《数学广角》内容解读及教学思考

新课程实验教材除了在有关单元渗透相应的数学思想方法以外，还专门安排了《数学广角》单元来介绍一些数学思想方法，让学生运用这些数学思想方法解决一些简单的实际问题或数学问题。许多教师喜欢选这部分内容作为公开教学的教材，但很多人往往由于数学专业知识的缺陷及对内容解读的失误，使课堂教学误入歧途，偏离目标。

　　一、数学广角的目标内涵

　　数学广角较为集中地安排了训练思维的教学内容，试图在渗透数学思想方法方面作一些努力和探索，把重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，以解决学生容易接受的生活问题的形式，通过实验、观察、操作、推理等数学活动进行渗透，激发学生探索数学问题的兴趣和解决问题的意识，发展思维能力，让学生在活动中感悟数学思想方法，促进学生数学素养的提升。

　　二、数学广角的内容体系

《数学课程标准》中指出：“重要的数学概念与数学思想宜逐步深入。”教材在“数学广角”内容的编排上注意体现了这一要求，系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来

第一学段，数学广角出现了简单的排列组合、简单的推理、集合思想、等量代换等内容，让学生通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有顺序、全面思考问题的意识，同时培养他们探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识，进而达到《数学课程标准》第一学段的要求：使学生“在解决问题的过程中，能进行简单的、有条理的思考”。

第二学段渗透了优化思想、对策论、解决由植树引发出来的问题、数字编码、假设法、抽屉原理等数学思想方法，一方面继续让学生感悟数学思想方法，感受数学的魅力，培养学生分析、推理的能力，逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，另一方面加强了综合运用知识解决问题和解决问题策略多样化的教学，使学生逐步提高数学思维能力和解决问题的能力。

　　1.一年级下册安排了“探索给定图形或数字中的简单规律”这一纯数学的内容，开始系统地渗透数学思想方法。引导学生探索一些图形或数字的简单排列规律，初步培养学生探索数学问题的兴趣以及发现、欣赏数学美的意识。这一内容有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流，初步感受数学思想方法，受到数学思维训练。

　　2.二上教材安排了简单的排列组合思想和逻辑推理方法。排列与组合的思想方法不仅有广泛的应用，而且是今后学习概率统计等知识的基础，逻辑推理更是学生进一步学习数学的基础，是发展学生逻辑推理能力的良好素材。

　　3.二下继续安排了找规律，但是图形和数列的排列规律比以前要稍复杂一些。

　　4.三上则在学生已有知识经验的基础上，继续让学生通过观察、猜测、实验等活动，找出事物的排列数与组合数，内容更加系统和全面。

　　5.三下借助学生熟悉的题材渗透集合的有关思想，体验等量代换思想方法在解决问题中的应用。

　　6.四上引导学生初步体会运筹思想在实际生活中的应用以及对策论方法在解决问题中的应用，使学生理解优化思想，形成从多种方案中寻找最优方案的意识，提高解决问题的能力。

　　7.四下主要渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的实际问题，培养学生抽取数学模型的能力。

　　8.五上使学生初步体会数字编码思想在解决实际问题中的应用，并通过观察、比较、猜测来探索数字编码的简单方法，让学生学会用数字进行编码，初步培养学生的抽象概括能力。

　　9.五下则进一步向学生渗透优化思想，体会解决问题策略的多样性及运用优化方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。

　　10.六上安排鸡兔同笼问题，借助古代趣题，使学生展开讨论，应用假设的数学思想，从多角度思考，运用多种方法解决问题。

　　11.六下安排了抽屉原理，通过直观和实际操作，使学生经历抽屉原理的探究过程，对一些简单的实际问题模型化，会用抽屉原理加以解决。

　　从对数学广角内容的梳理中我们可以看出两点：①每一个数学广角的内容认知目标相当明确；②数学思想方法的渗透是与解决问题紧密联系的。

　　三、数学广角的教学思考

　　1.目标——立足思想，确定目标

　　从教学目标的把握来看，数学广角的教学首先应定位于通过数学活动，让学生感受数学的思想方法，学会运用数学思想方法尝试解决问题，体验解决问题的策略、方法。

　　因为数学广角是面向全体学生渗透数学思想方法的，意图是让每一个学生受到数学思维训练的同时，逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。因此，要防止把数学广角当做奥数培训课进行“英才”教育，它需要更多地、有计划地创设实践活动，让全体学生去观察、研究、尝试，重在活动中对思想方法的感悟。

