《数学史通论》读后感
暑假的空闲时间读了《数学史通论》这本书，头一次感觉数学也有自己的世界，有自己的历史，自己的文化。相比于时代的更迭，朝代的更替，他的一步一步的发展了解起来也特别有趣。
在之前的观念上，我只是觉得数学就是一门学科，无论是在初中还是高中，没有它，我上不了好的学校。最多我觉得的数学了出了在学习生涯中有好处，也就是以后能做下统计，规划等等。一直都没有真正的了解什么是数学，对我们这个专业来说（数学与应用数学），大一时期的辅导员的一句话倒是真的“数学不是一个专业，它是一门工具”。在任何方面，都是离不开数学的。相比于什么物理，工程，机械这些专业，他们的确更有针对性，更有方向性，但是它们也离不开数学。只能说，数学在我们的生活中无时无刻不在应用，任何地点都有沁入。
从位于底格里斯和幼发拉底河流域的古老美索不达米亚文明开始，从作为会计工具开始，数学文化已经开始了，一直尖笔在泥板上开始刻录，随之一起而来的数学文化也在悄无声息地产生。这些泥板作为我们了解美索不达米亚数学文化的唯一来源，幸运的是竟然一直能够没被损坏。然后是关于古埃及的数学，出了寺庙里的象形文字，更多的是两本纸草书：《兰德数学纸草书》，《莫斯科数学纸草书》。而且同样很幸运的是由于埃及的天气干燥，他们也完好的留了下来。如果把中国文明推到五千多年以前，从甲骨文开始，他们就是我们关于中国古代计数制知识的来源，我一直觉得，什么时候开始有了人类文明什么时候就开始有了数学，有了人类，就有了建筑，然而建筑是离不开数学知识的，或者说有了人类文明就应该有了交易和生活，从货物交换开始，等价物的取用，规定。甚至是直接的等价交换，这些都是离不开数学的，这些都让我举得数学从什么时候有了人类生活开始就已经存在了。
随着一些弱小的诸侯国被强国所吞并，这个封建战国时代就结束了，最后到221B.C。秦始皇一统全中国，在他的领导下，中国转变成了一个高度集中地官僚体制国家，他强化了严厉的法制，公平赋税，统一货币和度量衡，特别是统一了文字。在秦始皇之后就是汉朝了，建立教育体系，出现了教学用书《周髀算经》《九章算术》。同时代比较的话，中国的文明也该笔美索不达米亚晚了好几百年。
最简单的数学概念—计数，用话语，编组数，象形数系等等。数学文化中他有自己的符号，和文字和语言一样，他也有一套完备的体系，文字怎样的发展，数学也同样如此，说不定更波折，更有历史意义。 数学史上也有很多杰出的历史人物，最早的希腊数学家泰勒斯，对日蚀的预测，以及应用三角形边角准则测量海上航船的距离，发现三角形的边角的一些定理，圆的直径二等分圆等等。就连以里士多德也评价说：泰勒斯曾被指责在无用的研究中浪费时间，于是又一次，他用各方面的知识预见橄榄必得丰收，然后他垄断一地区的榨油机，橄榄丰收后无数人来找他租用榨油机，由此他也获得了一笔巨额财富，这个故事是很简单的，我想亚里士多德事项告诉我们，数学研究看着是索然无味的，旁人看来可能是在浪费时间的工作，但事实上前期的数字统计和规划在之后却能取得巨大成功。公元4世纪后期，人们认为泰勒斯是希腊数学传统的开创者，实际上，他更是整个希腊科学研究的开创者，因为数学渗透在各个方面。
数学是有趣的，亚里士多德的“三段论”，以及许多的定理，趣味的发现，数学悖论。这些都像一些数学游戏，在数字和曲线中，在脑中构造这些数字的支架，然后让自己在其中探索，我想，没有什么比思考是更有趣的了。
每一项数学知识似乎都和一个故事或者和一个人有关，因为数学是这些数学家一步一步的积累起来的，然后才有了现在这么博大精深的数学文化。到了17世纪早期，数学的发展步伐开始加快。印刷工艺的发展推动了数学的传授和交流，一个数学家的想法更加容易传达给其他人，供他们批评，评论并最终加以拓展。韦达关于在分析中应用代数的想法在17世纪30年代的解析几何着一有地啊书和几何结合而来的科学中得到重新表述，期间的两个核心人物是费马和笛卡尔，而解析几何的这一发展在随后的微积分发明中是至关重要的这两个人在数学领域也扮演了主要的角色。更为人所知晓的是牛顿吧，牛顿生于1642年12月25日，他的母亲在生他的当年的10月就已经守寡，3岁时，他的母亲再嫁他被留给祖母照顾，1655年他被送去学校，然后在其生涯中学习一直都要要领先，《数学入门》，《几何学》，《无穷算术》。他都一一拜读。很显然牛顿在微积分的创立以及光学和力学基本原理的建立方面区的成功的主要原因是他高度的聚精会生的能力，就算是在招待朋友时，如果突然脑子中突然想过一个想法，他都会坐下来书写完全忘记朋友的事情。
考虑到没有用在研究上所浪费的时间，他更加抓紧生活的每分每秒，很少离开自己的房间，就算是讲课时，也很少有人听他讲课，因为很少有人能听懂，缺乏听众的他似乎就是在对着墙空讲，作为教授并不成功的他在我们生活中却留下了重要影响。与之相关的还有很多我们所学过的知识，幂级数，二项式，微积分，甚至是物理学的光，力，在我们的教材中，时刻都能看见他的影子，还有莱布尼茨，与之一起的牛顿莱布尼茨定理，确实为我们的计算节省了好多时间。在数学史上的数学家是说不完的，我们现在所了解的数学文化都是这些人一点点积累起来的，有想牛顿一样的出身艰苦的，也有像洛必达一样出身官僚显贵家族的，但都因为对数学的执着，对数学不断探索，孜孜以求。
还有一个人是不得不提到的，数学王子—高斯。卡尔·弗里德里希·高斯。生于不仑瑞克，死于哥跟廷德国著名数学家，物理学，天文学家，大地测量学家它被认为是最重要的数学家并拥有数学王子的美称，与阿基米德，牛顿并称为史上最伟大的数学家众所周知，他从小就有数学天赋，快速解决1+2+···+100的问题，称为脍炙人口的故事，19xx年，19岁的高斯用尺规最初了正十七边形，这一伟大成就解决了困扰人们2000多年的数学难题，为流传了2000多年的欧式几何提供了自古希腊时代以来的第一次补充，也是高斯平生的得意之作。高斯亲自参加野外测量工作，白天工作，夜晚测量。五六年间计算次数数据不下百万。数学的探索学要的是耐心，是毅力，是执着。高斯的数学成就并不是仅仅靠他的天赋，更重要的是他后天的追求。
数学是一门伟大的科学，作为一门学科具有悠久的历史，与自然科学相比数学更是积累性科学，经过上千年的发展才逐渐兴盛起来，同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾说过：一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切联系。这中关系在我们这个时代尤为明显，，他不仅是一门艺术，一种方法，一种语言。更是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家，社会科学家，哲学家，逻辑学家，和艺术家十分有用。同时影响着政治家和神学家的学说。数学已经广泛的影响着人类的生活和思想，是现在的文化不可或缺的一部分。而他的历史从另一侧面反映了数学的发展。
数学史是数学的一个分支，和所有学科一样，数学史也是自然科学和历史学科的交叉学科。这又表明数学史具有多学科交叉于综合型强的性质。数学包含在数量，结构，空间及变化等困难等问题内。一开始出现于贸易，土地测量及之后的天文学，而现在，所有科学都存在着值得数学家研究的问题，而这一切都源于数学历史。
数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。一直到今日都还在延续中，一直都在不断发现。数学史的发展大致可以分为四个阶段。
第一时期，数学形成时期，这是人类建立的最基本的数学概念时期。人类从数数开始逐渐建立自然数的概念，简单的计数法，并且认识了最进本简单的几何形式，算数与几何后还没有分开。
第二时期，初等数学，即常量时期，这个时期的最基本的最简单的成果构成现在中学数学的主要内容。这个时期从公元前5世纪开始，也许更早一些，知道17世纪，大约持续了两千年。这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算数，几何，代数，三角。
第三时期变量数学时期，变量数学产生于17世纪，大体上经历了两个决定性的重大步骤：第一部是解析几何的产生；第二部是微积分（主要包括极限，微分学，积分学及其应用）的创立。
