第二章  一元二次方程

２．用配方法求解一元二次方程（二）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。

学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。

二、教学任务分析

在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：

①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；

②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；

③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。

第一环节  复习回顾

活动内容：回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。

活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。

实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x²-6x-40=0

移项，得        x²-6x= 40

方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得

           x²-6x+3²=40+3²

即        （x-3）²=49

开平方，得     x-3 =±7

即       x-3=7或x-3=-7

所以       x₁=10,x₂=-4

学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：

通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，掌握了每一步的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。

配方法的两节课连贯性强，作为一种新的方法，学生在新授期间应多接触，熟练掌握基本的步骤，掌握每一步的原理，这样会增强学生对这个知识点的驾驭能力。一般的一元二次方程配方解法的步骤（移项，配方，开平方，求解）及注意事项。移项的目的是将二次项和一次项调整到等号的左边，常数项调整到右边；配方是将方程的两边添加一个常数项（一次项系数一半的平方）原理是根据公式a＋2ab＋b＝（a＋b）进行的；开平方的原理是平方根的定义，需要注意一个正数有两个平方根，它们是互为相反数；求解的过程是解两个一元一次方程，要注意符号的变化。

第二环节：情境引入

活动内容：1.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.

1.x²+2x+________=(x+______)²

2.x²-4x+________=(x-______)²

3.x²+________+36=(x+______)²

4.x²+10x+________=(x+______)²

5. x²-x+________=(x-______)²

2.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别

1.x²+6x+8=0

2.3x²+18x+24=0

探讨方程2的应如何去解呢？

活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三项与平方形式的联系，第二部分的两个习题之间的区别是方程2的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式，联系是当方程两边同时除以3以后，这两个方程式同解方程。学生们作了方程的变形以后，对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路。

实际效果：学生对第一部分五个口答题的积极抢答，调动了各自的思维，进入了积极学习的状态；比较第二部分中两个方程系数之间的区别与联系，学生们发现二次项系数为1仅是方程中的一小部分，怎样将其它类型的方程转化成这类方程非常关键，这个比较也点明了转化的方向和思路，为后续解这个方程做好了充分的铺垫，学生解决它已是轻车熟路的事情。

第三环节：讲授新课

活动内容1：讲解例题

例2  解方程3x²+8x-3=0

解：方程两边都除以3，得

 

移项，得

配方，得     

 

活动目的：通过对例2的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,关键是将方程转化成形式，特别强调当一次项系数为分数时，所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方，理解这样做的原理，树立解题的信心。另外，得到            后，在移项得到要注意符号问题，这一步在计算过程中容易出错。

实际效果：经过这一环节，学生对配方法的特点有了深入的了解，通过例题的处理，进一步把握了配方法的基本思路，熟悉了其步骤。

活动内容2：应用提高：

做一做：一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(S)满足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到10米的高度？

解：根据题意得

          15t-5t2=10

方程两边都除以-5，得

           t2-3t=-2

配方，得

 

活动目的：在前边学习的基础上，通过例3进一步提高学生分析问题,解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫。

实际效果：大部分学生通过独立思考，根据题意很快列出了方程，解方程的过程比较顺畅，最终得到两个时间t的值分别为1和2，根据实际情景怎样理解这两个时间呢？这就是很好的数学应用，体现数学的价值，很多学生能想象出当时间为1秒时，小球上升到离出发点10米的地方，当时间为2秒钟时，小球是处于下降状态，离出发点也是10米，激发了学生学习数学的热情。

第四环节：练习与提高

活动内容：课本习题2.4问题解决2.

印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起？大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题。

解：可设猴子的总数是x，由题意可得

(x)2+12=x

解得x1=16  x2=48

答：这群猴子可能是16只，也可能是48只。

活动目的：对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力、数学建模能力。

实际效果：这个题中的等量关系不易发现，课堂上，我给学生们适当的空间，培养学生独立思考的习惯，然后鼓励思维敏捷的同学展示自己的思路，用学生的语言带动学生们学习。

第五环节：课堂小结

活动内容：1.学生总结解一元二次方程的基本步骤；

2.利用一元二次方程解决实际问题的思路，对于结果的理解。

活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想。

实际效果：学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了配方法的基本思路和过程。

第六环节：布置作业

⑴课本42页习题2.4第1题；

⑵一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p（毫米汞柱）与年龄x（岁）大致满足关系：p=0.01x2+0.05x+107.如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱，那么她的年龄大概是多少？

⑶有能力的同学请课余时间用配方法交流探究方程：  ax²+bx+c=0 (a不为0)的解法.

