常考问题17　计数原理、随机变量及其分布列

[真题感悟]

(2012·江苏卷)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.

(1)求概率P(ξ＝0)；

(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．

解　(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，

于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，

所以随机变量ξ的分布列是

因此E(ξ)＝1×＋×＝.

[考题分析]

高考对本内容的考查主要有：

(1)分类加法计算原理、分步乘法计数原理，B级要求．

(2)排列与组合，B级要求．

(3)离散型随机变量及其分布列、超几何分布、条件概率及相互独立事件，A级要求．

(4)n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差，B级要求.

第二篇：江苏省20xx年高考数学(文)二轮复习简易通真题感悟：常考问题11 直线与圆

常考问题5 导数的综合应用

[真题感悟]

(2013·江苏卷)设函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数．

(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；

(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

1－ax1解 (1)令f′(x)＝－a＝，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，xx

进而解得x>a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)?(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a．当x<ln a时，g′(x)<0；当x>ln a时，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.

综上，有a∈(e，＋∞)．

(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令g′(x)＝ex－a>0，

解得a<ex，即x>ln a，因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0<a≤e－1.结合上述两种情况，有a≤e－1.

1(ⅰ)当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝x>0，得f(x)存在唯一的零点；

(ⅱ)当a<0时，由于f(ea)＝a－aea＝a(1－ea)<0，f(1)＝－a>0，且函数f(x)在[ea,1]

1上的图象不间断，所以f(x)在(ea,1)上存在零点．另外，当x>0时，f′(x)＝x－

a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．

1(ⅲ)当0<a≤e－1时，令f′(x)＝x－a＝0，解得x＝a－1.当0<x<a－1时，f′(x)>0，

当x>a－1时，f′(x)<0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.

①当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.

②当－ln a－1>0，即0<a<e－1时，f(x)有两个零点．

实际上，对于0<a<e－1，由于f(e－1)＝－1－ae－1<0，f(a－1)>0，且函数f(x)在[e 1

－1，a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．

1另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝xa>0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，

所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．

下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况．先证f(ea－1)＝a(a－2－ea－1)<0.

为此，我们要证明：当x>e时，ex>x2.设h(x)＝ex－x2，则h′(x)＝ex－2x，再设l(x)＝h′(x)＝ex－2x，则l′(x)＝ex－2.

当x>1时，l′(x)＝ex－2>e－2>0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x>2时，h′(x)＝ex－2x>h′(2)＝e2－4>0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数．进而当x>e时，

h(x)＝ex－x2>h(e)＝ee－e2>0.即当x>e时，ex>x2.

当0<a<e－1，即a－1>e时，f(ea－1)＝a－1－aea－1＝a(a－2－ea－1)<0，又f(a－1)>0，且函数f(x)在[a－1，ea－1]上的图象不间断，所以f(x)在(a－1，ea－1)上存在零点．又当x>a－11时，f′(x)＝xa<0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．

综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，当0<a<e－1时，f(x)的零点个数为2.

[考题分析]

高考对本内容的考查主要有：

(1)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；

(2)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.

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