“对数的运算性质”教学反思

一、教材分析：本节课是必修一第二章对数的第二课时，此前已经学习了对数的概念和常用的对数。这节课要让学生完成对数的运算法则的学习，要求学生准确的掌握对数的三个运算法则。

二、教学目标：1、通过探究个归纳掌握对数的运算性质和运用；2、了解对数三个性运算质的推导过程；熟记对数的三个运算性质；3、培养学生探究及合作的精神。

三、教学重点：对数的运算性质及其运用。

教学难点：对数的运算性质的理解。

四、学法教法选择：学生探究合作，教师引导总结。

五、教学过程：

（一）引入课题：

1. 对数的定义：a?N?logaN?b；

2. 对数恒等式：alogaNb?N,logaab?b；

（二）新课教学：

1.完成书上的表格，并猜想；（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）

2.探究得出结论。（引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质）

运算性质：

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么：

1 log(M·N)?logM＋logN； ○aaa

2 log○aM?logaM－logaN； N

n3 logM?nlogM (n?R)． ○aa

3.证明对数的运算性质。（设计意图：1、让学生熟悉和掌握对数和指数之间的互化，更深的理解对数的概念；2、寻求多种方法，发散学生思维。）

（三）典型例题：

例1、计算 （设计意图：让学生熟悉三个运算性质）

（1）log3(9?3) （2）lg100 2515

答案：（1）9 （2）2 5

例2．计算：lg14?21g7（设计意图：本例体现了对数运算性质的灵活?lg7?lg18；3

运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。）

解：（1）解法一：lg14?2lg7?lg7?lg18?lg(2?7)?2(lg7?lg3)?lg7?lg(32?2) 3

?lg2?lg7?2lg7?2lg3?lg7?2lg3?lg2?0；

解法二：lg14?2lg

=lg727?lg7?lg18?lg14?lg()?lg7?lg18 3314?7?lg1?0； 72()?183

（四）课堂练习

（五）课堂小节

1.本节课学习了对数的运算性质及其运用，要注意指数运算性质与对数运算性质的对照；

2．对数的运算法则（积、商、幂、方根的对数）及其成立的前提条件；

3．运算法则的逆用，应引起足够的重视；

4．对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧。

（六）作业

六、教学反思

本节课主要是先复习对数的概念，然后通过填写表格，让学生探究并猜想对数的运算性质，为了验证同学们的猜想是否成立，想到指对数相互转化来证明。让学生在合作探究中，增加学生的学习兴趣，使学生的学习由被动变主动。

如何得到对数的运算性质和运用是这节课的难点，为了突破这一难点，我采用了先猜想再证明，从特殊到一般的数学思想。先让同学们填写书上的表格，给出特殊的例子，让同学们自己先猜想出运算性质，为了验证，再引导同学们去严格的证明。再给出几组题，让同学们建构新知识，从而达到灵活运用的目的。

本节课在实际的操作中还是有一些不足之处，在表格的填写及探究过程中花费时间过多，导致例题的讲解有些粗略。以后在时间控制上应多加注意。对于理解能力强的同学可以对本节内容进行提高升华，留一些思考题，效果可能会更好一些。

第二篇：数学练习题考试题高考题教案讲座4 指数与对数的性质和运算及答案详解

指数与对数的运算

1、整数指数幂的概念。

（1）概念：       

      n个a

(2)运算性质：            两点解释：① 可看作 

 ∴==             ② 可看作  ∴==

2、根式：

（1）定义：若 则x叫做a的n次方根。

（2）求法：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数 记作：        

          当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数） 记作：   

          负数没有偶次方根      0的任何次方根为0

名称：叫做根式    n叫做根指数     a叫做被开方数

（3）公式：  ；当n为奇数时 ； 当n为偶数时 

3、分数指数幂

（1）有关规定： 事实上，  若设a>0, ，由n次根式定义, 次方根，即：

（2）同样规定：；0的正分数指数幂等于0，

0的负分数指数幂没有意义。

（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。

         

