人生感悟与大家共勉

----盛世君达与大家共勉

人生就像季节、繁华过后终归平淡；

不可能一直繁华似锦、不可能一路花香四溢； 人生也是起起伏伏、悲悲喜喜、才能成了人生的完美； 人生无需拒绝平淡、无需恐惧风雨、正是在平淡中感悟出人

生的真谛；

在风雨中锻炼出坚强、在甜酸苦辣中、在咸的浸泡中走向了

深刻、历练了自己、丰富了內涵。

第二篇：感悟与建议

６２

数学通报２００８年第４７卷

第７期

感悟与建议

杨先义

（湖北省公安县第一中学４３４３００）

笔者从１９８０年开始订阅通报，受益最多的栏目首推数学问题解答栏．多年来，坚持解答通报中的数学问题成为我提高解题能力的重要途径，也是我的一个重要爱好．我每年都要向数学尖子生和爱好者大力推荐这个栏目，以至于每届都要培养出几名“铁杆题迷”，解答通报中的问题成为他们的一大趣事．能成功解答问题是每个人的快乐追求，若有人能提出更简单更漂亮的方法，则该同学肯定会受到大家的称赞甚至追捧．因此，新一期通报的到来，就成为同学们的一种企盼．笔者也曾向解答栏提供过几道题，更是成为学生关注解答栏的重要原因．记得有一次，我介绍这样一题：如果点Ｐ在面积为Ｓ的△ＡＢＣ的内部，则ＰＡ＋

．≥３√（ｔａｎ令ｔａｎ导ｔａｎ导）”

净‘ａｎ虿‘ａｎ虿‘ａｎ虿≤亏，冉由儿ｓｌｎ虿２净ｔａｎ拿ｔａｎ导ｔａｎ导≤雩，再由Ⅱｓｉｎ会＝

去，Ⅱｃ。ｓ拿＝去得Ⅱｔａｎ令＝÷，所以÷≤雩净

ｓ≥３西辛△＝ｓｒ≥３怕≯．

例２（第１６２５题，０６年第８期）设ｚ，ｙ，ｚ＞

ｏ，导３ｚ＋４ｙ＋５ｚ＝１，求孑ｂ＋≯匕＋≥匕的最

小值，并指出相应的工，ｙ，ｚ的值．

原解答将３ｚ＋４ｙ＋５２—１改写为（ｚ＋ｙ）＋２（ｙ＋２）＋３（ｚ＋ｚ）一１，接下来换元法明显不需要分母口。＋口。＋口。，其实这里所用的就是极为普

ＰＢ＋Ｐｃ≥２√√３ｓ，有一位同学用费马点的性质

给出了一个非常简单的证明，比原作者的解法要好得多，解法刊登在０５年第８期上．这件事产生了轰动效应，班务日志记入“大事记要”，校报及时进行了报道．可见此栏目影响之大．

但是，笔者在解答过程中，也发现有些题的解法并非最佳，有待商榷和改进．仅举几例．

例１

通的三角形代换ｚ＋ｙ＝ｆ，多＋ｚ＝ｎ，ｚ＋ｚ＝６．本

题最简单的方法就是用柯西不等式直奔主题：

［（ｚ＋ｙ）＋２（ｙ＋ｚ）＋３（ｚ＋ｚ）］

（孑ｂ＋歹毛＋ｉｂ）≥（１＋抠＋万）２，

取等号的充要条件是ｚ＋ｙ＝√虿（ｊ，＋ｚ）＝捂（名＋

ｚ），再由３ｚ＋４ｙ＋５ｚ一１即可求出结果．（略）

例３

（第１６４９题－，２００７年第１期）

设

△ＡＢＣ的三边长分别为口，６，ｆ，外接圆半径和内

（第１６０９题，２００６年第５期）求内切圆

半径等于１的三角形面积的最小值．原作者以一串令人眼花缭乱的手法求得了最小值３√３．其实本题是一个平凡的命题．若同时使用Ｅｕｌｅｒ：Ｒ≥２，．不等式Ｇｅｒｒｅｔｓｅｎ不等式［５］：５２≥ｒ（１６Ｒ一５ｒ），有ｓ２≥，．（１６Ｒ一５，．）≥２７，净ｓ≥３√３ｒ净△＝ｓｒ≥３