　　如四上编排的运筹思想和对策论都是比较系统、抽象的数学思想方法，教材只是让学生通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用，初步培养学生的应用意识，提高解决实际问题的能力。学生只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体会优化思想的应用就可以了，并不要求学生一看到问题就能从优化的角度给出最优的方案。教师在教学中也不要使用运筹、优化和对策等数学化的语言进行描述。

　　显然，立足于思想方法的目标定位，必然要求教师要充分地挖掘和理解教材中所体现的数学思想方法，在教学时注重让学生通过观察、比较、分析，感悟数学思想方法的魅力。

　　一位教师在教学“植树问题”时，别出心裁地制造了一起中毒事件。在引导学生发现“段数+1＝棵数”的规律之后，匠心独运地设计了下面的教学环节:

　　这个规律记住了吗？不，请忘了它。先来看：学校还准备建一个圆形的花坛，花坛一周全长50米，如果每隔5米放一盆菊花，一共需要多少盆？

　　（1）一共需要多少盆？（大部分学生口答：11）

　　为什么要忘了它？它是毒药。不少人已经中毒了，想吃解药吗？

　　全班都动手简单地画个圆，找一找在圆上段数和盆数有什么关系？找到规律了吗？只用50÷5＝10（盆）。

　　（2）同学们，通过刚才部分同学的中毒事件，你觉得他们为什么会中毒？其实，规律并不重要，今天你记住了，明天，后天……一年，忘了或者题目变了，怎么办？关键是你能借助画图法去找到规律，题目会变，方法不变。

　　如果你能体会到我刚才的话，这节课你才没有白学。

　　……

　　使学生感悟到发现规律、记住规律不是主要的，更重要的是发现规律的方法。正所谓“授人以鱼，不如授之以渔，授人以鱼以救一时之急，授人以渔则可解一生之需”。

　　立足数学思想方法的渗透，应该明确三点：①数学思想是我们进行数学广角教学的指导思想；②不能只满足于数学问题的解决，还要有数学思想的飞跃和创造；③数学思想不可能像数学知识那样一步到位，它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。

2.内容——思想引路，资源整合

　　内容是教学的载体，数学广角的内容有明确的教育内涵和主题空间，数学思想方法是它的灵魂和核心。对教师来说，作为课程资源的使用者，应对教材中的数学广角内容认真分析，制定教学目标，理清学生参与数学活动的线索，有效地组织教学，同时根据需要对教材内容进行时间上的调整和内容上的取舍。同时，作为教材资源的开发者，教师应结合教学内容和课程目标自觉地选择和整合课程资源，使课程内容与学生的数学活动结合得更加紧密，更能体现思想方法的渗透和熏陶。

　　如四上编排的《数学广角四》，从“田忌赛马”的故事引入对策论的应用问题，对策论研究的是竞争的双方各自采取什么对策才能够战胜对手。“田忌赛马”的故事学生可能已经了解，但并不是从数学的角度去理解的，我们要通过这个故事让学生体会对策论方法在实际中的应用。

　　很多教师在对田忌赛马所采取的对策的解读中，往往会得出一个安排出场顺序“谁后出谁赢”的结论，因此就产生了先出和后出的争论。如一位教师的教学设计是采取玩扑克牌引入：

　　（师出示两组扑克牌3、5、7和4、6、8）我们来玩一个数字比大小游戏。规则：三局二胜。老师是大人，你们先选，先出牌。你选择哪一组和老师比？（学生选4、6、8）

　　让学生先出，师采用的策略是：8—3，6—7，4—5。

　　学生输了一次以后，马上就有所感悟：“老师，您先出牌。”

