同底数幂的除法
一、教学目标
(一)知识目标
1.经历探索同底数幂除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义.
2.了解同底数幂除法的运算性质,并能解决一些实际问题.
3.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.
(二)能力目标
1.在进一步体会幂的意义的过程中,发展学生的推理能力和有条理的表达能力.
2.提高学生观察、归纳、类比、概括等能力.
(三)情感目标
在解决问题的过程中了解数学的价值,发展“用数学”的信心,提高数学素养.
二、教学重难点
(一)教学重点
同底数幂除法的运算性质及其应用.
(二)教学难点
零指数幂和负整数指数幂的意义.
三、教具准备
投影片五张
第一张:提出问题,记作(§1.5 A)
第二张:做一做,记作(§1.5 B)
第三张:例1,记作(§1.5 C)
第四张:想一想,猜一猜,记作(§1.5 D)
第五张:例2,记作(§1.5 E)
四、教学过程
Ⅰ.创设问题情景,引入新课
出示投影片(§1.5 A):
图1-15
一种液体每升含有1012个有害细菌,为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少滴?你是怎样计算的?
[师]这是和数学有密切联系的现实世界中的一个问题,下面请同学们根据幂的意义和除法的意义,得出这个问题的结果.
[生]根据题意,可得需要这种杀菌剂1012÷109个.
而1012÷109==
=10×10×10=1000(个)
[生]我是这样算1012÷109的.
1012÷109=(109×103)÷109
==103=1000.
[师]1012÷109是怎样的一种运算呢?
[生]1012×109是同底数幂的乘法运算,1012÷109我们就称它为同底数幂的除法运算.
[师]很好!通过上面的问题,我们会发现同底数幂的除法运算和现实世界有密切的联系,因此我们有必要了解同底数幂除法的运算性质.
Ⅱ.了解同底数幂除法的运算及其应用
[师]下面我们就先来看同底数幂除法的几个特例,并从中归纳出同底数幂除法的运算性质.(出示投影片§1.5 B)
做一做:计算下列各式,并说明理由(m>n).
(1)108÷105;(2)10m÷10n;(3)(-3)m÷(-3)n.
[生]解:(1)108÷105
=(105×103)÷105 ——逆用同底数幂乘法的性质
=103;
[生]解:(1)108÷105
== ——幂的意义
=1000=103;
[生]解:(2)10m÷10n
= ——幂的意义
==10m-n ——乘方的意义
(3)(-3)m÷(-3)n
= ——幂的意义
= ——约分
=(-3)m-n ——乘方的意义
[师]我们利用幂的意义,得到:
(1)108÷105=103=108-5;
(2)10m÷10n=10m-n(m>n);
(3)(-3)m÷(-3)n=(-3)m-n(m>n).
观察上面三个式子,运算前后指数和底数发生了怎样的变化?你能归纳出同底数幂除法的运算性质吗?
[生]从上面三个式子中发现,运算前后的底数没有变化,商的指数是被除数与除数指数的差.
[生]从以上三个特例,可以归纳出同底数幂的运算性质:am÷an=am-n(m,n是正整数且m>n).
[生]小括号内的条件不完整.在同底数幂除法中有一个最不能忽略的问题:除数不能为0.不然这个运算性质无意义.所以在同底数幂的运算性质中规定这里的a不为0,记作a≠0.在前面的三个幂的运算性质中,a可取任意数或整式,所以没有此规定.
[师]很好!这位同学考虑问题很全面.所以同底数幂的除法的运算性质为:
am÷an=am-n(a≠0,m、n都为正整数,且m>n)运用自己的语言如何描述呢?
[生]同底数幂相除,底数不变,指数相减.
[师]能用幂的意义说明这一性质是如何得来的吗?
[生]可以.由幂的意义,得
am÷an===am-n.(a≠0)
出示投影片(§1.5 C)
[例1]计算:
(1)a7÷a4;(2)(-x)6÷(-x)3;
(3)(xy)4÷(xy);(4)b2m+2÷b2;
(5)(m-n)8÷(n-m)3;(6)(-m)4÷(-m)2.
(7)地震的强度通常用里克特震级表示.描绘地震级数字表示地震的强度是10的若干次幂.例如用里克特震级表示地震是8级,说明地震的强度是107.1992年4月,荷兰发生了5级地震,12天后,加利福尼亚发生了7级地震.加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍?
分析:开始练习同底数幂的除法运算时,不提倡直接套用公式,应说明每一步的理由,进一步体会乘方的意义和幂的意义.