第四时期，现代数学。现代数学时期，大致在19世纪上半叶开始数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础—代数，几何，分析中深刻变化为特征。
我在网上搜索数学史还发现数学史上还有三次大危机，1，无理数的发现，毕达哥拉斯悖论触犯了毕氏学派的根本信条。2，无穷小是零吗，这一矛盾持续了近半个世纪争论。3，悖论的产生，由1897年的突然冲击而出现的。到现在，从整体看来都还没有解决到令人满意的程度。
说到数学史中，就像历史的发展一样，历史也有野史，在看这本书的时候我突然想到一位老师在上课时给我们讲的一个故事：
古代就已知一次、二次代数方程的解法。比如我们都学过的二次方程的求根公式。这实际上是一元二次方程的一般解法。我们也做过一些三次甚至四次方程的一些解法，但这都是特殊的高次方程，可以转化为二次方程来解。
那么一元三次方程有没有一般的解法呢？16世纪意大利一个靠自学成才的数学家塔尔塔利亚（口吃者）在从事数学教学工作中，有个数学老师向他请教两道一元三次方程，塔尔塔利亚全身心投入，废寝忘食，居然解出来了，并因此找到了解一元三次方程的方法。于是，塔尔塔利亚向外界公开宣称，他已经知道了一元三次方程的解法，但不能公开自己的步骤。这时有一个叫菲俄的人也宣称，他也找到了一元三次方程的办法，并说他的方法得到了当时著名数学家费罗的真传。
他们二人谁真谁假？谁优谁劣？于是，1535年2月22日，在意大利有名的米兰大教堂，举行了一次仅有塔尔塔利亚和菲俄参加的数学竞赛。他们各自给对方出30道题，谁解得对解得快谁就得胜。两个小时后，塔尔塔利亚解完了全部30道题，而菲俄却一道题也解不出来。塔尔塔利亚大获全胜。
原来，一元三次方程是1504年意大利数学家巴巧利引起的，他说：“x3+mx=n，x3+n=mx之不可解，正像化圆为方问题一样。”谁知此问题提出不久，数学家费罗就解出来了，他将方法透露给自己的学生菲俄。于是，当塔尔塔利亚宣称他找到一元三次方程解法时，就出现了要进行竞赛的事情。
塔尔塔利亚面对著名的学者，他有些心虚，因为他的方法还不完善。他在竞赛之前的10天，塔尔塔利亚彻夜不眠，直至黎明。当他头昏脑胀，走出室外，呼吸新鲜空气，顿时他的思路豁然开朗，多日的深思熟虑，终于取得成果。为了使自己的成果更完善，塔尔塔利亚又艰苦努力了6年，在1514年真正找到了一元三次方程的解法。很多人请求他把这种方法公布出来，但遭到拒绝，原来，塔尔塔利亚准备把自己的发明发现写成一本专著，以便流传后世。
当时米兰还有一位对一元三次方程非常感兴趣的数学家卡尔丹，苦苦央求塔尔塔利亚把解法告诉他，并起誓发愿，决不泄露。1539年，塔尔塔利亚被卡尔丹的至诚之心所动，就把方法传授给他。卡尔丹没有遵守自己的诺言，而是写成一本书，1545年在纽伦堡出版发行，在书中，卡尔丹公布了一元三次方程的解法，并声称是自己的发明。于是人们就将一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹公式”。
卡尔丹的背信弃义激怒了塔尔塔利亚，他向卡尔丹宣战，要求进行公开竞赛。双方各拟31道试题，限期15天完成。卡尔丹临阵怯场，只派了一名高徒应战。结果塔尔塔利亚在7天之内就解出了大部分试题，而卡尔丹的高徒仅做对一道。接着，二人进行了激烈的论辩，人们终于明白了真相，塔尔塔利亚才是一元三次方程求根公式的真正发明人。
塔尔塔利亚经过这场风波之后，准备心平气和地把自己的成果写成一部数学专著，可是他已经心力憔悴，1557年，他没有实现自己的愿望就与世长辞了。
一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹公式”。
卡尔丹的背信弃义激怒了塔尔塔利亚，他向卡尔丹宣战，要求进行公开竞赛。双方各拟31道试题，限期15天完成。卡尔丹临阵怯场，只派了一名高徒应战。结果塔尔塔利亚在7天之内就解出了大部分试题，而卡尔丹的高徒仅做对一道。接着，二人进行了激烈的论辩，人们终于明白了真相，塔尔塔利亚才是一元三次方程求根公式的真正发明人。
塔尔塔利亚经过这场风波之后，准备心平气和地把自己的成果写成一部数学专著，可是他已经心力憔悴，1557年，他没有实现自己的愿望就与世长辞了。这也算是数学史的野史吧，数学是有趣的，数学史更是有很多不为人知的故事的。尽管再也没法听到他给我们讲故事了，但却给我们留下了他的身影。
数学的文化和其他的一样，同样博大精深，只是需要我们自己去寻觅，去探索，不论是数学的知识还是数学的历史，从古到今，数学一直在发展在积累，在一步一步的兴盛，而且在我们的生活中，数学是一门很有用的工具，没有他我们的生活都是很盲目的，很粗略的。总之，数学是一门宝贵的财富。
第二篇：数学史
1、数学发展的动力
数学猜想是数学发展的动力之一。好的数学猜想就像一颗颗皇冠上的明珠，吸引着无数的数学家去争相摘取。如四色猜想，歌德巴赫猜想，费马猜想等等.在攻克这些猜想的过程中，将会产生许多新思想和新方法。在证明费马猜想的350多年中，模形式和椭圆方程被有机地结合起来，对科利瓦金－费莱切进行了成功地改造。这些思想和方法大大地丰富和发展了数论这门学科，在很大程度上推动了数学的发展。
1、数学家以美学的观点去创造,这是数学发展的又一动力。数学自身有一种自组织能力,通常并不受来自外部的明显影响，而只是借助于逻辑组合、一般化、特殊化，巧妙地对概念进行分析和综合，提出新的富有成果的问题，从而产生了新的数学分支。这些工作主要是数学家以美学的观点去不断地进行创造,这是数学发展的又一动力.如非欧几何，纤维丛，拓扑群，伽罗瓦的方程式理论等。JohnvonNeumann说，数学家对于决定选题，选题的标准和成功的标准，主要是美学的。波雷尔云，数学在很大程度上是一门艺术，它的的发展总是起源于美学准则，受其指导，据以评价。
好的数学问题是推动数学发展的另一个动力。数学发展的历史证明，好的问题对数学的发展与创造起着不可估量的作用。何谓一个数学问题是好的？按照Hilbert的观点，其一般的准则是：清晰性和易懂性，困难性。在西方世界，希腊的几何学中有三个著名的问题，这就是倍立方问题（即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍）、三等分角问题（即分一个任意给定的角为三个相等的部分）和化圆为方问题（即作一正方形，使其与一给定的圆之面积相等）。这三个问题都是不能按尺规作图的要求来求解的，可是由于对这三个问题的深入研究，引出了许多新的数学发现，例如，圆锥曲线论、三四次代数曲线、割圆曲线、高群论、超越数理论等都起源于这三个问题的研究。19xx年8月6日，近代杰出的德国数学家Hilbert在国际数学家大会上，提出了23个数学问题。在整个20世纪中，数学家们为这些问题作出了不懈的探索，虽然至今大约解决了其中的一半，但这23个问题已经成为推动数学向前发展的杠杆。
对实际问题的求解也对数学的发展起到了强有力的推动作用。1865年，孟德尔以排列组合的数学模型解释了他通过长达8年的实验观察到的遗传现象，从而预见了遗传基因的存在性。Hardy利用简单的概率计算指出：色盲在一群体中不会由于一代一代地遗传而患者越来越多。他证明了：患者的分布是平稳的，不随时间而改变。这一发现被称为Hardy-Weinberg定律。不仅如此，数学在解决经济建设、科学技术、军事与安全方面的实际问题时也被广泛应用。
2、非欧几何创立和发展历史
大约在公元前4世纪左右，古希腊伟大的数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。关于欧式几何的五条公设和五条公理，我们都已经较为熟悉：五条公设：1、任意两个点可以通过一条直线连接。2、任意线段能无限延伸成一条直线。3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。五条公理：1、等于同量的量彼此相等。2、等量加等量，其和仍相等。