切圆半径为Ｒ，ｒ，面积为△，半周长为ｓ，求证：

（，一罢）（?一去）（?一云）≤警．㈣

．证明

√３ｒ２．（事实上，ｓ≥３√３ｒ本身就是一个很活跃的几何不等式．）

’对不熟悉Ｇｅｒｒｅｔｓｅｎ不等式的读者来说，本题也不难：

由生丝ｉ掣尘型≥

扔百再万万千万万干万

得丝攀掣≤刍，

因詈，詈，詈均为锐角，所以，

即（?一罢）（?一去）（，一丢）≤刍．

由熟知的专。∑ｓｉｎＡ一专≤半，△２ｓｒ可得

ｃ２，

，一ｔａｎ令ｔａｎ罢＋协导ｔａｎ导＋ｔａｎ导ｔａｎ令

万方数据

２００８年第４７卷第７期数学通报６３Ｒ≥舞号》素净譬≥蠢净字≥蠢净３√３ｓ３√３５ｒ３√３△３√３

。

譬≥刍．。㈤

由（２），（３）即知（１）成立．‘

实际上，我们证明了更强的结论：Ｃ

（，一罢）（?一去）（?一云）≤嘉≤譬．‘图２

引理３图３，设０是线段ＡＤ的靠近Ｄ点

例４（０７年第３期，１６５９题）三个正数口，６，的三等分点，则Ｏ是正△Ｊ。Ｊ：Ｅ和正△０１０２Ｄ的ｃ的和为６，求灭｝而＋页｝晒＋女｝商的最中心．

小值．

解易知口６＋６ｃ＋ｃ口≤÷（口＋６＋ｃ）２＝１２．

利用等号成立的条件，有如下简解：

口（１＋６）。忐＋掣≥丢，同理有另外两式，３６７３’。１８一“。／。”１＾’

Ｃ

叠加，得

口（１＋６）‘６（１＋ｃ）。ｃ（１＋口）７１荻｝＃万＋页｝｝万＋疋丁｝万≥１一去（。＋６＋ｃ＋图３３６”。”’‘‘证明由引理１，显然０是正△Ｄｌ０２Ｄ的中曲＋６ｃ＋ｃｎ）≥１一壶（６＋１２）＝寺．心．由于Ａ，Ｄ，Ｉ。，０２四点共圆，所以，么Ａ０２Ｊ。＋

６ＤＺ

例５（第１６４６题，０７年第１期）设Ｄ是正么ＡＤ，２—１８０。，而么Ａ０２０＝９０。，所以么００２，２＋△ＡＢＣ边ＢＣ上一点，设ｊ１，工２分别为△ＡＢＤ，么ｏＤ工２＝９０。，从而么０Ｄｆｌ＝么００≥ｆ２，又Ｊ。Ｄ＝△ＡＣＤ的内心，△Ｉ，Ｊ。Ｅ是正三角形，Ｅ，Ｄ位于Ｊ２０［１１，ｏＤ一００ｔ，所以△０Ｉ。Ｄ丝△０工：０２，所以直线Ｊ。１２的两侧，贞¨ＤＥ＿ＬＢｃ．（图１）ｏＪ。＝０，２，么工。０Ｄ＝么１２０Ｄ２，因而么Ｊ１０厶＝