解:(1)a7÷a4=a7-4=a3;(a≠0)
(2)(-x)6÷(-x)3=(-x)6-3=(-x)3=-x3;(x≠0)
(3)(xy)4÷(xy)=(xy)4-1=(xy)3=x3y3;(xy≠0)
(4)b2m+2÷b2=b(2m+2)-2=b2m;(b≠0)
(5)(m-n)8÷(n-m)3=(n-m)8÷(n-m)3=(n-m)8-3=(n-m)5;(m≠n)
(6)(-m)4÷(-m)2=(-m)4-2=(-m)2=m2.(m≠0)
(7)根据题意,得:
106÷104=106-4=102=100
所以加利福尼亚的地震强度是荷兰的100倍.
评注:1°am÷an=am-n(a≠0,m、n是正整数,且m>n)中的a可以代表数,也可以代表单项式、多项式等.
2°(5)小题,(m-n)8÷(n-m)3不是同底的,而应把它们化成同底,或将(m-n)8化成(n-m)8,或把(n-m)3化成-(m-n)3.
3°(6)小题,易错为(-m)4÷(-m)2=-m2.-m2的底数是m,而(-m)2的底数是-m,所以(-m)4÷(-m)2=(-m)2=m2.
Ⅲ.探索零指数幂和负整数指数幂的意义
出示投影片(§1.5 D)
想一想:
10000=104, 16=24,
1000=10( ), 8=2( ),
100=10( ), 4=2( ),
10=10( ). 2=2( ).
猜一猜
1=10( ), 1=2( ),
0.1=10( ), =2( ),
0.01=10( ), =2( ),
0.001=10( ). =2( )
[师]我们先来看“想一想”,你能完成吗?完成后,观察你会发现什么规律?
[生]1000=103, 8=23,
100=102, 4=22,
10=101. 2=21.
观察可以发现,在“想一想”中幂都大于1,幂的值每缩小为原来的(或),指数就会减小1.
[师]你能利用幂的意义证明这个规律吗?
[生]设n为正整数,10n>1,当它缩小为原来的时,可得10n×====10n-1;又如2n>1,当它缩小为原来的时,可得2n×==2n÷2=2n-1.
[师]保持这个规律,完成“猜一猜”.
[生]可以得到猜想
1=100, 1=20,
=0.1=10-1, =2-1,
=0.01=10-2, =2-2,
=0.001=10-3. =2-3.
[师]很棒!保持上面的规律,大家可以发现指数不是我们学过的正整数,而出现了负整数和0.
正整数幂的意义表示几个相同的数相乘,如an(n为正整数)表示n个a相乘.如果用此定义解释负整数指数幂,零指数幂显然无意义.根据“猜一猜”,大家归纳一下,如何定义零指数幂和负整数指数幂呢?
[生]由“猜一猜”得
100=1,
10-1=0.1=,
10-2=0.01==,
10-3=0.001==.
20=1
2-1=,
2-2==,
2-3==.
所以a0=1,
a-p=(p为正整数).
[师]a在这里能取0吗?
[生]a在这里不能取0.我们在得出这一结论时,保持了一个规律,幂的值每缩小为原来的,指数就会减少1,因此a≠0.
[师]这一点很重要.0的0次幂,0的负整数次幂是无意义的,就如同除数为0时无意义一样.因为我们规定:a0=1(a≠0);a-p=(a≠0,p为正整数)
我们的规定合理吗?我们不妨假设同底数幂的除法性质对于m≤n仍然成立来说明这一规定是合理的.
例如由于103÷103=1,借助于同底数幂的除法可得103÷103=103-3=100,因此可规定100=1.一般情况则为am÷am=1(a≠0).而am÷am=am-m=a0,所以a0=1(a≠0);
而am÷an=(m<n)==,根据同底数幂除法得am÷an=am-n(m<n,m-n为负数).令n-m=p,m-n=-p,则am-n=,即a-p=(a≠0,p为正整数).
因此上述规定是合理的.
出示投影片(§1.5 E)
[例3]用小数或分数表示下列各数:
(1)10-3;(2)70×8-2;(3)1.6×10-4.
解:(1)10-3===0.001;
(2)70×8-2=1×=;
(3)1.6×10-4=1.6×=1.6×0.0001=0.00016.
Ⅳ.课时小结
[师]这一节课收获真不小,大家可以谈一谈.
[生]我这节课最大的收获是知道了指数还有负整数和0指数,而且还了解了它们的定义:a0=1(a≠0),a-p=(a≠0,p为正整数).
[生]这节课还学习了同底数幂的除法:am÷an=am-n(a≠0,m,n为正整数,m>n),但学习了负整数和0指数幂之后,m>n的条件可以不要,因为m≤n时,这个性质也成立.
[生]我特别注意了我们这节课所学的几个性质,都有一个条件a≠0,它是由除数不为0引出的,我觉得这个条件很重要.
[师]同学们收获确实不小,祝贺你们!
Ⅴ.课后作业
1.课本P21,习题1.7第1、2、3、4题.
2.总结幂的四个运算性质,并反思作业中的错误.
Ⅵ.活动与探究
解关于x的方程(x-1)|x|-1=1.