3、等量减等量，其差仍相等。4、彼此能够重合的物体是全等的。5、整体大于部分。 上述的公理和公设，在我们看来大都非常简单，不证自明。但长期以来，人们一直对第五公设心存疑问。首先，第五公设相较于其他公设晦涩而难懂，许多人第一眼看上去并不了解这说的是什么。其次，即便稍稍弄明白了意思，数学家们也纠结于它的证明。但就是这样一个小小的疑问，在今后的数学界却掀起了巨大的波澜。
要研究第五公设，首先就要简化它，因为它的题设的确过于冗长了，相信许多在座的各位第一眼也没看出个所以然。因而苏格兰科学家普雷费尔给出了它的等价命题，大家都已经很熟悉了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，现在这频频出现在中学教科书和试卷里，但要证明这一题设就花费了人类几百年的宝贵时间，而这一段时间，也被后世视为非欧几何学的发展历史阶段，这大致可以分为萌芽、发展和成熟三个阶段。
在萌芽阶段也就是孕育时期一个不得不提的人物就是爱尔兰数学家萨开里。萨开里起初并没有什么其他的伟大想法，他仅仅是想通过其他公设证明第五公设。于是，他发明了一种特殊的四边形（后世也称为“萨开里四边形”）。这种四边形乍一看上去像是一个倒置的等腰梯形，在萨开里的假设中，这个四边形两个底角为90度，而另两个等角就存在三种可能，同为锐角、同为直角或同为钝角。若同为直角，毫无疑问就证明了第五公设。若同为钝角，这就与第二公设矛盾，因为这个四边形的两条腰并不能无限延长，若如此，那么此四边形不成立。最后，若同为锐角，萨开里就衍生出了这样一些在他看来无法接受的结论：三角形内角和小于180度，过线外一点可以作无数条直线……受时代的限制，他认为自己找到了逻辑矛盾，从而从侧面证明了第五公设的正确。
在我们今天看来，萨开里真是找对了路却受阻于高山流水。以他的锐角假设为例，他推出过线外一点可以作无数条直线，但这正是他要证伪的。而关于三角形内角和的问题，在今天也已经得到了充分的解决，这些在后面再详细提及。
虽然萨开里的证明失败了，但是不管怎么说，他的研究方法为后来的研究第五公设的数学家们开了一个先河。那么接下来就是发展阶段了。该时期的著名人物主要包括瑞士数学家兰伯特和法国数学家勒让德。前者在自己的四边形（三个直角）基础上也导出了一系列与欧式几
何相矛盾的推论，但与萨开里不同的是，他不认为这是不可接受的，同时，他提出了“锐角形式下的几何发生在半径为虚数的球面”。后者则专注于三角形，并得出了重要结论：若有一个三角形内角和为平角，其他亦然。若有一个三角形内角和小于平角，其他亦然。这个结论虽然看上去可有可无，但实际上他的这一结论就已经化一般为特殊了，将研究范围大大缩小。同时他也持有与萨开里类似的结论，即若存在矩形，那么第五公设是成立的。
萌芽阶段和发展阶段的研究虽然是孤立的、片面的，但它确实地为非欧几何的成熟奠定了一定的基础。
成熟阶段主要由两部分构成，一是以俄国数学家罗巴切夫斯基为首的罗巴切夫斯基几何学派，一是以德国数学家黎曼为首的黎曼几何学派。
首先来了解一下罗氏几何的发展历程。关于罗氏几何的形成，至少与三个数学家有极大的关联，他们分别是德国数学家高斯，匈牙利数学家波里埃以及我们的大主角罗巴切夫斯基。事实上，高斯很早就注意到了第五公设并得出了它并不成立的设想，只不过慑于当时思想的禁锢而没有将其发表。后来人们在他的信件中发现他已经提出了新几何的设想，并与罗巴切夫斯基有过密切的交流，这毫无疑问有效地启发了罗巴切夫斯基。而传奇的数学家波里埃则是在他的父亲（同样是一名数学家）的一本书的附录里提及了新几何的设想，同时，他也得出了我们至今依旧熟悉的正弦定律，即sinA／a＝sinB／b＝sinC／c＝2R。但极为可惜的是，波里埃后来因为怀疑高斯剽窃了自己的成果而变的意志消沉，最终没能作进一步的研究。这时，只有罗巴切夫斯基独立的完成了非欧几何的理论。在前人的基础上，罗巴切夫斯基首先否定了第五公设并得出了他的观点：过已知直线外一点至少可以作两条直线与已知直线平行。在这里他运用的是高斯、波里埃都做过研究的的平行角方法。罗巴切夫斯基首先假定直线外一点到直线的距离为d，然后他分别作了该点的左、右平行线，两条平行线与点到直线的垂线形成一个夹角记为∠α。在罗巴切夫斯基看来，左右平行线间的任意一条直线都是已知直线的平行线，换言之，所谓的左、右平行线实际上是平行与非平行的临界线。当d→0时，∠α→90°；当d→＋∞时，∠α→0°。因而就此推论，d＞0，0°﹤∠α﹤90°，此时必存在左、右平行线，因而验证了罗巴切夫斯基的观点。为此，罗巴切夫斯基还给出了∠α的表达式：∠α＝arcsin[coshd／k] ∧﹣1。前面提到了勒让德对于三角形的研究，罗巴切夫斯基当然也没放过这一要点。在罗氏几何中，三角形的一个显著特点是其内角之和严格小于平角，不存
在相似三角形。但最令人难以接受的是任意三角形的面积都是有界的。由此推导出的罗氏正弦定律、余弦定律甚至勾股定律都远复杂于欧式几何。
上面谈到的是区别第五公设的一种情况，还有一种情况，即过直线外任意一点没有一条直线与已知直线平行。这也就是我们即将谈到的黎曼几何的基本模型。而为了使得黎曼几何更加具体化，人们更倾向于用球面几何来模拟。顾名思义，球面几何便是关于球面上的几何学的研究。事实上，在早期人们的实践中已经有了一定的了解。例如在大航海时代，航海家发现了他们预定方向与实际航程角度的偏离。这里固然有时代科技等方面的局限性，但也不能够忽视地球作为一个球体的特殊性。在黎曼几何中，得出了以下公设：任意两条直线必相交；三角形内角和大于180°。其证明是围绕着一个球体进行的。黎曼视该球体的一个大圆为非欧直线，则任意两个大圆间必有至少两个交点（大圆有限）。从这个意义上来说，的确，是不存在平行这个概念的。相似地，黎曼几何的正弦定律和余弦定律也是相当复杂的。这里还要提一点，前面所提到的发展阶段的领军人物兰伯特曾经根据自己的研究得出自己的“类萨开里四边形”的锐角形式发生在半径为虚数的球面上，这一点颇令人费解。现在看来，通过欧拉公式，罗氏几何的正弦定律和余弦定律最终可以化为带有i的等式，与兰伯特的猜想不谋而合，也与黎曼几何的球面模型相对而存在。
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。在我们日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。研究非欧几何的发展历程，对于数学的发展和人类的进步有重大意义。
3、数学抽象的内涵、特征及对中小学数学教育的启示。
一、内涵：数学抽象是指从研究的对象或问题中，把大量的关于其空间形式和数量关系的直观背景材料，通过去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和制作、提炼数学概念、构造数学模型、建立数学理论。即就是从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他的属性，借助定义和推理进行逻辑构建的思维过程和方法。
二、特征：1.数学抽象有着明显的目标，都是撇开对象的具体内容，仅仅保留空间形式和数量关系；2.数学抽象适用范围广泛，既有提炼数学概念的表征性抽象，又有探索数学理论的原理性抽象；3.数学抽象有着丰富的层次，不仅表现在直接从现实世界中抽象出相应的空间形式和数量关系，而且还表现为已有数学知识基础上的再抽象。
三、对中小学数学教育的启示
数学教育的是如何处理好“数学”和“教育”的关系。从“数学”方面来看，因为数学的高度抽象性是数学的最本质的特点，因此数学教学是无法回避抽象性的。并且，以抽象为突出特征的现代数学定位为主干课程是历史的必然趋势，学习数学最重要的就是学习抽象、学会抽象。而从“教育”方面来看，就是通过恰当的教学组织，使学生在自己亲身体验的具体现实中去寻找与数学的联系，学会抽象。从某种程度来说，中学生学习数学的过程就是逐步领会、掌握数学抽象的过程，它要经历一个由具体到抽象，又从抽象回到具体，由直观现实化抽象到概括形式化的发展过程。因此，具体-抽象结合为一体，是数学教学中应遵循的基本规律。