　　……

　　这实际上走进了一个误区，误入歧途，偏离了思想方法的轨道，拘泥于细节和局部的争论。这里更重要的应该是让学生体会运筹思想，感悟对策论方法在实际中的应用，要根据运筹思想整合资源，让那些应该为学生所吮吸的思想与意义充分涌流。所以在教学实践中，我查阅了博弈论、对策论的很多资料，搜集了对策论的一些典型案例，如囚徒困境、掷镖游戏、羽毛球比赛及商战中的对策等，做了这样的教学尝试：

　　……

　　（1）出示：羽毛球女团决赛，湖南女队以一招田忌赛马巧妙布阵击败广东女队夺得冠军。广东女队实力强大，可惜有勇无谋，导致输球。

　　边读边思考：湖南队用了什么对策？（田忌赛马）听说过田忌赛马的故事吗？我们一起来回顾田忌赛马的过程。（描述故事）

　　为什么马还是那几匹马，比赛结果却不一样呢？（看来在比赛中选择不同的对策，往往会得到不一样的结果）

　　（2）你们能把所有可以选择的策略都列举出来吗？（学生列举展示）

　　a.观察：策略里还有你需要补充的吗？有重复吗？

　　b.比较：刚才老师发现有位同学是这样列举的，你觉得他这样写好在哪里？

　　c.筛选：孙膑筛选出其中唯一能获胜的对策，他利用智慧赢得了比赛的胜利。

　　（3）这个故事给了你们什么启发？

　　（4）那么湖南队是怎样利用田忌赛马的对策的呢？我们看看对阵双方的出场阵容，为了便于分析，我们用符号表示双方队员，同等级的队员湖南队都不如广东队。

　　湖南队的主教练根据自己的分析，猜想广东队是这样安排出场顺序的（展示广东队出场阵容）。针对这样的顺序，如果你是湖南队教练，你会怎样排兵布阵？

　　（5）学生排兵布阵，展示比赛的对阵和最终赛果。

　　（6）田忌赛马的策略在军事、经济、体育竞技比赛等方面的应用非常广泛，我们来看个例子。你觉得田忌赛马给你带来了什么思考？（用数学方法去研究和寻找比赛中制胜对方的策略）

　　在这一教学过程中引导学生通过羽毛球团体比赛的具体事例，初步体会对策论方法在解决实际问题中的应用。然后在安排田忌赛马可以采取的所有对策的活动中让学生认识到解决问题策略的多样性，学会列举、分类、筛选的数学方法，形成寻找解决问题最优方案的意识，同时培养学生详细分析、周密思考的思维品质。感受对策论在日常生活中的广泛应用，并尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，让学生感悟到在竞技比赛中可以用数学方法去研究和寻找制胜对方的最优策略。

　　3.教法——活动体验，感悟思想

　　离开学生的数学活动过程，数学思想方法的渗透也就无从谈起。在教学中，学生的参与非常重要，没有参与，学生就不可能对数学知识、数学思想产生体验；没有了体验，数学思想只能是一句空话。所以在教学过程中，我们应该创设学生感兴趣的各种情境，让他们以一种积极的状态，主动参与到数学教学过程中来，让学生根据自己的体验，逐步领悟数学思想方法。

　　如四年级上册“数学广角”中安排的“烙饼问题”，目的是让学生理解优化思想，形成从多种方案中寻找最优方案的意识，提高学生解决问题的能力。运筹思想是比较系统、抽象的数学思想方法，如何让学生通过简单的事例，体会运筹思想在解决实际问题中的应用，强化学生的运筹意识，我觉得离不开学生的数学活动和数学思考。

