《微积分》（下）（赵树嫄）总结
第七章 无穷级数
一、内容提要：
１．常数项级数的概念 Ｐ271
（1） 级数的定义 级数 通项 部分和 余项
（2） 级数收敛的定义
２．常数项级数基本性质 Ｐ274
５条 和 k倍 加减有限项 加括号 收敛的必有条件
３．几个重要的数项级数
1º 等比级数 
，当
＜1时收敛；当
1时发散；
2º 调和级数 
发散；
3º p-级数 
（p＞0）,当01时收敛。
４．正项级数审敛法
设
与
均为正项级数，
（１）
收敛 充要条件 
有界。Ｐ279 定理7.6
（２）比较审敛法 Ｐ279
若收敛（发散）且
，则
收敛（发散）。
比较法的极限形式：Ｐ282推论
若
,则与同时收敛或同时发散；
当
=0时，可由收敛推出也收敛
当
可由发散推出也发散。
（３）比值审敛法 Ｐ283
若
，
当＜1时，则收敛；当＞1时，则发散；当=1时，待定。
５． 交错级数审敛法(莱布尼兹审敛法) Ｐ286
若交错级数
满足①
，且②
，则
收敛；且
。
６．任意项级数审敛法
① 若
，则发散；
② 若
收敛，则绝对收敛；
③ 若发散，但收敛，则条件收敛。
④ 任意项级数满足
，则当
时级数绝对收敛，
级数发散。
７．幂级数
1º 幂级数 形如
的无穷和式，叫幂级数。
当
=0时，则为
2º 幂级数
的收敛域是一个以原点为中心从-R到R的区间，这个区间叫做幂级数的收敛区间，其中
称为幂级数的收敛半径。当
时要对区间端点
的收敛情况专门讨论。
3º 求收敛区间的步骤及定理 P292
4º 运算性质 P295
① 代数运算
设与
的收敛半径分别为R与
（R与均大于零）则在
内有
；
② 分析运算
设 在（-R，R）内
，则在（-R，R）内：
（ⅰ）对幂级数可以逐项微分，即
；
（ⅱ）对幂级数可以逐项积分，即
此处积分上限
内的任一点。
注意一 在收敛区间
内对幂级数逐项微分逐项积分后所得幂级数的收敛半径与原级数相同（即收敛半径不变），但是级数在收敛区间两端点处的敛散性可能改变。
8．将函数展开为幂级数
（ⅰ）间接法 P303
利用下列几个函数的展开式：
（-∞，+∞）
或
（-∞，+∞）
或
（-∞，+∞）
或
（-1，1）
二、主要题型
１．判断级数的收敛性
（1）判断级数的敛散性 （正项级数）；
（2）判断级数的敛散性若收敛是绝对收敛还是条件收敛 ；
２．求幂级数的收敛域
① 不缺项时：先求相邻两系数之比的绝对值的极限
，则收敛半径；
再验两端点，则收敛域=
收敛的端点。
② 缺项时或
型：先求相邻两项之比的绝对值的极限，
解不等式
，可得x所属的区间
；
再验两端点
，则收敛域=
收敛的端点。
（或用变量代换）
３．将函数展开为幂级数
一般间接展开 ，
注意 (1)恒等变形后用公式；(2)幂级数的展开点
第八章 多元函数微积分
一、内容提要
１．空间解析几何
直角坐标系 两点间的距离
２．二元函数的概念 Ｐ322
二元函数的定义；定义域；二元函数的极限与连续
3．二元函数偏导数定义 Ｐ327 高阶偏导数Ｐ330
5．二元函数全微分 Ｐ332 
6. 二元函数在一点连续，偏导数存在与可微的关系
偏导连续→可微→连续
↘偏导存在
7．多元复合函数求导法则 Ｐ335 全导 P336
8．隐函数求导法则 （公式） P340
9．多元函数的极值 Ｐ340
（１） 定理8.4（必要条件）P341
（２） 定理8.5（充分条件）Ｐ342
（３） 条件极值 （拉格朗日乘数法Ｐ344 步骤 3条）
10．二重积分
（1）二重积分的定义 Ｐ349
（2）二重积分的性质 Ｐ350 7条
（3）直角坐标系计算二重积分 Ｐ353 公式8.15 公式8.16
（4）利用极坐标计算二重积分 Ｐ359 公式8.21 公式8.23
二、主要题型：
１．求函数的定义域;
2．求函数的偏导数（包括微分、二阶偏导数）
3．求复合函数的偏导数，（包括半抽象半具体函数）
4．求隐函数的偏导数
注意 ：首先判断是那一种函数，再考虑用什么公式
5．求极值及条件极值
6．求二重积分 首先选择坐标，再选公式
7．交换积分次序
第九章 微分方程
一、主要内容：
1．微分方程的概念 Ｐ373 （定义，阶，解，通解，特解，）
2．一阶微分方程
（1）可分离变量方程 Ｐ375
（2）一阶线性微分方程 Ｐ380
3．二阶微分方程
（1）可降阶的微分方程
（a）
P385
（b）
P385 令
（c）
P386 令
(2)二阶常系数线性微分方程
a) 二阶齐次线性微分方程 Ｐ388 解 P391
b) 二阶非齐次线性微分方程 P391
解 P395 
待定系数法特解形式
P395
待定系数法特解形式
二、主要题型：
１．求方程的解
首先判断是一阶还是二阶微分方程，再判断是那一类
2. 方程应用
首先建立微分方程 （一般是求初值问题）
判断方程类型
求解方程
08微积分试卷分值分布
一、填充题（每题3分,共21分）
二、选择题（每题2分,共16分）
三、求下列函数的偏导数或重积分（每题6分，共30分）
四、解答题 （共33分）（5题）
模拟试题
1．
的定义域为
；
2.
；
3．设
，则
=
；
=
；
4．已知
，则
；
5.
=
；
6．若级数
收敛，则
4 ；
7、幂级数
的收敛半径
；
二、单选题 （5×
=
）
1．点（1，－1，1）在曲面（ A ）上
A 
B 
C 
D 
2．下列级数中，绝对收敛的级数为（ A ）
A.
B.
C.
D.
3.设
，则
=（ D ）
A. 1 B. C. D. 
4．变换积分次序
（ D ）
A.
B.
C.
D.
5．函数
是微分方程
的（ D ）.
A 通解 B 特解 C不是解 D 解
三、求下列函数的偏导数（2×
=
）
（1）
而
求
解： 
（2）．求由方程
所确定的隐函数
的导数
，
解：
则 
四、求
其中D是由
所围成的区域（）
解： 
五．交换累次积分次序：
（）
解： 
六．求函数
的极值 （）
解： 由
，得驻点
再由
，得
因为
，所以
不是极值点
因为
所以在点
处函数有极大值
七、判断级数
是否收敛，若收敛是绝对收敛，还是条件收敛
解： 
（)
所以绝对收敛.
八．将
展开成为
的幂级数，并求收敛区间 ()
解：因为 
所以 
九．求下列微分方程的通解（2×=）
(1) 
解：
的通解为
由常数变易可设原方程的通解为
，代入原方程得
，则 
所以原方程的通解为 
(
为任意常数)
(2)
解: 设
则
代入原方程有: 
即 
从而
,即
则
(
为任意常数)