《数学抽象在数学教学中的应用》潘建军
(一)抽象概念形象化、具体化
在理解、运用抽象概念时，基于具体问题引入概念，然后再通过典型的例子对概念做进一步的理解，将以往己形成的认识、记忆所带来的干扰予以排除，然后对抽象概念的内涵、外延做进一步、全新的、充分的理解，抽取概念的实质，分析不同例证。此外，老师还要结合数学理论的抽象层次、结构，引导学生进一步构造抽象思维，形成抽象思维系统，最终实现抽象思维与具象层次的转化。例如在学习苏教版必修四《弧度制》时，
(一)抽象概括问题本质
从某种程度而言，抽象概括数学问题的木质就是认识数学、解决数学问题的、普通思维方式的理性概括，与其它的数学知识、数学方法相比，抽象概括的层次相对更高，而新课标也要求学生具备由表及里、抽象概括数学问题本质的基本能力。下面通过实例阐述其具体应用:如果实数
总之，数学教学中数学抽象性非但不能减弱，反而应当增加，采取可行的教学方法和手段，使学生在学习中真正感受到数学抽象性的巨大作用。
4、非欧几何
非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲 ，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。
罗巴切夫斯基几何
罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：
欧式几何
同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗氏几何
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
人们既然承认欧几里德几何是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
黎曼几何
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲“ 过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。
三种几何的关系
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。
在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
5、数学发展史 数学的发展历史
数学是一门伟大的科学，数学作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过:"一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显"。"数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说"。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。而数学的历史更从另一个侧面反映了数学的发展。但有一点值得注意的是，人是这一方面的创造者，因此人本身的作用起着举足轻重的作用，首先表现为是否爱数学，是否愿为数学贡献毕生的精力。正是这主导着数学。
数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。
数学出现于包含著数量、结构、空间及变化等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多的问题。而这一切都源于数学的历史。
数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做测量等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及
为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构方面的研究。数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。
数学发展具有阶段性，因此根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前通常将数学发展划分为以下五个时期：
1．数学萌芽期（公元前600年以前）；
2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；
3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；
4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；
5．现代数学时期（20世纪40年代以来）
在数学萌芽期这一时期，数学经过漫长时间的萌芽阶段，在生产的基础上积累了丰富的有关数和形的感性知识。到了公元前六世纪，希腊几何学的出现成为第一个转折点，数学从此由具体的、实验的阶段，过渡到抽象的、理论的阶段，开始创立初等数学。此后又经过不断的发展和交流，最后形成了几何、算术、代数、三角等独立学科。世界上最古老的几个国家都位于大河流域：黄河流域的中国；尼罗河下游的埃及；幼发拉底河与底格里斯河的巴比伦国；印度河与恒河的印度。这些国家都是在农业的基础上发展起来的，因此他们就必须掌握四季气候变迁的规律。
现在对于古巴比伦数学的了解主要是根据巴比伦泥版，这些数学泥版表明，巴比伦自公元前20xx年左右即开始使用60进位制的记数法进行较复杂的计算了，并出现了60进位的分数，用与整数同样的法则进行计算；已经有了关于倒数、乘法、平方、立方、平方根、立方根的数表；借助于倒数表，除法常转化为乘法进行计算。巴比伦数学具有算术和代数的特征，几何只是表达代数问题的一种方法。这时还没有产生数学的理论。对埃及古代数学的了解，主要是根据两卷纸草书。从这两卷文献中可以看到，古埃及是采用10进位制的记数法。埃及人的数学兴趣是测量土地，几何问题多是讲度量法的，涉及到田地的面积、谷仓的容积和有关金字塔的简易计算法。但是由于这些计算法是为了解决尼罗河泛滥后土地测量和谷物分配、容量计算等日常生活中必须解决的课题而设想出来的，因此并没有出现对公式、定理、证明加以理论推导的倾向。埃及数学的一个主要用途是天文研究，也在研究天文中得到了发展。由于地理位置和自然条件，古希腊受到埃及、巴比伦这些文明古国的许多影响，成为欧洲最先创造文明的地区。
希腊的数学是辉煌的数学，第一个时期开始于公元前6世纪，结束于公元前4世纪。泰勒斯开始了命题的逻辑证明，开始了希腊伟大的数学发展。进入公元前5世纪，爱利亚学派的芝诺提出了四个关于运动的悖论，柏拉图强调几何对培养逻辑思维能力的重要作用，亚里士多德建立了形式逻辑，并且把它作为证明的工具；德谟克利特把几何量看成是由许多不可再分的原子所构成。第二个时期自公元前4世纪末至公元1世纪，这时的学术中心从雅典转移到了亚历山大里亚，因此被称为亚历山大里亚时期。这一时期有许多水平很高的数学书稿问世，并一直流传到了现在。公元前3世纪，欧几里得写出了平面几何、比例论、数论、无理量论、立体几何的集大成的著作几何原本，第一次把几何学建立在演绎体系上，成为数学史乃至思想史上一部划时代的名著。之后的阿基米德把抽象的数学理论和具体的工程技术结合起来，根据力学原理去探求几何图形的面积和体积，奠定了微积分的基础。阿波罗尼写出了《圆锥曲线》一书，成为后来研究这一问题的基础。公元一世纪的赫伦写出了使用具体数解释求积法的《测量术》等著作。二世纪的托勒密完成了到那时为止的数理天文学的集大成著作《数学汇编》，结合天文学研究三角学。三世纪丢番图著《算术》，使用简略号求解不定方程式等问题，它对数学发展的影响仅次于《几何原本》。希腊数学中最突出的三大成就--欧几里得的几何学，阿基米德的穷竭法和阿波罗尼的圆锥曲线论，标志着当时数学的主体部分--算术、代数、几何基本上已经建立起来了。