　　首先，通过数学活动让学生感悟运筹思想。

　　在理解问题情境的基础上，教师让学生猜测烙3张饼所需要的时间，通过猜测激发学生积极主动参与问题解决的过程。在学生对问题作出自己的大胆预测之后，教师不失时机地向学生提供充分从事数学活动的机会，让他们在自由探索和合作交流的过程中，发现怎样烙才可以花最少的时间让每个人都吃上饼的策略，从而获得对运筹这一数学思想方法的感悟。

　　（1）请从信封袋里拿出“烙饼”“锅”，一人一份，亲自动手烙一烙，看看你最少需要几次烙完，每次怎么烙；（2）四人小组交流你烙饼的方法。

　　这一操作过程是一个手脑并用的过程，学生不仅眼看、手动、而且口讲、脑想，多种感官协同活动。手指尖的触觉引起的刺激迅速地传递给学生的大脑，使学生产生积极的思维欲望——怎样才能达到“最省时间、最佳效益”。他们在动手摆摆、移移等操作中对运筹思想有所发现，有所感悟：

　　为保证烙饼用时最短，只需要保证每一次锅里都烙着两个饼的各一个面。

　　寻求优化是人类的一种本能，通过数学活动，我们把抽象的运筹思想变为学生看得见、摸得着、能理解的数学事实：怎样合理地烙才能最快让大家吃上饼。在学生有意识的数学活动中，促使他们对材料进行整理，找出有规律的现象，进行对比分析。在这一活动过程中学生初步体验和感悟运筹思想。理解运用运筹思想可以帮助我们合理地安排事情，节省时间，提高效率。

其次，利用数学运算理解运筹思想。

　　通过数学活动使学生感悟到运筹思想在烙饼问题中的应用可以减少时间，提高效率。在此基础上我们可以利用数学运算，在强调数学算法活动（数学思考）的同时让学生理解运筹思想给我们带来的效益。

　　师：如果要烙4张饼，怎样才能最快吃上饼？（2张2张地烙）

　　师；烙5张饼呢？（先2张2张地烙两次，再把剩下的一张烙好）

　　生：不对，烙5张饼，可以先烙2张，再用最优方法烙3张。

　　在前面动手操作的基础上，这里教师抛开了形式上的操作，让学生利用大脑的思维去“操作”烙4张饼和5张饼的最快方法，这实际上是一种数学算法的运用。

　　师：如果要烙6、7、8张，有没有信心很快找出烙饼的方法来？同桌根据前面烙饼的经验商量一下，并填好表格。

　　生：6张饼，2张2张地烙或3张3张地烙。

　　生：7张饼，3+2+2。

　　生：8张饼，3+3+2或2+2+2+2。

　　师小结：看来烙4张以上饼的最佳方法，可以2张2张地烙或3张3张地烙或2张和3张饼结合着来烙。

　　在这里虽然这些方法都可以得到烙饼的最短时间，但烙2张的方法与烙3张的方法是有区别的，在操作程序上很显然烙2张较烙3张要方便一些，而且省心很多，不需要考虑取进取出，不需要考虑不同号码饼的正反面。这也是运筹，是算法中的运筹，是面对很多张饼时我们所应采取的运筹策略：

　　如果要烙的饼的张数是双数，2张2张地烙就可以了，如果要烙的饼的张数是单数，可以先2张2张地烙，最后3张饼按上面的最优方法烙，最节省时间。

　　这样通过探索奇数张饼和偶数张饼的烙饼策略，实际上把所有的问题都化归和统一成一个数学模型，我们就可以在整体上、从数学思想方法上进行把握。

　　四、需要探讨的问题

　　1.思想方法的形成是需要过程的

　　一种思想的形成要比一个知识点的获得困难得多。从学生的数学思想形成过程来看，我们不难发现学生的数学思想不可能像数学知识那样一步到位，它需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程，逐步积累而形成。

　　这个过程是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级螺旋上升的过程。教师要做“过程”的加强者，不断用我们的数学思想“敲打”学生的思维，让学生在一次次的“敲打”过程中，不断积累、不断感悟、不断明朗，直到最后的主动应用。

