[转]《数学分析》教给我们的，只是当年未曾领悟 2012-12-17 21:31阅读(1)转载自じ☆veジ尛 已经是第一篇 |下一篇：毛概期末考试重点...

1人生的痛苦在于追求错误的东西。所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，才猛然发现，你和它是不连续的。

2人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在隔阂。

3人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。

4人和命运的关系就像F(x)=x与G(x)=x^2的关系。一开始，你以为命运是你的无穷小量。随着年龄的增长，你才发现你用尽全力也赶不上命运的步伐。这时候，若不是以一种卑微的姿态走下去，便是结束自己的生命。

5零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。

6人生是一个级数，理想是你渴望收敛到的那个值。不必太在意，因为我们要认识到有限的人生刻画不出

无穷的级数，收敛也只是一个梦想罢了。不如脚踏实地，经营好每一天吧。

7有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。 8痛苦的回忆是可以缩小的，但不可能消亡。区间套最后套出的那一个点在整个区间上微不足道，但一定是存在的，而且刻骨铭心。

9我们曾有多少的理想和承诺，在经历几次求导的考验之后就面目全非甚至荡然无存？有没有那么一个誓言，叫做f(x)=e^x？

10幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累。所以，乐观地面对人生吧~

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对不起,我又想你了，这么静静地想你对不起,我又想你了

就这么静静地想你

想知道你在做什么

想知道你有没有在想我

想知道当你凝视远方的时候

你的眼前是否划过我的身影

就这么静静地想你

在这个平淡的夜晚

因为想起了你

这个夜晚变得美丽而忧郁

静静地想着你

我祈求

祈求这一刻的宁静、永恒

我喜欢这样想你

让自己的心有了柔柔的疼痛和幸福的甜蜜

不经意间

我会静静地想你的名字

想那幽幽月华下的幽幽相思

很多时候

就这样静静地想一个人

其实也是一种幸福、一种期冀

佛说：前世的五百次回眸

才换来今生的擦肩而过

我会用一万次回眸换取与你的一次相遇

再用我如花云的心 柔柔的疼你

在某个遥远的地方

对不起，我违约又在静静的想你了

你在忙些什么

茶淡了

头上的汗也清凉了

让自己坐下来，静静的想你好了

想知道当你走进甜美的梦乡

是否看到我在梦的路口等你

开始喜欢静静地坐在这儿

想你了

虽然

我不知道这样想你

你是否能真切地感受到

如果你常常会有一种莫名的心动

你是否会想到那是因为我在想你

一直以来我随时都会想起你

有的时候思念就像正在涨潮的大海

一波高过一波

绵延不绝

无论我在世界哪个角落

无论我在做什么

我都会如此剧烈的想你

那是一种巨大的孤独

因为我爱的你不在我身边

我曾经尝试着每天不再那么想你

此刻我才发现

原来想你已成一种习惯

戒不了想你

戒不了心疼你

说好了要少想你的

可是不知道为何又想起了你

对不起 我还是想你了

第二篇：感悟数学之美

感悟数学之美

感悟数学之美

朱江波（07310124）

（东南大学 数学系，南京 210096）

摘要：数学之美是抽象的，但是本文通过美丽的分形和正态分布两个具体的例子，向大家展示具体的数学之美。本文所使用的数学工具并不“艰难”，因此还是比较方便理解的。这正是数学的深奥与简单之处。

Abstract：The beauty of mathematics is abstract, but the passage shows the beauty of mathematics to readers by two specific examples of the beautiful Fractal and Normal dis-tribution. The mathematical tools of this passage are not “difficult”, so it is easy to under-stand. This is the mathematics of the esoteric and simple.

