第81课本章小结
【教学目标】
1．熟练掌握直线与圆锥曲线的三种位置关系的数与形的一一对应。
2．进一步探索解析几何的基本思想及应用，提高学生的数学能力。
3. 培养学生积极探索、永不言败的科学精神，培养学生克服困难的意志。
【教学重点】
圆锥曲线的性质,直线和圆锥曲线关系，涉及到弦长的计算、弦的中点，以及一些角度的取值等。
【教学难点】
(1)有公共点条件的确定;(2)函数与方程思想的运用;(3)命题的推广;(4)题中往往涉及一些变量的范围求解.
【教学过程】
一．知识整理
1、 曲线的方程与方程的曲线
在直角坐标系中，如果曲线
（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上点集与一个二元方程
的实数解集建立如下关系：
① 都是这个方程的解．
② 都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2、 求曲线的方程的一般步骤：
⑴ ，用
表示曲线上任一点
的坐标（建系设点）；
⑵ 用坐标表示满足条件的点，列出方程 ；
⑶ 化方程为最简形式（化简）；
⑷ 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（证明）．
其中（2）是关键，而（4）的证明可以省略（不是不需要），在化简过程中注意是否产生了增根或丢根现象，做到多去少补．
3、求曲线方程的常用方法：直接法、代入法、几何法、参数法（理）
4、求两曲线的交点：直线与二次曲线的交点情况可以通过 ，然后求方程组的解．而如果方程组由两个二元二次方程组组成，就不一定有类似的对应关系，除了用判别式，还需要考虑变量的取值范围．
5、交点的个数：可利用求交点的方法来判定，也可数形结合来观察图象有几个交点．特别是对于两个二次曲线．
6、求两交点间的距离：若两交点分别为
，则两点间的距离为
．
7.圆：
(1)、圆的定义 ．
(2)、圆的方程为：（1）标准方程 ．
（2）一般方程 ．
(3)、过圆上一点
的圆
的切线方程为 ．
(4)、点与圆的位置关系：已知及圆
则有：
（1）点
在圆外
．
（2）点在圆上 ．
（3）点在圆内 ．
(5)、直线与圆的位置关系的判定方法：
（1）
． 
． 
．
（2）
． 
． 
．
(6)、两圆的位置关系：设两圆的半径为
，圆心距为
则：
（1）外离 ．
（2）外切 ．
（3）相交 ．
（4）内切 ．
（5）内含 ．
8、椭圆
(1)、我们把 叫做椭圆，这两个 叫做椭圆的 ，两 的距离叫做椭圆的 .
(2)、椭圆的标准方程：
注意：
1）当且仅当椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有上述的标准形式.
2）
的关系可在一个直角三角形中体现，即满足关系式：________________.
3）
称为椭圆的 ，
称为椭圆的 ，常数
和
决定椭圆的大小和扁平程度，是椭圆的定形条件.
4）范围：
；
.
5）对称性：对称轴方程为 ，对称中心为 .
(3)、点
与椭圆
的位置关系及判断方法：
1） _ ；
2）点在椭圆上
；
3） .
(4)、直线
与椭圆的位置关系及判断方法：
1） ；
2）直线
与椭圆相交 ；
3） .
(5)、直线与椭圆相交形成的弦长公式为 .
9、双曲线：
(1)．双曲线的定义
平面内与两个定点
的距离的差的绝对值等于__ 的动点的轨迹叫做 ．这两个定点叫做双曲线的 ，两个焦点间的距离
叫做双曲线的 __________．对于双曲线的定义，要注意
．当
时，动点轨迹是 __；当
时，动点轨迹是
(2)．双曲线的标准方程
(3)．双曲线
的性质
1）对称性：双曲线关于
轴、
轴轴对称，关于原点中心对称．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心
2）顶点与轴：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点．
双曲线有两个顶点
，线段
叫做双曲线的实轴，它的长为．轴上的两个点
，线段
叫做双曲线的虚轴，它的长为．和分别叫做双曲线的实半轴长和虚半轴长．
3）范围：
，
4）渐近线：渐近线方程为
(4)．等轴双曲线
1）定义：________________________________________
2）方程：________________________________________
3）性质：________________________________________
(5)．共轭双曲线
1）定义：________________________________________
与
互为共轭双曲线
2）性质：________________________________________
10、抛物线：
(1).抛物线定义：平面内与一个定点和一条定直线__________的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的_____，定直线
叫做抛物线的_____
(2)抛物线的标准方程：
1）
2）
3）
4）
焦点到顶点的距离是 焦点到准线的距离是
(3).抛物线的性质
1）对称性：抛物线
关于____轴对称（x）
2)顶点：抛物线与它的______的交点叫做抛物线的顶点（对称轴）