罗马人征服了希腊也摧毁了希腊的文化。公元前47年，罗马人焚毁了亚历山大里亚图书馆，两个半世纪以来收集的藏书和50万份手稿竞付之一炬。
从5世纪到15世纪，数学发展的中心转移到了东方的印度、中亚细亚、阿拉伯国家和中国。在这1000多年时间里，数学主要是由于计算的需要，特别是由于天文学的需要而得到迅速发展。古希腊的数学看重抽象、逻辑和理论，强调数学是认识自然的工具，重点是几何；而古代中国和印度的数学看重具体、经验和应用，强调数学是支配自然的工具，重点是算术和代数。
印度的数学也是世界数学的重要组成部分。数学作为一门学科确立和发展起来。印度数学受婆罗门教的影响很大，此外还受希腊、中国和近东数学的影响，特别是受中国的影响。
此外，阿拉伯数学也有着举足轻重的作用，阿拉伯人改进了印度的计数系统，"代数"的研究对象规定为方程论；让几何从属于代数，不重视证明；引入正切、余切、正割、余割等三角函数，制作精密的三角函数表，发现平面三角与球面三角若干重要的公式，使三角学脱离天文学独立出来。
在我国，春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。魏、晋时期赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。这之后，我国数学经过像秦九邵、祖冲之、郭守敬、程大位这样的数学家进一步发展了我国的数学事业。
在西欧的历史上，中世纪的黑暗在一定程度上阻碍了数学的发展，15世纪开始了欧洲的文艺复兴，使欧洲的数学得以进一步发展，15世纪的数学活动集中在算术、代数和三角方面。缪勒的名著《三角全书》是欧洲人对平面和球面三角学所作的独立于天文学的第一个系统的阐述。16世纪塔塔利亚发现三次方程的代数解法，接受了负数并使用了虚数。16世纪最伟大的数学家是伟达，他写了许多关于三角学、代数学和几何学的著作，其中最著名的《分析方法入门》改进了符号，使代数学大为改观；斯蒂文创设了小数。17世纪初，对数的发明是初等数学的一大成就。1614年，耐普尔首创了对对数，1624年布里格斯引入了相当于现在的常用对数，计算方法因而向前推进了一大步。至此，初等数学的主体部分--算术、代数与几何已经全部形成，并且发展成熟。
变量数学时期从17世纪中叶到19世纪20年代，这一时期数学研究的主要内容是数量的变化及几何变换。这一时期的主要成果是解析几何、微积分、高等代数等学科。
17世纪是一个开创性的世纪。这个世纪中发生了对于数学具有重大意义的三件大事。 首先是伽里略实验数学方法的出现，它表明了数学与自然科学的一种崭新的结合。其特点是在所研究的现象中，找出一些可以度量的因素，并把数学方法应用到这些量的变化规律中去。第二件大事是笛卡儿的重要著作《方法谈》及其附录《几何学》于1637年发表。它引入了运动着的一点的坐标的概念，引入了变量和函数的概念。由于有了坐标，平面曲线与二元方程之间建立起了联系，由此产生了一门用代数方法研究几何学的新学科--解析几何学。这是数学的一个转折点，也是变量数学发展的第一个决定性步骤。第三件大事是微积分学的建立，
最重要的工作是由牛顿和莱布尼兹各自独立完成的。他们认识到微分和积分实际上是一对逆运算，从而给出了微积分学基本定理，即牛顿-莱布尼兹公式。17世纪的数学，发生了许多深刻的、明显的变革。在数学的活动范围方面，数学教育扩大了，从事数学工作的人迅速增加，数学著作在较广的范围内得到传播，而且建立了各种学会。在数学的传统方面，从形的研究转向了数的研究，代数占据了主导地位。在数学发展的趋势方面，开始了科学数学化的过程。最早出现的是力学的数学化，它以1687年牛顿写的《自然哲学的数学原理》为代表，从三大定律出发，用数学的逻辑推理将力学定律逐个地、必然地引申出来。18世纪数学的各个学科，如三角学、解析几何学、微积分学、数论、方程论，得到快速发展。19世纪20年代出现了一个伟大的数学成就，它就是把微积分的理论基础牢固地建立在极限的概念上。柯西于1821年在《分析教程》一书中，发展了可接受的极限理论，然后极其严格地定义了函数的连续性、导数和积分，强调了研究级数收敛性的必要，给出了正项级数的根式判别法和积分判别法。而在这一时期，非欧几何的出现，成为数学史上的一件大事，非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。这时人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何--非欧几何。非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。非欧几何的发现，黎曼和罗巴切夫斯基功不可灭，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域--黎曼几何学。后来，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数--四元数代数。不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代代数的大门。另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。19世纪20～30年代，阿贝尔和伽罗瓦开创了近世代数学的研究。这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵，等等，并渐渐转向代数系统结构本身的研究。19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件：分析的算术化。1874年威尔斯特拉斯提出了被称为"分析的算术化"的著名设想，实数系本身最先应该严格化，然后分析的所有概念应该由此数系导出。19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上。
20世纪40～50年代，世界科学史上发生了三件惊天动地的大事，即原子能的利用、电子计算机的发明和空间技术的兴起。此外还出现了许多新的情况，促使数学发生急剧的变化。19xx年，第一台电子计算机诞生以后，由于电子计算机应用广泛、影响巨大，围绕它很自然
要形成一门庞大的科学。计算机的出现更是促进了数学的发展，使数学分为了三个领域，纯粹数学，计算机数学，应用数学。 现代数学虽然呈现出多姿多彩的局面，但是它的主要特点可以概括如下：(1)数学的对象、内容在深度和广度上都有了很大的发展，分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都发生了惊人的变化，数学的不断分化，不断综合的趋势都在加强。(2)电子计算机进入数学领域，产生巨大而深远的影响。(3)数学渗透到几乎所有的科学领域，并且起着越来越大的作用，纯粹数学不断向纵深发展，数理逻辑和数学基础已经成为整个数学大厦基础。
数学出现于包含著数量、结构、空间及变化等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多的问题。牛顿和莱布尼兹是微积分的发明者，费曼发明了费曼路径积分，来用于推理及物理的洞察，而今日的弦理论亦生成为新的数学。一些数学只和生成它的领域有关，且应用于此领域的更多问题解答。
每一门科学都有自己的特点，数学亦然。数学问题的解决往往不能立刻转化或不能转化为生产力，只有一小部分可以实现这个转化。一个明显的例子便是哥德巴赫猜想的证明与哈伯的合成氨法，经过几百年的不懈努力，只剩下1+1的证明，但之前命题的证明并没有促进生产力的发展，而哈伯的合成氨法就不一样了，它极大促进了生产力的发展，特别是化工业的发展。但这并不能说明数学问题的解决与数学作用不大，数学起决定性作用的例子最明显的便是物理学，当物理学中有关数学的问题得以解决时，物理学特别是理论物理学会有很大的发展。其实不仅仅是物理学，社会中的各个方面都会牵涉到数学，数学的作用范围如此之广，这是其他的学科所无法比拟的。