关键词：分形几何、中心极限定理、正态分布

Keywords：Fractal geometry、central limit theorem、Normal distribution

一、 引言

数学，尤其是高等数学，让许多人望而却步。里面的内容博大精深，尤其是19xx年Hilbert提出著名的23个问题之后，能像他那样通晓数学各个领域的人已经几乎不存在了。数学是那么高深，但同时数学也和我们紧密相连。

数学之美，有些是具体的，像一些美丽的图形、黄金分割等等，但更多的是抽象的，不是通过视觉听觉就可以感受出来，而是一种用心去体会的美。就像解析函数，学数学的人都认为这种函数美，因为它处处可导，有许多非常好的性质，所以就美。所以，数学之美不仅仅在于她的形式，更多的是她的内涵。

本文在不回避“深奥”的数学，但回避“艰难”的数学的宗旨下，通过两个具体的例子向大家展示数学之美。

二、 Cantor三分集与分形几何

首先，我们还是先看一个比较直观的例子。

1883年，德国数学家Cantor构造了一个所谓“数学怪物”——三分集。它是人类理性思维的产物，并非某个现实原型的摹写；尤其值得关注的是，用传统的几何学术语言很难对它进行描述。它既不是满足某些简单条件的点的轨迹，也不是一个简单方程的解集。可以说，它是一个新的几何对象。 ☆Cantor三分集构造 将闭区间,0,1-三等分，去掉中间的开区间(3,3，剩下两个闭区间,0,3-，,3,1-。又把这两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即(9,9，(9,9)。一般地，当进行到第?次时，一共去掉2n;1个开区间，剩下2n个长度是3;n的互相隔离的闭区间，而在第?+1次时，再将这2n个闭区间各三等分，并去掉中间的一个开区间，如此继续下去，就从,0,1-去掉了可数07310124 1 朱江波 12781212

注感悟数学之美 个互不相交（而且没有公共端点）的开区间，而且剩下的必是一个闭集1（它至少包含各邻

接区间的端点及其聚点），称它为Cantor三分集，记为?。

☆Koch“雪花”曲线

或许这个例子还不够直观，那么由瑞典人Koch于19xx年提出的著名的“雪花”曲线，其做法与Cantor三分集有异曲同工之妙，但从视觉来看或许更让人看出数学之美。

美丽的Koch曲线

Koch曲线有着极不寻常的特性，不但它的周长为无限大，而且曲线上任意两点之间的线内距离也是无限大；曲线在任何一点处都连续，但却处处不可导；该曲线长度无限，但却包围着有限的面积！□

这显然和我们的常识所相悖，但它确确实实的被构造出来了，使得我们不得不惊叹于数学的巧妙之处。正是Cantor三分集的出现，使得数学又一新的分支——分形几何出现。

Cantor三分集是最早出现的分形。首先，它具有“自相似性”，即其局部与整体彼此相似。这是分形的一个重要的特征。其次，它是无穷操作或迭代的结果，呈现出一种特别的精细结构。这种奇异的几何图形，用欧式几何和解析几何的方法是难以表述的。

☆Hausdoff维数

提到分形几何，就不得不介绍一个Hausdoff维数。假设我们把分形图形分成N个相等的部分，每一部分在线性尺度上都是原来图形的m1logNlogm当N≠mk(k∈N)时，这个维数都不是我们常见的整数。这对我们这些生活在三维世界的人来说是不可思议的！由Hausdoff维数计算公式我们可以算出Cantor三分集的维数是log2≈0.63，而Koch曲线的维数是log3≈1.26。说明那一团挤在一起的图形，比一维的线段log3维数要高，但是还达不到平面图像的二维水平。□

由此可见，数学之美是一种理性的美，通过理性的思维确实能构造出来这么美丽的产物，表达式不一定每个人都能看懂，但是图形却是大家共同的语言。

log4

三、

中心极限定理与正态分布

正态分布(Normal distribution)，就如她的英文翻译一样，叫正常态的分布，言外之意，其他的分布都是非正常态的。学过概率论的人都知道，正态分布是概率论中最基本最重要的分布，而且那山峰一样的图形也很直观的表达出它的意思，但是正态分布为什么那么重要，中心极限定理便能很好的诠释这个问题。下面我们就在介绍中心极限定理的过程中感受正态分布带给我们的数学之美。