四、教学反思

1、创造性的使用了教材：

这节课作为配方的第二节主要是以习题训练为重点，所以我依照书上的例题为重点展示了解方程的基本步骤，另外，添加了辅助性的3个习题；将书上的做一做转化成一个例题，让学生体会利用一元二次方程解决问题的感受；另在作业中配套了一道血压方面的数学问题，学生可以体会到一元二次方程与我们的现实生活息息相关。

2、注意改进的方面

基础较好的学生对于基础性的计算比较快，与此同时，班级中的有7—8名学生对于数据计算有懒惰的思想，速度慢，时间长，如果不能及时解决，这部分学生将落队，或者整节课堂冗长无味，因此如何调控教学进度成为教学中的一个难点。我的办法是老师准备好几个不同层次的习题，当大部分学生做完后，可以为他们提供更高层次的习题，继续引领他们的思维前进，而加强对基础薄弱的同学动手动脑的监督。

第二篇：2.2.2用配方法求解一元二次方程

课题：2.2.2用配方法求解一元二次方程      课型：新授课    年级：九年级

教学目标：

1．经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能．

2．经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想．

3．能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力．

教学重点与难点：

重点：用配方法熟练地解简单的数字系数不为1的一元二次方程．

难点：理解配方法的步骤．

课前准备：多媒体课件．

教学过程:

一、复习提问，导入新课

活动内容：回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤．

问题1：什么叫配方法？怎样配方？

问题2：解下列方程：

(1) x²-6x+9＝2；     (2) x²+10x+3＝0；     (3) x²+5x+2＝0．

处理方式：问题1学生回答，学生的叙述能力不同，出现的遗漏或者表述不到位的地方，由其他同学补充；问题2学生黑板板书，题目的可以在上次作业出现错误比较多的题目中选择，强调一次项系数是奇数时，分数的书写以及右边的平方．开平方的原理是平方根的定义，求解的过程要注意符号的变化．

（1）通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．

（2）移项、方程的两边同时加上一次项系数一半的平方、配成完全平方、直接开平方．

活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础．通过解方程使学生明白：不论方程的一次项系数是奇数还是偶数，只要通过配方把方程的一边变形为完全平方式，另一边变形为非负数，就可以求解．另外可以检查学生作业的更正效果． 为本节课继续学习用配方法解一元二次方程起承前启后作用．

二、合作学习，探究新知

活动内容1：进一步熟练完全平方式（多媒体出示）

问题1：将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答．

1．x²+2x+________=(x+______)²

2．x²-4x+________=(x-______)²

3．x²+________+36=(x+______)²

4．x²+10x+________=(x+______)²

5．x²-x+________=(x-______)²

问题2：请比较下列两个一元二次方程的联系与区别

1．x²+6x+8=0     

2．3x²+18x+24=0

处理方式：问题1学生口头回答，进一步强调方程的两边同时加上一次项系数一半的平方；问题2学生不一定能立刻发现二次项系数的不同，可以引导学生观察之前处理的方程的特点以及讲解时强调的二次项系数问题，例如2x²-6x+9＝0能写成完全平方式吗？

活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三项与平方形式的联系，调动了各自的思维，进入了积极学习的状态，第二部分的两个习题之间的区别是方程2的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式，联系是当方程两边同时除以3以后，这两个方程式同解方程．学生们作了方程的变形以后，对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路．

活动内容2：讲解例题，

例2  解方程3x²+8x-3=0

处理方式：先给学生一定时间观察思考，然后找两个学生尝试答题，然后教师根据出现的问题纠正．教师也可借助多媒体展示解答过程来纠正．

解：方程两边都除以3，得

移项，得

配方，得： 

设计意图：通过对例2的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程．让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路，关键是将方程转化成形式，特别强调当一次项系数为分数时，所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方，理解这样做的原理，树立解题的信心．另外得到后，在移项得到，要注意符号问题，这一步在计算过程中容易出错．

活动内容:3：巩固练习，总结步骤

1、巩固练习：解方程（1）3x²-9x+2=0；（2）2x²+6=7x

2、尝试总结用配方法解一元二次方程的步骤．

处理方式：问题1学生到黑板板书，问题2 小组讨论交流，然后代表发言，然后教师总结，多媒体展示

用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）把二次项系数化为1，即方程两边同时除以二次项系数．

（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项．

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

（4）方程变形为(x+m)²=n的形式．

（5）如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．

设计意图：通过练习巩固例题效果，进一步感知解方程的步骤方法，培养学生学生总结归纳能力和语言表达能力．

三、学以致用，解决问题

活动内容：课本38页做一做

一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(S)满足关系:h=15t-5t²，小球何时能达到10米的高度？

处理方式：学生分析题目意思，明白10是哪个字母的值，然后得到方程再解方程，在得到方程的两个根之后，让学生感知产生两个根的原因以及实际意义，进一步感受方程模型的作用．学生板书步骤，教师多媒体展示，规范步骤．

解：根据题意得                   15t-5t²=10

方程两边都除以-5，得         t2-3t=-2

配方，得                    

设计意图：在前边学习的基础上，通过做一做进一步提高学生分析问题，解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫．

四、回顾反思，提炼升华

师：同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此．通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．

学生畅谈自己的收获！

设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识． 

五、达标检测，反馈提高

师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成达标检测题．（同时多媒体出示）

A组：

1．用配方法解方程：x²+5x=－4，方程两边都应为加上的数是_________

2．将方程2x²－4x+1=0化成（x+m）²=n的形式的是（  ）．   

A．（x－1）²=12      B．（2x－1）²=12    C．（x－1）²=0       D．（x－2）²=3

B组：

3．解方程：  6x²－7x+1=0

4 ． 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A， B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s， 几秒后△ PCQ的面积为Rt△ACB面积．

处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．

设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．

六、布置作业，课堂延伸

必做题：课本40页，习题2．4第1题，第2题．

选做题：课本40页，习题2．4第3题．

板书设计：