《排列与组合》的教学反思

小学部 冯亚莉

排列与组合不仅是组合数学的最初步知识和学习概率统计的基础，而且也是日常生活中应用比较广泛的数学知识。在二年级上册教材中，学生已经接触了一点排列与组合知识，学生通过观察、猜测以及实验的方法可以找出最简单的事物的排列数和组合数。本册教材就是在学生已有知识和经验的基础上，继续让学生通过观察、猜测、实验等活动找出事物的排列数和组合数。为落实新课程的理念，根据教材和学生实际，我组织许多与教学内容紧密相连的活动，运用小组共同合作、探究的学习方式，让学生互相交流，互相沟通，通过观察、猜测，实验等活动，向学生渗透数学思想，并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。为此，将采取以下教学策略：1、创设生活情境，激发学习兴趣。2、动手实践体验，探究解决问题。3、关注合作交流，引发数学思考

排列与组合这一数学思想将一直影响到学生的后继学习，在高中数学的学习中，学生将全面学习相关知识，组合知识在生活生产中应用很广泛，由于其思维方法的新颖性与独特性，学习时要遵循“不重不漏”的原则，它又是培养学生思维能力的不可多得的好素材。出于这样的考虑本课教学中我在改变学生学习方式方面做了些尝试，同时训练学生的数学思维。

1、创设生活情境，激发学习兴趣。

在教学《排列组合》时，我没有按知识结构为主线，而是围绕学生的学习情感与体验来组织教学。创设“游数学广角”的故事情境，穿衣服——吃早点——游数字乐园（数字搭配）——游活动乐园（线路选择）——游游戏乐园（跑道问题，词语搭配）一系列的情境。内容贴近学生生活实际，使学生体会数学的应用价值。学生乐意学，主动学，不仅获得了知识，更获得了积极的情感体验。

2、动手实践体验，探究解决问题。

问题空间有多大，探究的空间就有多大。在本节课一开始，我就放手让学生自己去去探究衣服的几种不同的搭配方法，通过“猜想——讨论——实践——汇报——比较——归纳”等环节，充分展开探究过程。

3、关注合作交流，引发数学思考

本节课我运用了分组合作，共同探究的学习模式，让学生互相交流，互相沟通。比如9、3、7这三个数字可以组合成多少个三位数，这个问题不是学生一眼就能看出的，一下子就能想明白的，它需要认真观察、思考。因此安排了学生独立思考、独立完成、小组合作交流选择最佳方案再汇报。目的是通过给学生一个比较宽泛的问题，给学生自己动脑思考的空间，再通过小组交流，让所有的学生获得表现自我的机会，也可以实现信息在群体间的多向交流。

同时我也思考：在这节课中，很多同学表现非常出色，对这部分同学该怎么处理？在孩子起点高时是否可以让学生通过这节课的学习能够进行整合分类？即是否能够让学生初步感知排列数与组合数的区别呢？

第二篇：排列组合教案

第一章计数原理

1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1   分类加法计数原理

分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法. 那么完成这件事共有种不同的方法.

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.

2   分步乘法计数原理

 完成一件事有两个步骤，在第1个中有种不同的方法，在第2个中有种不同的方法. 那么完成这件事共有种不同的方法.

一般归纳：

    完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有

种不同的方法.

3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.

3    综合应用

例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.

①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是

 =4+3+2=9;

 ( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是

=4×3×2=24 .

（3）。

例4. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？

解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上，有 2 种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是

N=3×2=6 .

1．2．1排列

排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列

排列数公式及其推导：  （）

说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个

少1，最后一个因数是，共有个因数；

（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列

全排列数：（叫做n的阶乘）   另外，我们规定 0! =1 .

排列数的另一个计算公式：

 =.即  = 

例2．解方程：3．      

解：由排列数公式得：，

∵，∴ ，即，

解得 或，∵，且，∴原方程的解为．

例7．(课本例2)．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是=14×13=182.

例8．(课本例3)．(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？

(2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

1．2．2组合

组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；

组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

排列是先组合再排列

推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：

① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；

② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．

（3）组合数的公式：

或

规定: .

例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .

(1）有多少种不同的抽法？

(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？

(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？

解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有

= 161700 （种）.

 (2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有=9506(种).

(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有+=9 604 （种） .

解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即=161 700-152 096 = 9 604（种）.

说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。

组合数的性质1：．组合数的性质2：＝+．

例13．解方程：（1）；（2）解方程：．

解：（1）由原方程得或，∴或，

    又由得且，∴原方程的解为或

上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.

（2）原方程可化为，即，∴，

∴，

∴，解得或，经检验：是原方程的解

。

证明：原式左端可看成一个班有个同学，从中选出个同学组成兴趣小组，在选出的个同学中，个同学参加数学兴趣小组，余下的个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在个同学中选出个同学参加数学兴趣小组，在余下的个同学中选出个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。

教学反思：

1注意区别“恰好”与“至少”

从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种

2特殊元素（或位置）优先安排

将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种

3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”

七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种

4、混合问题，先“组”后“排”

对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？

5、分清排列、组合、等分的算法区别

(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?

   (2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?

(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?

6、分类组合,隔板处理

从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?