数学经过上千年的发展与演化，得以发展到今天的繁荣，虽然当年诺贝尔没有为数学设奖，但一代代的数学家们前仆后继，为数学事业倾注了一生的心血，他们为世人呈现出了数学的美丽。历史的车轮终将还会向前，数学终将还会继续发展。
6、数学问题对数学发展的影响
科学始于问题[1]，数学作为一门科学，同样具有这种特点。但与一般自然科学不同，数学作为研究纯粹量的形式关系（或称为模式关系）的一门学科，问题不仅来自客观世界，还依赖于自身的发展。数学发展到今天，其自我繁殖过程中产生的问题甚至还多于直接来自客观世界的问题。从而，数学问题对数学发展的影响也有其自身的特点，它表现为，数学问题的产生、解决与数学学科的发展的紧密的依赖关系，问题争论异常激烈之时，往往也是数学重大变革或重要发展之际，数学的变革与发展又会带来更多更有价值的问
题。数学问题的价值不仅可以用“科学的重要性”（外部重要性）来衡量，同时也可用“数学的重要性”（内在重要性）[2]来鉴别，数学正是依赖于这些问题而生存与发展。按美国数学哲学家基切尔的观点，问题的提出与问题的解决都是数学发展的基本模式，就数学发展的纯粹模式而言，它遵循
附图{图}
这样一个无限循环的往复运动[3]。无怪乎数学家哈尔莫斯称：问题是数学的心脏[4]。
数学研究离不开问题。广义地说，未经证明的数学命题，以及为教学需要人为设置的问题都属于数学问题。这里所说的问题，主要指数学各分支中的一些基本的、经典的问题，以及这些学科中的一些专门问题，有些问题还被冠以“猜想”或“假设”，如著名的哥德巴赫猜想、黎曼假设等，它们往往表达清晰易懂，结论直观明显，证明极其困难。数学中充满了这类问题，并呈增长之势，这正是数学得以蓬勃发展的重要原因之一。
数学问题的解决，不仅促进数学的发展，也不断改变人类对客观世界的认识。一个好的数学问题，即具有科学重要性或数学重要性的问题，往往是对宇宙运动法则或人类认识观念的本质质疑。在某种程度上，它决定着数学发展的方向。因此，分析数学问题对数学发展的影响，将有助于认识数学问题的价值，使数学研究朝着有利于人类正确认识、改造客观世界的方向发展。数学问题对数学发展的影响是指围绕数学问题的提出、解决问题途径的探索，直至问题的最终解决所引起的数学观念、内容、方法，甚至整个数学体系的变化。谁也不会忘记，19xx年，希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作的关于《数学问题》的演讲对整个20世纪数学发展产生的深远影响。
想要预见数学问题的价值有时是困难的，一般而言，对数学发展产生影响的问题都有一定价值。数学问题其价值的发现是一个动态的过程，需要在问题解决过程中不断挖掘，有时也会不断修改、更新、替换，甚至淘汰原有问题，重新获得真正有价值的问题。本文试图从数学观念的转变、数学概念的形成、数学方法的创新、数学理论的完善四个方面，分析数学问题对数学发展的影响，并简要论述中国古代数学中的数学问题，指出中国古代数学未能深入发展的一个重要原因是数学问题的匮乏。
一 数学问题影响数学观念的转变
数学观念即人们对数学及数学与客观世界关系的总的看法。数学，作为一门理性科学，自古希腊数学家开始发展以来，一直充满着危机与矛盾，原因在于思维的局限性，人类思维往往不足以完全反映客观世界的真实性，从而需要不断反思与深化，才能逐步认识其本来面目，正如罗马哲学家塞涅卡所说：“自然界不会一下子披露她所有的秘密”。数学中的危机与矛盾自然就形成一系列的数学问题，有些问题会直接与人们当时的数学观和哲学信念相悖，从而不断引起“智力悲剧”[5]。
数概念发展的历史恰好就是数学观念不断转变的一个例子。古希腊毕达哥拉斯学派认为宇宙是以数学方式设计的，在他们的观念中只有整数与整数比，这是他们用来解释自然的第一原则[6]，对数的痴迷导致他们
“万物皆数”的哲学信条，认为（整）数是万物之本，一旦发现世间还有不可公度的线段就显得措手不及，无法接受，据传还把发现者投海处死。不可公度问题导致无理数的发现，最终打破了他们“万物皆数”的信条。这是数学史上第一次“不幸”，常被称为“第一次数学危机”。观念的影响根深蒂固，数学的发展总在揭示宇宙的真谛，新真理的发现大多不在人的意料之中，接受它需要时间的考验与观念的转变。如果说无理数的出现还有线段做参照，那么“虚数”的登场则有点“无所依托”。16世纪中叶，卡丹在解决分10为两部分，使其乘积为40时，解方程x(10-x)=40，求得两“数”为{图}，这两个怪“数”在当时，无论从逻辑上、形式上还是实际意义，都让人无法接受，但“不管会受到多大的良心责备”，总算还能将这两个“数”相乘得到40。当时最伟大的数学家笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、柯西、德·摩根，以及哈密尔顿等都曾排斥过它，从笛卡儿称之为“虚数”就可见一斑，欧拉也将它称为不可能的数。哈密尔顿正是为了复数问题的这种“玄奥之障”，才刻意发展了他的数偶理论，并由此创立四元数，开创非交换代数的新方向。然而，使数学家相信复数的不是逻辑，而是威塞尔、阿尔刚和高斯等人的几何表示[7]。高斯、哈密尔顿等的工作使代数与几何有可能建立真正的联系（点与数的一一对应），四元数因为放弃传统的数的交换性而被誉为是代数学的解放。观念转变是在探索中逐步产生的，一旦发生转变，数学将会取得革命性的发展。观念转变是数学产生重大突破的关键。欧氏几何第五公设问题的解决，同样也可表明这一点，如果不是数学家放弃旧的数学观念，仍固守欧氏空间是现实空间唯一写照，非欧几何将永远无法诞生，现代数学也不会有今天这样的辉煌。
数学问题对数学观念转变的影响表现为：第一，问题的提出直接与原有的数学观念相抵触，如无理数的出现，这一般会遭到权威数学家严厉抵制，往往会延缓新概念诞生，影响数学发展进程，拒绝无理数也是希腊数学衰退的原因之一。尽管如此，真理仍会重视，观念终将改变；第二，转变体现在探索解决问题的途径中，如第五公设问题及将要论及的方程根式求解问题，都经历了成百上千年历程，才使数学家慢慢转变观念，让古老问题得以再生，并推动数学的发展；第三，这种影响伴随整个数学发展进程，在数学发展的许多重要时期，都可有这样的例子，如：至19xx年，随着算术、代数、几何及分析基础问题的解决，数学家本以为可在坚实的基础上稍事休息了，彭加勒甚至夸耀地称“绝对的严格已经达到了”，可两年后发现，数学赖以寄存的基础——集合论出现严重缺陷，集合论悖论问题，使数学家们惊恐万分，引来了所谓的基础讨论，并导致逻辑主义、形式主义、直觉主义等多种数学观的产生；又如，四色问题，它的解决也是对数学观念转变的一个考验。尽管到现在，对计算机证明是否算数仍没有一个非常明确的肯定，但计算机已悄悄深入到数学的许多领域，实验数学、机器证明正在悄然发展着，计算机的深入发展将会进一步影响数学观念的改变。
可以说，有价值的数学问题，总会带来有生命力的东西，也多少会影响数学观念的进步或转变。正像J.V.格拉比纳所说：“数学的发展有两种方式，不仅有逐步的积累，而且还有及时的革命”[8]，他这里的革命是指对数学真理看法的改变，亦即数学观念的变化。
二 数学问题诱导数学概念的形成
数学概念是数学理论思维的基本成果与数学理论体系的基本要素，它的形成与发展，是和整个数学或数学的某个分支的形成和发展同步进行的，数学基本概念的形成，标志着一门新的数学分支的诞生[9]。数学问题的解决一般不会是原有概念与方法的重复使用与简单叠加，总会伴随某种观念的更新与方法的重建，而这种更新与重建往往会诱导新的数学概念的产生，数学以这种方式，不断诞生新的数学概念，为数学家族增添新的成员。
