无关     (B) 线性相关

(C) 线性无关     (D) 线性相关

例8设，， 

线性无关，是下列方程组的基础解系

，

证明：向量组线性无关.

例9  设是4维非零列向量组，矩阵，为的伴随矩阵，已知方程组的通解为，则方程组的基础解系为

(A)              (B)

(C)              (D)  

例10   已知矩阵是4阶矩阵，是4维列向量，若方程组的通解是，又，求方程组的通解.

例11  已知四元齐次线性方程组（I）：的解全是四元齐次线性方程组（Ⅱ）：的解，

（1）求的值；

（2）求齐次方程组（I）的解；

（3）求齐次方程组（Ⅱ）的解.

例12  设为阶矩阵，且，则必有(   )

（A）                  （B）若为实对阵矩阵，则 

（C）有非零特征值          （D）可对角化

例13  设为3维实非零列向量，，则一定(   )

（A）没有特征值为零           （B）有零特征值，为单特征值 

（C）有零特征值，为二重特征值 （D）只有零特征值

例14  若3阶奇异矩阵满足：，，为3阶单位矩阵，

则       .

例15  设为3阶矩阵，其特征值为 1，3，-2，相应的特征向量依次为，若，则(   )

 (A)  (B)  (C)  (D)

例16  设为阶方阵，是维列向量，已知，， ，，且，

（1）证明：线性无关；

（2）求的解；

（3）求出的全部特征值与特征向量，并证明不可对角化.

例17  已知二次型的秩等于1，

（1）求，及二次型的矩阵；

（2）用正交变换标准化.

例18  设二次型的矩阵满足，其中 ，

（1）用正交变换化二次型为标准形，并写出所用的正交变换；

（2）求.

例19  设阶实对阵矩阵满足，且，

（1）求二次型的规范形；

（2）证明是正定矩阵，并求行列式的值.

例20  设为3阶矩阵，已知 线性无关，且 ，证明：

（1）矩阵可逆；

（2）为正定矩阵.  

第二篇：线性代数复习重点小结

         2015.01.15线性代数复习重点小结

代数余子式；伴随矩阵，公式；

若a是A的特征值，则f(a)是f(A)的特征值；

初等矩阵，参照P188,9（2）；

矩阵的逆；矩阵的秩；行列式性质；范德蒙行列式；向量集的线性相关，线性无关性；

求行列式的值；参照P194,6作业题

解矩阵方程；参照P186,4

求线性方程组的解；参照P196,3,4,5

求向量集的秩，最大线性无关子集，并会用最大无关子集把其他向量线性表出；参照P197,8,9，10

会求矩阵的特征值，特征向量，会判断矩阵是否相似于对角阵，并写出变换阵。参照P115，例3及P118例3续

  

参照课件中的相关例题进行复习！

   祝大家考出好成绩！寒假愉快！

附注：

考试题型：选择题，填空题，计算题

考试时间：20##-01-15，14:00-16:00

考试地点：由于考试班级较多，系统里面显示的地点及学院信息并不完整，因此我无法跟大家一一说出考试的具体地点。请大家在学院教务那里搞清楚考试地点。