　　怎样通过循序渐进的、不断的强化，使学生从只留意数学知识，到重视联结这些知识的思想，到对数学思想的认识开始走向明朗，意识到解决问题过程中所使用的方法和策略，进而能根据具体的数学问题，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题的解决呢？这需要教师在教学中合理地安排和思考。

　　一句话，教学需要从长计议。

　　2.进一步研究的问题

　　数学广角还有很多方面的问题值得我们去作进一步的研究和思考，如：

　　（1）数学广角知识的编排体系与学生身心发展特点有什么联系？

　　（2）通过什么方式去测评学生是否掌握了相关的数学思想方法？

　　（3）教师专业素养的缺失和数学广角的教学问题。

　　……

　　“数学思想方法是自然而平和的，我们不能把活生生的数学思考变成一堆符号让学生去死记，以至让美丽的数学淹没在形式化的海洋里。”（张奠宙）要真正发挥“数学广角”渗透数学思想方法的作用，需要数学教师进一步更新观念，加强学习，促进自身数学素养的不断提升，深入研读教材，提高思想方法渗透的自觉性，把握渗透的可行性，注重渗透的反复性，让学生的数学思维能力得到切实、有效的发展，进而提高全民族的数学文化素养。

第二篇：田忌赛马教学反思 思 思 相 扣——再教《田忌赛马》有感

思 思 相 扣

——再教《田忌赛马》有感

阅读是一种内浅性很强的观念性活动，学生接受阅读课文决不只是一个被动的印入过程。“言有尽而意无穷”，往往是一篇好课文审美价值的体现，使在学生阅读过程中，感于言而动于情。

我们是阅读教学就是要在依凭文本的同时超越文本，让课堂成为学生自由施展才华的场所，充满生命活力的舞台。

思从“反思”出发

《田忌赛马》是篇传统的课文，这次已是我第二次教，事隔已六年。

在这次备课前，我也回顾了一下上次教学的环节和特点，包括运用的课件。教学设计的核心是通过抓重点成语，结合课文理解；初读置疑，在品读并体会重点句子中释疑，总结了三个人物特点。其中参插了一个游戏还有学生的表演。

而六年后的现在，当我再次读《田忌赛马》，反思六年前的教学时。我深感当时的设计太过强调“赛马”的过程，只是从“调换赛马的出场顺序”的表面来体会此办法之妙和孙膑的高明之处。我发现这样的设计，缺少的是——学生在学习过程中真正的自主探究，缺少的是——逐步指导学生去感知语言文字，缺少的是——让学生与文本的对话。

在对六年前的教学设计反思、总结的情况下，我就开始了这次《田忌赛马》教学的思考与设计。

思从“重难点”入手

我从课文的重难点、理解课后三句话入手，思考着怎样将这个难点分解到各个环节。从哪句切入，又如何让学生们从心中感受到这句话“还是原来的马，只调换了一下出场顺序，就可以转败为胜。”看似简单，实是反映了孙膑从仔细观察到认真分析到沉重应对这一个思考过程。以前，也分析过这三句话，但只是知道体会“调换顺序”这个方法很巧妙，孙膑很聪明。但当我这次再反复把这三句话读了好多遍后，我还读出了以前没有读出的东西??

所以，我设计了先让学生从他们最感兴趣的比赛结果入手读，很快抓住并朗读了“只是调换了一下出场顺序，就可以转败为胜。”这一重点句子。并指导学生朗读时把“只??就??”这个关联词重读，再体会。授课中证明这是符合学生初读课文的心理的：因为在没有深入感知课文就只是从这两个字来理解，自然就只会感受“孙膑的方法很简单”。不论教学设计还是教学现场，我由衷不愿让学生把“别人现成的感受”，堆积于自己对课文的感知中。就应该从自己最初的感受开始，通过步步与文本对话，得到情感的升华。从而感受到学习语文过程中的快乐。