原解答的思路不易想到，过程迂回曲折．根据么ＤｏＤ２—１２０。

下面的引理，可以得到简单解法．所以０是正△ＥＪ。Ｊ。的中心．

引理１△ＡＢＣ中，Ｃ＝６０。，０是外心，Ｅ，Ｆ一

是边ＡＢ上的两个三等分点，则么ＡｏＥ＝９０。且

Ｅ０＝ＥＢ．（图２）

证明设外接圆半径为Ｒ，因么ＡｏＢ＝１２０。，

么ＢＡｏ一３０。，所以，ＡＢ＝√＿Ｒ，ＡＥ一生娑Ｒ，所以

么ＡＯＥ＝９０。．’．

Ｃ

引理２图１，若０１，０２分别是△ＡＢＤ，

△ＡＣＤ的外心，Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｊ，，０２五点共圆ｏｌ；Ｃ，图４

Ｄ，Ｊ。，０１，Ａ五点共圆０：，且这两个圆是等圆．此图４，由引理３，△０１ＤＤ２可以看成由△ＥＩ。ｊ。

经过旋转伸长变换得到，

７丑△所以△ＥＪｔＤ丝△Ｄ工２０２，

所以么ＥＤｊ，一么Ｊｌ０２Ｌ一么Ｂ０２Ｊｚ＝么ＢＡｌ２

＝么ＬＤＣ一９０。一么ＪｌＤＢ，

所以么ＥＤＢ一９０。，从而ＤＥ上ＢＣ．

由于解答栏中的问题多是原创，作者给出的（下转封底）

万方数据

『竿＋唑

Ｌ

口

１７４３

设Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是△ＡＢＣ的三边ＢＣ，

Ｄ

ＣＡ，ＡＢ的内点，△ＡＥＦ，△ＢＤＦ，△ＣＥＦ的面积分别为△＾，△。，△ｃ．求证：

一———————！。—————一

（咒＋２）（，ｌ一１）

≤万再而（３７２＋３—６’

一

［ｓｃｎ＋?，一（÷＋手）一（÷＋手）一（手＋÷）］

一石干西石ｉ可一再匝。

２００８年７月号问题

３（咒一１）

一３

基＋怎＋爰≥?６万

（西安一中张赞７１００８２）

１７４４设＾，ｚ是由三角形一个顶点引向对边的高线和角平分线，Ｒ和ｒ分别是该三角形外接圆半径和内切圆半径，求证：

＾＼／２ｒ

（来稿请注明出处——编者）

１７４ｌ

丁乡＿：√页

（湖北省武汉市青山区武钢三中学生

１７４５

设△ＡＢＣ的内切圆切三边ＢＣ，ＣＡ，

方超４３００８０）

ＡＢ于Ｄ，Ｅ，Ｆ，求证：

（１）ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ三线共点；

△ＡＢＣ中，ＡＢ＞ＢＣ＞ＣＡ，么Ｃ一么Ｂ

一９０。，００是内切圆，切点Ｅ、Ｈ、Ｇ各在ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上，ＥＦ是００的直径，射线ＡＦ交ＢＣ于Ｄ点．ＤＥ等于△ＡＢＣ外接圆的半径，求△ＡＢＣ三

边的连比．

（２）卷一去（ｒ，Ｒ分别是△ＡＢｃ的内切

圆、外接圆半径）

（江苏省新海高级中学

孙四周

２２２００６）

１７４２设Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是△ＡＢＣ在边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上的周界中点（即ＡＢ＋ＡＥ—ＡＣ＋ＡＦ—

ＢＡ＋ＢＤ—ＢＣ＋ＢＦ—ＣＡ＋ＣＤ—ＣＢ＋ＣＥ），ＢＣ

—ｎ，ＣＡ一６，ＡＢ—ｃ，Ｓ一÷（ｎ＋６＋ｃ），记△ＡＥＦ，△ＢＤＦ，△ＣＤＥ，△ＡＢＣ的面积分别为△Ａ，△。，△。，△，△ＡＢＣ外接圆半径为Ｒ．求证：

入２

∑（ｓ一口）△Ａ一翕?

（安徽省舒城县杭埠中学（上接第６３页）

解答不是最佳，是正常现象．对一个数学问题的本质的认识，是需要时间的．同一个问题，不同的人在不同的情况下有不同的认识，认识得越深刻，解法才能越简单．

为了使数学问题解答栏办得更有特色，更具影响，我建议：

１．及时刊登优秀解答，不受问题发表的时间限制．

２．应当鼓励读者参与解答．为了不增加编辑部的负担，可以在全国范围内征集志愿者参加审稿活动．

丁遵标２３１３２３）

（安徽省安庆市华中西路彩印厂小区２号楼

２０２室

黄全福

２４６００３）

３．优秀问题和优秀解答及进一步的研究应当结集出版．

参考文献

１

剡智琪．对数学问题解答栏中若干数学问题的感悟．数学通报，２００３，６

２常瑞连．对几个数学问题的再感悟．数学通报。２００６，７３符必轲，王薇．读刊体会．数学通报，２００６，７

４黄化宇．对数学通报《数学问题解答》专栏的一点建议．２００７，６５沈文选．平面几何证明方法全书．哈尔滨：哈尔滨工业大学出

版社，２００５，９

刊号：薯品￥笔蔫另筹

全国各地邮局订购代号：２—５０１全年定价：７２．ｏｏ元每期定价：６．。。元

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