方程求解问题是个古老的数学问题，尽管公元前两千年左右就已能解一般二次方程和特殊高次方程[10]，可到16世纪才刚刚获得三、四次方程的一般解法，前后相距三千多年，可见其艰难。更高次方程的根式求解，一直是代数学的中心问题，为许多著名数学家所探索，欧拉、拉格朗日、高斯等都为此付出过努力，直到19世纪才为两个年轻数学家阿贝尔和伽罗瓦解决，他们引入置换群、子群、正规子群、域等全新的概念，以致让他们同时代的数学家无法理解，但他们的成果及所引入的全新概念，对整个数学发展具有划时代的意义。由群、域等概念产生的代数结构思想影响数学发展近两个世纪，直至今日。代数学从阿贝尔、伽罗瓦时代起，其主要任务不再以解方程为中心，而成为一门研究各种代数系统的学科。可以说，方程根式求解问题对数学发展的影响是数学史上最重大的影响之一。费马大定理，20世纪最伟大的数学成果之一，是数学问题诱导数学概念形成的另一个重要例子。表述简明的费马大定理困惑了人类智者350多年，原以为这个古老而孤立的数论问题仅是个智力游戏，但在探索解答过程中却创立了许多新概念，例如分圆整数、理想数、唯一分解、椭圆函数、模函数等，形成了代数数论、理想数理论等新的数学分支，希尔伯特称它为“会下金蛋的鹅”。类似地，华林问题与哥德巴赫问题都曾极大地推动解析数论的发展。
数学问题难以解答，一是缺乏有效的方法与技巧，无法把握解决问题的关键；其次不知问题同其他事物对象的关系，即不知它在整个结构（如果有的话）中的地位；另外，按哥德尔不完备性定理，也许恰好遇上无法判定正误的问题。对数学家有深深吸引力的，往往是那些对大量特殊情形均成立，或与多个数学问题的解决关系密切的问题，如前面提到的哥德巴赫猜想与黎曼假设。尽管存在不可判定的数学问题，但到目前为止，好像还没遇到对大量特例成立，而最终结论不成立的例子，这也是不断鼓舞数学家追求完美、解决问题热情的一个重要原因。数学问题的解决，依赖于某些有效的方法或思想，通过这些方法或思想才能挖掘出问题所具有的本性，法国数学家让·迪多内说：“为了了解这些问题的真实性质（有时是十分隐蔽的），常常要打开全新的数学领域”。而新领域的创建来自新的数学概念的形成，“除了由于最初技术的完善而取得进展的少数问题之外，真正的进展大多是在深刻理解了被研究对象之后取得的，而这种深刻的
理解往往是将这些对象放在比较广阔的范围内时产生的”[11]。新学科分支的建立，为原有问题提供了更广阔的背景，费马大定理正是在更广阔的范围，代数数论、代数几何的领域内被解决的，成为20世纪最光辉的数学成就。
三 数学问题导致数学方法的创新
数学方法即人们从事数学活动所采用的方式与手段。数学问题的解答就是在原有或新建的概念系统中，用合乎普遍规则的方式或手段，对问题中的疑虑做出符合逻辑的解释。由此可见，数学方法是连接已知与未知的纽带和桥梁。数学研究的基本目标，就是通过寻求普适的原理与有效的方法，联结已知与未知，建立适于自然科学研究的一般结论与方法，并最终达到认识自然、改造自然的目的。
由于数学活动主要是一种思维活动，数学方法实际上就是对这种思维活动的合理、有效的归纳与总结，使之形成一种可操作的程式，即有明显层次与程序性的思维过程。人们在获得问题解答的同时，也希望获得有普遍意义的方法，如果问题的解答既不能获得新的概念，也得不到普适的方法，那么它就不是有价值的问题。
自欧几里得《几何原本》问世以来，基于公理化的演绎推理方法，一般被认为是数学严格性的典范。从而，古代数学中的几何学也被认为是严格数学而受到青睐。算术与代数尽管在公元250年前，经过阿基米德、阿波罗尼斯、托勒密、海伦、尼可马修斯、丢番图等的努力，已使之成为一门独立的学科得以发展，但同几何学相比仍然逊色许多。原因在于，它不像几何那样，是从公理演绎推出的，作为一门独立分支“竟无其自身的逻辑结构这种情况，就成为数学史上的一大问题”[12]，这个问题甚至一直延续到19世纪。由于上述原因，解析几何发明以前，很多代数问题都被西方数学家归为几何问题处理，“数形结合”更多的是以形代数，笛卡儿对此深感不安：欧几里得几何中每一证明，总是要求某种新的、往往是奇巧的想法[13]。这种过度抽象与依赖图形，将不利于创造力的发挥，他主张将代数与几何中最好的东西，相互取长补短，他相信代数具有更大的潜力，在他伟大想象力指引下，作为处理几何问题的普遍方法——解析几何终于问世，通常将解析几何看作是笛卡儿与费马的共同成果。恩格斯对此给予极高的评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分与积分也就立刻成为必要的了”[14]。事实上，数学也由此进入近代数学时期。解析几何是数形结合思想的最好体现，它的出现是笛卡儿科学方法论思想在数学中的表现，这在数学史上具有多种方法论意义，在此我们不一一阐述，可参见通常的数学史著作。
由问题导致方法创新的例子，在数学中俯拾皆是，微积分的产生是又一个经典例子。微积分是数学史，乃至人类历史上最伟大的发明，无论作为数学思想、数学理论还是数学方法，对整个数学的影响，都是长期、深远、多方面的，对数学的观念、内容、方法及整个数学理论的发展都具有深刻的影响。微积分的创立，首先是为了解决这样一批物理与数学问题，即求瞬时速度与加速度、切线（它来源于几何、光学、运动等
多个方面）、最大值最小值问题及求曲线长、面积、体积、重心。这类问题的一个共同特点是，每一个具体的时刻或特殊的位置，所要求的值（如速度、面积等）都不是常量，因而不能用经典的常量数学的方法去求解。这其中有些问题在古希腊时就被研究过，但成效不大。至17世纪，由于开普勒等人在天文学中的巨大成功，使科学家彻底放弃旧的理论与宗教理念，充分相信数学在自然科学研究中的重要性，同时，贸易、技术、航海、军事、物理等的发展，也迫切需要解决上述各种问题。因此，寻求这类问题的普遍解法成为应时之需，牛顿、莱布尼兹在技术上完成了关键的最后一步，创立了微积分。奇怪的是，微积分这样有效的方法，其基础却是含混不清的，为此，又花费了数学家200多年的时间。
数学科学的特殊性，使得考虑问题的方式也具有自身特质。对通常问题的数学化考虑，形成了数学的抽象化方法，它是数学的基本方法之一；对结论或理论的严格性、合理性考虑，就产生数学公理化方法；对具体问题的考虑，又会形成各种各样具体的数学方法，如代数方法、几何方法、分析方法、数学归纳法等等。数学不会停留在原有的概念或方法上，数学总是在不断提出新概念、创建新方法的过程中求得进一步的发展。
四 数学问题促进数学理论的完善
数学历来被认为是最严格的学科，从概念表述、定理证明，到内容组织、体系安排，无一不是按严格的逻辑规则给出。数学给人的印象就是定义、性质、定理的有序组合，极度抽象，远离现实。可令人惊异的是，这个抽象系统不断带来惊喜，其结论出奇地有效，经常能够不可思议地反映宇宙的运动规则。尽管数学体系严格按照逻辑的要求精心组织，以确保数学结论的绝对可靠，可从欧氏几何形成比较完整的系统以来，仍是问题不断，不时发现这样那样的漏洞，数学的地位也从古希腊时代的绝对真理（数学是宇宙的结构），下降为近代的相对真理（数学是世界的近似描述）与现在的模式真理（数学是关于模式结构形式的）[15]。即便如此，数学家仍孜孜不倦地追求严密，这似乎是数学家的天然职责，毕竟大多数数学还是严密有效的，只是数学家在发展概念、建立理论时更加小心翼翼，不时要问“何以如此？”许多数学问题盖出于此。这促使数学理论不断改进与完善。
数学中最奇怪的事，莫过于算术与代数的发展，这门学科居然毫无逻辑基础地发展了近两千年，更奇怪的是，最先从客观世界抽象出来的自然数，其逻辑框架却是最后（与其他数的理论相比）建立的。而且，如果不是17世纪微积分的发展，这种状况不知会延迟到何时。即使在古希腊文明衰退，包括中国、印度、阿拉伯等在内的东方数学（主要是代数）蓬勃发展的时候，也没有考虑过这样的问题，这一方面与东方数学注重实用不无关系，另一方面也与数概念的抽象与复杂有直接关系。“为数系和代数建立逻辑基础是一个非常困难的问题，远比17世纪数学家能体会到的要难”，19世纪分析的严密化不仅为微积分建立了严密的基础，也促成了数与代数逻辑基础的最终完善，这项工作到19世纪末才完成。问题可以促使数学严密化，但逻辑不能使得数学创新，过分地严谨有时还有碍于创新，许多数学家都持有这种观点。事实上，微积分