思在“学生中”蔓延

接着，我设计了让学生亲临现场充当“谋士”，也来换换另一种能取胜的出场顺序。课前，我也不知道排列组合了好多次，还请教了别人，证明确实还有许多种出场顺序，但能赢齐威王的只有孙膑的主意。所以，在课堂上学生自然也得出了这样一个结论，再回归那句话

“还是原来的马，只调换了一下出场顺序，就可以转败为胜。”，这下一朗读，刚才觉得办法简单的感觉立刻提升：“这个办法看起来很简单，但能从那么多种排列中选择出来，实在不容易。”“我们刚才觉得它简单，现在觉得它实在不简单。”“这个办法做起来简单，但是在那么短的时间内想出来是不易的”。听了同学们的发言，我欣慰的笑了。在教师了解学生思维、深思课文后创设的课文情境中，学生才能通过亲身体验，亲自与文本对话，这是一种“研读”的过程，探索的过程。在这种过程中，学生的思维活跃起来，对文本深思后的“感悟”一步一步提升起来。我欣慰的笑是因为，他们没有把“思”放在直接接受我“研读”的结果上，而是将“思”放在自主研究上。教师的“思”能在学生心里蔓延，那是一件很愉快的事。

思在层层进行着??

当我设计了这个环节后，按理说就可以让学生比较三个人物特点，说说你喜欢谁，向谁学。这时我预想到接下来学生就会总结“齐威王骄傲轻敌??孙膑仔细观察、认真分析问题??”但我这次研读课文时，我发现课文在文字上对齐威王傲慢样子的描写，其实也是对孙膑认真、仔细观察和分析过程的描写。但我又不能把这种感悟硬塞给学生，怎么才能让学生读出这一点呢？经过再次深层次地思考，我决定还是从孙膑的“好主意”入手。一是让自主探究总是围绕一个“主题”，二是想培养学生对一问题有深入探讨的意识。基于这些，我设计了让学生再讨论一下“这样的出场顺序就一定能赢吗？”这样一个环节。

当时在教学现场，学生们各个都投来了惊奇、疑惑的眼神。意思是告诉我：“这个办法还不行？”“他确实是赢了呀？”“孙膑还有错？”??但在小组讨论的过程中，大家很快就发现了“如果齐威王也调换顺序，那田忌也还是要输。”我就势夸张地问道：“既然大家都发现这种方法获胜的几率只有50%，那孙膑他还‘胸有成竹’？”

这一语真是激起了千层浪：“因为孙膑观察到了齐威王得意忘形，是怎么也不会想到来调换出场顺序的。所以他‘胸有成竹’”“齐威王得意忘形就占孙膑获胜的几率的50%，再加上这种方法本身获胜的几率就有50%，不就是100%了吗” “孙膑不仅认真观察、分析了马，而且观察、分析了在场的每个人，当然他‘胸有成竹’”??

我当时非常高兴！不是为了学生说出了我心中的答案，而是为了他们在层层探究性的阅读中确实展现了自己学习的能力，在合作性的学习中体现了团体精神和思维的碰撞，在整节课中个个都主动地想当课堂的“主角”。我为这张扬的课堂上个个张扬的鲜活生命而高兴！

最后，我们共同将课外推向高潮——“田忌赛马看似赛马，实是赛的是什么？”这时，精彩的点题语中闪烁着学生在与文本的对话中碰撞出的感“赛的是人的智慧。”知火花：“赛的是人的沉着、冷静。”“赛的是人的智慧。”“赛的是人的头脑。”“赛的是人的心态。”“赛的是人的观察力。”“赛的是人的心理素质。”??它们成了五彩缤纷、光彩夺目的烟火绽放在课堂上空。

研究性阅读是一种探索，其本身就是一个过程。有没有研究过程往往比结果更重要，因为学生研究能力的提高，是在具体的研究过

程中逐步形成的。我们必须摒弃满堂繁琐讲问的老程式，通过“突破口”正确选定，主线的简明提炼而引出集中的研究专题，为学生的自主探究创造条件。把课堂教学的时间和空间还给学生，让学生有充分条件去读书研究，在研究的过程中学会读书。