3）范围：抛物线中
(4). 过焦点的弦长公式（
）
过焦点的弦长公式（
）
(5)．直线与抛物线的位置关系:
1)_____________:直线与抛物线交于两个不同的点，或直线与抛物线的对称轴平行
2）____________：直线与抛物线有且只有一个公共点，且直线与对称轴不平行
3）_____________:直线与抛物线没有公共点
判断方法：把直线的方程与抛物线方程联立方程组
方程组有一组解
________________________
方程组有两组解________________________
方程组无解_____________________________
二．例题精析
【属性】高三复习，二次曲线性质，解答题，中档题，分析问题与解决问题能力。
【题目】. 过圆
内一点
作直线与圆交于
两点，求弦
的中点
的轨迹。
【解答】
方法一：（直接法）由于
，即
，可利用向量垂直的充要条件得到的轨迹方程
，其轨迹为整个圆（如何准确地叙述？）。
讨论：也可利用垂直的斜率条件
，但有什么注意点吗？
方法二：（定义法）由于动点满足，在三角形
中
，由直角三角形的性质斜边上的中线为斜边的一半可知，若
的中点为
，则
为定长。因此，可知动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，不难得到圆的标准方程。
方法三：（参数法）谈论交点可以联立方程组。
设直线
或
，则由
得
，由于点在圆内因此
恒成立，设两交点
，，则
。
因此，
，得
，代入前式可得
，即
。
由时可知
也满足
，因此圆的标准方程为，轨迹略。
【属性】高三复习，二次曲线性质，选择题，中档题，逻辑思维能力。
【题目】已知抛物线
与直线
，“
”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的 （A）充分不必要条件； （B）必要不充分条件；
（C）充要条件； （D）既不充分也不必要条件
【解答】B
【属性】高三复习，二次曲线性质，解答题，难题，分析问题与解决问题能力。
【题目】以椭圆
的短轴的一个端点B(0，1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，问这样的直角三角形是否存在。如果存在，请说明理由，并判断最多能作出几个这样的三角形?如果不存在，请说明理由。
【解答】由题意可知：直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴。故可设BC边所在直线方程为y=kx+1(不妨设k<0)，则BA边所在直线方程为
。
消去y得：(1+a2k2)x2+2a2kx=0解得x1=0，
∴
用
代替上式中的k得
,
由｜BC｜=｜BA｜，得｜k｜(a2+k2)=1+a2k2注意到k<0得
(k+1)［k2+(a2－1)k+1］=0 ①当(a2－1)2－4<0即1<a<
时，①有唯一解k=－1；
当a=时，①有唯一解k=－1；当a>时，①有三个不同的解。
综上所述：当1<a≤
时，只能作出一个三角形。
【属性】高三复习，二次曲线性质，解答题，中档题，分析问题与解决问题能力，逻辑思维能力。
【题目】抛物线方程y2=p(x+1)(p>0)，直线x+y=t与x轴的交点在抛物线的准线的右边。
(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点；
(2)设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
(3)在(2)的条件下，若t变化，使得原点O到直线AB的距离不大于
，求p的取值范围。
【解答】(1)抛物线的准线为l：
由直线x+y=t与x轴的交点(t，0)在准线右边，得
，而4t+p+4>0
由
消去y得x2－(2t+p)x+(t2－p)=0∵Δ=(2t+p)2－4(t2－p)
=p(4t+p+4)>0故直线与抛物线总有两个交点。
(2)
(3)∴当t∈［－1，0)时，p∈(0，1］；当t∈(0，1)时，p∈（0，
）。
三．课堂反馈
【属性】高三复习，二次曲线性质，填空题，中档题，分析能力
【题目】直线y=kx+1与椭圆
恒有公共点，则m的取值范围是 。
【解答】m≥1且m≠5数形结合法解。
【属性】高三复习，二次曲线性质，填空题，中档题，分析能力
【题目】直线l：y=k(x－
)与曲线x2－y2=1(x>0)相交于A、B两点，则直线l的倾角范围是
【解答】( 
)
【属性】高三复习，二次曲线性质，填空题，中档题，计算能力
【题目】一个正三角形的顶点都在抛物线y2=4x上，其中一个顶点在坐标原点，这个三角形的面积是
【解答】
【属性】高三复习，二次曲线性质，填空题，中档题，分析能力
【题目】过点(2，4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线有 条。
【解答】2
【属性】高三复习，二次曲线性质，解答题，中档题，分析能力
【题目】已知直线
与圆
相交于
两点，求弦
的长。
【解答】求交点，即联立方程组：
消
得
。
方法一：解得
，则
。
方法二：设，则
。
比较：方法二相比于方法一而言有没有优势？优势在于什么？
方法三：由平面几何圆的弦心距知识，可知
，而
，则。
四．课堂小结（课堂小结主要为方法总结及解题注意事项）.