注1：

由定理：

直线上的闭集F或者是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即F的余区间）所得到的集，知所构造出来的集合为闭集。

07310124 2 朱江波

感悟数学之美

☆Lindburg-Levy中心极限定理

设{??}是独立同分布的随机变量序列，且?(??)=?，???(??)=?2>0，记

?+?+?+???????=则对任意实数?，有

?lim?(???→:∞≤?)=?(?)=??;?;∞2?? □

?由Lindburg-Levy中心极限定理我们知道，在独立同分布的情况下，{??}的分布函数列弱

收敛于标准正态分布。

☆de Moivre-Laplace中心极限定理

设?重Bernoulli试验中，事件?在每次试验中出现的概率为?(0<?<1)，记??为?次试验中事件?出现的次数，且记

???=

则对任意实数?，有

?lim?(???→:∞≤?)=?(?)=??;2?;∞2?? □

再由de Moivre-Laplace中心极限定理，我们能得到二项分布的正态近似，并且通过修正可以使误差变的很小。这条定理说明当?→∞时，二项分布也可以正态分布来代替。

以上我们解决了在独立同分布的情况下随机变量的极限分布问题，但实际问题中诸??的独立性是常见的，但很难说??是同分布的随机变量，因此下面的条件和定理就阐述了在独立不同分布的情况下随机变量的分布与正态分布关系的问题。

☆Lindburg条件

设{??}是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：?(??)=??，???(??)=??2，而随机变量的和??=∑??(??)=?1+?2+?+??，?(??)=√?=?<1??，

，且记?(?)=?，若设诸?为连续随机变量，其密度函数为?(?)，则12?????

对任意的?>0,有

1(????)2??(?)??=0 lim∑∫?→:∞?|?;??|>????<1?

上述条件称为Lindburg条件，而如果独立随机变量序列{??}满足Lindburg条件，则对任意的?，有

lim?*?∑??<1(???→:∞?1???)≤?+=??;?;∞2?? □

显然我们可以看出，只要满足Lindburg条件的独立随机变量序列，最终都可以用正态分布近似，但是实际问题中，Lindburg条件较难验证，因此我们有下面的Lyapunov条件。

☆Lyapunov中心极限定理

设{??}为独立随机变量序列，若存在δ>0，满足

?→:∞??lim12:δ∑?)=0， ?<1?(|?????|

则对任意的?，有

lim?*?∑??<1(???→:∞?

07310124 1???)≤?+=??;?;∞2??。 □ 3 朱江波

感悟数学之美

由以上的定理我们可以得出在随机变量{??}独立的情况下，当?→∞时，{??}的分布都可以用正态分布来代替。在假设检验中，大多数的检验都与正态分布直接或间接的有关，像t检验、F检验或?2检验都是可以从正态分布中推导出来。这些检验一般都要求：所分析变量在总体中呈正态分布，即满足所谓的正态假设。事实上，许多观察变量的确是呈正态分布的，这也是正态分布是现实世界的基本特征的原因。

四、

结语

通过上面两个例子，我们看到了数学之美。无论是从图形的视觉效应还是实用价值来说，数学都有一种让人叹服的美。数学是那么深奥，因为她的思维、理论如此高深，但是同时她又是那么简单，因为她的表达形式如此易懂。数学的简单与高深也就是数学之美，只要我们用心感悟，也许数学并没有那么困难。

参考文献：

[1]程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石.实变函数与泛函分析基础（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M]. 北京：高等教育出版社，2004.

[3]Kenneth Falconer，曾文曲.分形几何：数学基础及其应用[M]. 北京:人民邮电出版社，2007.

[4]Theodore W. Gamelin. Complex Analysis[M].Germany：Springer，2001.

07310124 4 朱江波