[过程]这个方程是一个指数方程,乍一看无从下手,但冷静思考后你会发现方程的左边是幂的形式,右边是1,一个数的幂是1有三种情况:其一,1n=1;其二,(-1)2n=1;其三, a0=1(a≠0).所以解此方程只需抓住这三点便能解决.
[结果]解:分三种情况:
(1)当x-1=1时,即x=2时,方程左边=1|2|-1=1,右边=1,所以左边=右边,x=2是此方程的解;
(2)当x-1=-1时,即x=0时,方程左边=(-1)|0|-1=(-1)-1=-1,右边=1,所以左边≠右边,x=0不是方程的解;
(3)当|x|-1=0且x-1≠0时,即x=-1时,方程左边=(-1-1)|1|-1=(-2)0=1,右边=1,所以左边=右边,x=-1是方程的解.
综上所述,方程的解为2或-1.
五、板书设计
§1.5 同底数幂的除法
1.同底数幂的除法
归纳:am÷an=am-n(a≠0,m、n都是正整数且m>n)
说明:am÷an===am-n.
语言描述:同底数幂的除法,底数不变,指数相减.
2.零指数幂和负整数指数幂
a0=1(a≠0)
a-p=(a≠0,p为正整数)
3.例题(由学生板演)
第二篇:八年级数学15.4.1同底数幂的除法1 教案人教版
八年级数学 《同底数幂的除法》
同底数幂的除法(第一课时)
一、教学目标
1.掌握同底数幂的除法运算性质.
2.运用同底数幂的除法运算法则,熟练、准确地进行计算.
3.通过总结除法的运算法则,培养学生的抽象概括能力.
4.通过例题和习题,训练学生的综合解题能力和计算能力.
5.渗透数学公式的简洁美、和谐美.
二、重点难点
1.重点
准确、熟练地运用法则进行计算.
2.难点
根据乘、除互逆的运算关系得出法则.
三、 教学过程
1.创设情境,复习导入
前面我们学习了同底数幂的乘法,请同学们回答如下问题,看哪位同学回答得快而且准确.
(1)叙述同底数幂的乘法性质.
(2)计算:① ② ③
学生活动:学生回答上述问题.
.(m,n都是正整数)
【教法说明】 通过复习引起学生回忆,巩固同底数幂的乘法性质,同时为本节的学习打下基础.
2.提出问题,引出新知
思考问题:() .(学生回答结果)
这个问题就是让我们去求一个式子,使它与 相乘,积为这个过程能列出一个算式吗?
由一个学生回答,教师板书.
这就是我们这节课要学习的同底数幂的除法运算.
3.导向深入,揭示规律
我们通过同底数幂相乘的运算法则可知,
那么,根据除法是乘法的逆运算可得
也就是
同样,
,
∴ .
那么 ,当m,n都是正整数时,如何计算呢?
(板书)
,
学生活动:同桌研究讨论,并试着推导得出结论.
师生共同总结:
教师把结论写在黑板上.
请同学们试着用文字概括这个性质:
【公式分析与说明】 提出问题:在运算过程当中,除数能否为0?
学生回答:不能.(并说明理由)
由此得出:同底数幂相除,底数 .教师指出在我们所学知识范围内,公式中的m、n为正整数,且m>n,最后综合得出: 一般地,
这就是说,同底数幂相除,底数不变,指数相减.
4.尝试反馈,理解新知
例1 计算:
(1) (2)
例2 计算:
(1) (2)
学生活动:学生在练习本上完成例l、例2,由2个学生板演完成之后,由学生判断板演是否正确.
教师活动:统计做题正确的人数,同时给予肯定或鼓励.
注意问题:例1(2)中底数为(-a),例2(l)中底数为(ab),计算过程中看做整体进行运算,最后进行结果化简.
5.反馈练习,巩固知识
练习一
(1)填空:
①
③
(2)计算:
①
③ ② ④ ② ④
学生活动:第(l)题由学生口答;第(2)题在练习本上完成,然后同桌互阅,教师抽查.
练习二
下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正?
(1)
(3) (2) (4)
学生活动:此练习以学生抢答方式完成,注意训练学生的表述能力,以提高兴趣.
四 总结、扩展
我们共同总结这节课的学习内容.
学生活动:①同底数幂相除,底数__________,指数________。
②由学生谈本书内容体会.
【教法说明】 强调“不变”、“相减”.学生谈体会,不仅是对本节知识的再现,同时也培养了学生的口头表达能力和概括总结能力.
五、布置作业
P143 1.(l)(3)(5),2.(l)(3),3.(
六、板书设计
7.8 同底数幂的除法
例1 解(l) (2)
∴ 例2 解(l) (2)
∴
∴
一般地
同底数幂相除 底数不变、指数相减
运算形式 运算方法
l)(3).