1. 直线和圆锥曲线的是近年高考中的主要考察内容，因此解题的基本思想和基本方法不容忽视。首先应从几何图形入手，进行分析，再利用代数方法解决，主要运用方程和函数的思想。（对题中的几何关系分析得越透彻，则代数解决越简单）
2.直线与圆锥曲线的位置关系包括相交、相切、相离三种，其研究方法，主要是通过转化，利用代数的一元二次方程的理论来分析和解决。又常常利用函数、不等式、向量等一些代数工具。
3．直线与二次曲线的关系是高中解析几何永恒的主题，而其问题也常常围绕着交点展开的，其常规解决方法是首先构建相应曲线的联立方程组，其次通过消元得关于x(或y)的一元方程，再判断解的存在性，得相应的参数范围，然后利用韦达定理沟通已知与未知之关系。在这个问题的解决过程中，我们运用了方程的思想求出了点P的坐标；运用了函数的思想求出了距离的最值。这是解析几何中用代数方法解决几何问题的典范。
五．课后作业
【属性】高三复习，二次曲线性质，填空题，中档题，计算能力
【题目】已知(4，2)是直线l被椭圆
所截得的线段的中点，则l的方程是
【解答】x+2y－8=0
【属性】高三复习，二次曲线性质，填空题，中档题，计算能力
【题目】双曲线的两渐近线方程为2x+y－2=0，2x－y+2=0，直线y=x+2与双曲线交于A、B两点，且｜AB｜=
，则双曲线的方程 。
【解答】
【属性】高三复习，二次曲线性质，填空题，中档题，分析能力
【题目】过原点与双曲线
交于两点的直线斜率的取值范围是
【解答】(－∞，
)∪(
，+∞)
【属性】高三复习，二次曲线性质，填空题，中档题，计算能力
【题目】若焦点是(0，
)的椭圆截直线3x－y－2=0所得弦的中点的横坐标是
，则椭圆方程是
【解答】
【属性】高三复习，二次曲线性质，填空题，中档题，分析能力
【题目】已知抛物线y2=4x过焦点F的弦AB被焦点分成m、n的两部分，则
=
【解答】1
【属性】高三复习，二次曲线性质，解答题，易题，计算能力
【题目】求以
为圆心且与圆
相切的圆的方程。
【解答】由
，而
，解得
或
，所以，所求圆的方程为
或
。
【属性】高三复习，二次曲线性质，解答题，难题，分析问题与解决问题能力，逻辑思维能力。
【题目】已知l是过点P（
）且斜率为k的直线，且与双曲线
交于A、B两点。F是双曲线的上焦点，M为弦AB的中点。
（1） 求斜率k的取值范围；
（2） 当
时，求弦AB的长及直线AB 和直线MF的夹角。
【解答】（1）设直线l的方程为
代入双曲线方程得
整理得
因为双曲线与直线交于A、B两点
所以
所以直线l的斜率k的取值范围是
.
（2）当k=2时，直线l的方程为
代入双曲线方程，
整理得 
则 
，
.
.
设M（x,y）
，
又
.
即M
.
易知F
，所以直线MF的斜率
.
设直线AB和直线MF的夹角为
,
则
.
所以直线AB和直线MF的夹角为
.
【属性】高三复习，二次曲线性质，解答题，难题，分析问题与解决问题能力
【题目】如图，点A、B分别是椭圆
长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点。
点
P在椭圆上，且位于
x轴上方，
。
（1） 
求点P 的坐标；
（2）
设
M是椭圆长轴
AB上的一点，
M到直线
AP的距离等于
，求椭圆上的点到点
M的距离
d的最小值。
【解答】（1）设P（x,y）(y>0)
由题意可得A(-6,0), F(4,0) 。
因为 ，所以
联立方程组得
消去y得 
,
解得 
或
（舍）
所以
.
又因为 y>0,
所以点P的坐标是
.
(2)设M（x,0）（
）
直线AP的方程是
，则M到直线AP的距离是
，
而
.
由题意
解得 
， 即M（2,0）.
椭圆上的点(x,y)到点M的距离
即 
所以当
时，d取到最小值为
。
即椭圆上的点到点M的距离d的最小值等于 。
【属性】高三复习，二次曲线性质，解答题，难题，分析问题与解决问题能力
【题目】（1）已知直线l：
与抛物线：
交于
，
两点，直线l与x 轴相交于
，求证：
;
（2）试将（1）中的命题加以推广，使得（1）中的命题是推广后得到的命题的特例，并证明推广后得到的命题正确。
【解答】（1）
.
所以 
，
又直线
与x轴交于
，即
.
所以 
.
（2）推广后的命题为：若直线l：
与抛物线
交于，两点，且直线l与x 轴相交于，
求证：。
证明：
，
则
所以
。
而直线
与x轴相交于点
，即
.
所以 .
当
时可得（1）。
所以（1）是推广后命题的特例。