（注）上述性质对r、R均适用。

4、对数的概念

（1）定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。

①以10为底的对数称常用对数，记作；

②以无理数为底的对数称自然对数，，记作；

（2）基本性质：

①真数N为正数（负数和零无对数）；2）；

③；4）对数恒等式：。

（3）运算性质：如果则

①；

②；③R）。

（4）换底公式：

两个非常有用的结论①；②。

【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：

(1)a^f(x)=bÛf(x)=log_ab, log_af(x)=bÛf(x)=a^b; （定义法）

(2)a^f(x)=a^g(x)Ûf(x)=g(x), log_af(x)=log_ag(x)Ûf(x)=g(x)>0（转化法）

(3)a^f(x)=b^g(x)Ûf(x)log_ma=g(x)log_mb(取对数法)

(4)log_af(x)=log_bg(x)Ûlog_af(x)=log_ag(x)/log_ab(换底法)

【课前预习】

1、已知的值域为[1，7]，则的取值范围是              （　　）

A.［２，４］　　B.  C. 　 D.

2、若则          

3、【08重庆卷13】已知(a>0) ，则        .

四．典例解析

题型1：指数运算

例1．（1）计算：；

（2）化简    

（3）化简：。

（4）化简：

例2．已知，求的值。

题型2：对数运算

例3．计算

（1）；（2）；

（3）。

例4．设、、为正数，且满足 

（1）求证：；

（2）若，，求、、的值。

例5（1）已知 log ₁₈ 9 = a ,   18^b = 5 ,    求  log ₃₆  45 （用 a, b 表示）

（2）设         求证： 

题型4：指数、对数方程

例6：解方程（1）    （2）

例7．设关于的方程R），

（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；

（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

.

【课外作业】

1.若，则的值为

A．50         B．58        C．89       D．111                      （    ）

2、若，则=          ；

3、．如果函数在区间[-1，1]上的最大值是14，求的值。

4、设若时有意义，求实数的范围。

思维总结

1．（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；

2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

【课前预习】

1、答案:D  先求出范围再求的范围；            2、           3、3

题型1：指数运算

例1． 解：（1）原式=

；

（2）原式=

         =

               （注意复习，根式开平方）

（3）原式=

。

（4）原式＝

点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。

例2． 解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴。

点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。

题型2：对数运算

例3解：（1）原式

           ；

（2）原式

           ；

（3）分子=；

分母=；

原式=。

点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。

例4． 证明：（1）左边

；

解：（2）由得，

∴……………①

由得………… ……………②

由①②得……………………………………③

由①得，代入得，

∵， ∴………………………………④

由③、④解得，，从而。

点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。

题型3：指对数式的简单应用

例5 （1） 解：∵ log ₁₈ 9 = a    ∴    ∴log  ₁₈  2 = 1 - a  ∵ 18^b  = 5        ∴ log ₁₈ 5 = b   ∴    

（2） 证：∵         ∴

       ∴

题型4：指数、对数方程

例6： 解（1）

但必须：   ∴舍去 

（2）,  ∴, 

例7． 解：（1）原方程为，

，

时方程有实数解；

（2）①当时，，∴方程有唯一解；

②当时，.

的解为；

令

的解为；

综合①、②，得

1）当时原方程有两解：；

2）当时，原方程有唯一解；

3）当时，原方程无解。

点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。

【课外作业】

1. 答案: C  易得；

2、   -2 

3、． 解析： ，

（1）时，

二次函数在上单调递增，

∴，

∴（舍去），

（2）当时，，

二次函数在上单调递增，

∴，

∴（舍去），

综上。

评析：换元之后，函数解析式变了，函数定义域也变了，二次函数最值问题，一般先讨论开口方向，再讨论对称轴和区间的相对位置。

4、解：由已知得，当时   ，∴ 

∴  ∴

  ，∴，  ∴。