不是从欧几里得的严密思想中发展而来的，它只是建立在经验与不很审慎直观的基础上，时常还是先验思辨的基础上的[16]，但从严密性考虑，数学家按欧几里得留下的美好传统，仍在自觉地考虑微积分的逻辑基础，让数学家暂时忘掉“基础”的是17世纪下半叶及整个18世纪微积分的巨大成功，其算法的有效性掩盖了概念的模糊性，幸运的是，居然没出大问题。然而，经过一百多年的发展，到19世纪初，微积分已成了一个庞大的数学分支，由于初始概念不清，导致这个庞大的分支模糊概念丛生，缺乏逻辑的推理不断出现，这对追求理性与完美的数学家来说是不能容忍的，分析严密化正是在这样的背景下开始的。严密化不仅使分析的基础得以建立，也促使整个数学的基础逐步完善。
数学理论的无矛盾性是数学理论完善的一个基本要求，从欧几里得《几何原本》问世以来就是数学家考虑的首要问题。第五公设问题正是从理论的和谐性与完美性出发，对《原本》的质疑。由此开始了两千多年的探索，至19世纪非欧几何的发现。非欧几何产生以后，无矛盾性仍然成为其是否有立足之地的重要问题，最终，数学家通过“模型方法”，在欧氏几何中建立非欧几何的模型，证明了非欧几何的相对相容性。事实上，任一个形式系统的相容性都不能在其内部被证明。随后，黎曼几何的发现，更是从整体上表明，三角形内角和大于、等于、小于π的三种几何是一个和谐、完整的整体。
五 中国传统数学中的数学问题
中国传统数学的发展具有悠久的历史，从十进制记数法发明、商高定理（勾股定理）发现到欧几里得《几何原本》的传入，大约经历了近三千年的历史，这么悠久的历史在世界数学发展史上是少见的。顾今用（吴文俊）对中国古代数学在世界数学史上的地位作了客观的评价，特别是中国古代代数学有着极其辉煌的成就，“到宋元之世，已经具备了西欧17世纪发明微积分前夕的许多条件。不妨说我们已经接近了微积分的大门”，并认为：从世界数学发展的历史看，有两条路线，一条是从希腊欧几里得系统下来的，另一条是发源于中国，影响到印度，然后影响到世界的数学[17]。它表明，不仅希腊数学的演绎推理体系是近现代数学思想发展的源泉，中国数学的归纳算法体系也是其源泉之一，吴先生几何定理机械化证明的研究，在某种意义上说明了这种合理性。无论从局部地区数学的发展还是世界范围的发展看，几何与代数的发展总是交替前进、相互促进的。
现代数学发展的历史表明，数学发展的动力源于两个方面，即科学技术与数学自身的发展，前者是数学发展的外部动力，后者是数学发展的内在动力，这两个方面都会对数学提出大量问题，数学问题是这两种动力在数学中的具体表现形式，数学通过解决这些问题得以发展。如希尔伯特所说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题的缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止”[18]。近现代数学的发展正是在不断提出问题、解决问题的过程中飞速发展的。对数学自身的思考，使数学能够独立于自然科学而自由地发展。
回顾中国古代数学发展的历程，许多人都对近代数学未能在中国产生充满疑问。“这是世界科学发展的一个重大问题，也是世界数学发展史的一个很有意义的问题”[19]，许多学者都分析了其原因，如[19-24]。社会环境、文化传统、哲学思潮、科技生产、符号系统等都是制约其发展的重要原因，在此我们不再重复细论。我们认为，缺乏数学问题特别是对数学自身提出的问题，如对概念、原理、方法等合理性的深刻思考，是中国古代数学不能脱离具体生产生活实际成为一门独立发展学科的又一重要原因，当然，这种状况与上述各种原因有密切关系，外部环境也会制约对具体学科自身的思考。如波普尔所说，科学始于问题。无论数学按照什么方式，是希腊的演绎推理还是中国的归纳算法模式，都应有大量问题提出，才是其存在与发展的必要前提。中国古代数学未能深入发展的原因之一正是缺乏这样一种前提。
在中国古代数学研究中，几乎没有历史延续下来的数学问题。从问题的广义理解看，中国古代数学著作中几乎都是问题，被称为是“问题集”，但大多都是具体的、现实的问题，问题的表述几乎都用当时生产生活中的术语，或经直接改变后的语言，具有浓烈的生活气息。尽管对这些具体问题都能给出一般的解法，即所谓的“术”，而且还有很多高明的“术”，如李冶的“天元术”、朱世杰的“四元术”等，在当时世界数学中都具有领先地位，但总的来说，这些“术”只是技能性的，有的还带有一题多解的韵味。很少能从这些“术”中产生新的概念、原理，大多数数学家都是在给前辈数学家的著作作注中发展自己的“术”。能明确作为数学问题留给后人的，也许是刘徽作《九章算术》注时留下的“球体积计算问题”，有人称之为“刘徽猜想”[25]，他指出为求球积必须先求“牟合方盖”之积，给出了具体的求积思路，遗憾的是，因其“外ｑí＠①”形状复杂未能如愿。“欲陋形措意，惧失正理。敢不{图}疑，以俟能言者”。两个半世纪以后，由祖ｇèｎｇ＠②完全解决，导致“刘祖原理”发现，早于卡瓦列里原理一千多年。刘徽问题对体积计算的发展有一定影响。另外，π计算是又一个数学问题，圆的普遍认识与应用是导致π计算的重要原因，π计算一直可延续到现代，中国古代也早有π之近似值，到祖冲之计算至7位精确小数，非常不易。此后，国外又有各种形式的计算方法，但这些都已与我们无关。事实上，π的计算不是统粹计算的问题，涉及到算法与工具的发展，同时还有一定的“结构”问题，π的多种漂亮的级数表示，是近代计算得以进行的关键。中国古代数学中的有些内容，如果仔细思考、深入发展，也能成为现代数学的内容，如中国剩余定理在环论中推广后仍然有效[26]。历史表明，过分注重实用不利于数学的深入发展，缺乏问题同样不能促进它们进一步的发展。
数学往往从两个方向发展，自然科学各种问题的解决，给人类认识自然、预测并控制自然带来直接的效果；数学自身问题的解决，使数学向更纵深的领域发展，向人类思维的深度挑战，这两者相互作用、相得益彰。数学发展并不完全是数学知识系统内容的积累与丰富，也是数学观念系统认识的进步与深化。哥德尔不完备性定理在某种意义上告诉我们，这两种系统都是开放的，从而也在一定程度上表明，数学是一门可以不断深入发展的学科。
数学问题对数学发展的影响往往是多方面综合交叉的，这种影响有目共睹，正如让·迪多内所说：“如果说从16世纪以来数学以前所未有的速度持续不断地前进，那么首先应该归功于数学家从不间断地提出各种各样的问题”[27]。世纪交替之际，也有数学家试图提出21世纪的数学问题，但现代数学已今非昔比，没有一个数学家能像希尔伯特那样在所有分支中提出问题、法国克莱数学研究所组织包括维尔斯在内的世界顶尖数学家共同提出了七个世纪数学问题，每个悬奖100万美元，以鼓励数学家攀登高峰。然而，数学问题之广泛，已远远不是这些问题所能涵盖，世纪问题的意义在于让更多人深刻认识它们的重要性。正如维尔斯所说，没有为发明飞机、计算机悬奖，没有为兴建芝加哥城悬奖，但它们已是美国的一部分，这在17世纪是完全不可想象的[28]。新世纪的数学大门为所有有为者敞开，愿中国在其中占有一席之地
7、分析严格化
科学始于问题[1]，数学作为一门科学，同样具有这种特点。但与一般自然科学不同，数学作为研究纯粹量的形式关系（或称为模式关系）的一门学科，问题不仅来自客观世界，还依赖于自身的发展。数学发展到今天，其自我繁殖过程中产生的问题甚至还多于直接来自客观世界的问题。从而，数学问题对数学发展的影响也有其自身的特点，它表现为，数学问题的产生、解决与数学学科的发展的紧密的依赖关系，问题争论异常激烈之时，往往也是数学重大变革或重要发展之际，数学的变革与发展又会带来更多更有价值的问题。数学问题的价值不仅可以用“科学的重要性”（外部重要性）来衡量，同时也可用“数学的重要性”（内在重要性）[2]来鉴别，数学正是依赖于这些问题而生存与发展。按美国数学哲学家基切尔的观点，问题的提出与问题的解决都是数学发展的基本模式，就数学发展的纯粹模式而言，它遵循
附图{图}
这样一个无限循环的往复运动[3]。无怪乎数学家哈尔莫斯称：问题是数学的心脏[4]。
数学研究离不开问题。广义地说，未经证明的数学命题，以及为教学需要人为设置的问题都属于数学问题。这里所说的问题，主要指数学各分支中的一些基本的、经典的问题，以及这些学科中的一些专门问题，有些问题还被冠以“猜想”或“假设”，如著名的哥德巴赫猜想、黎曼假设等，它们往往表达清晰易懂，结论直观明显，证明极其困难。数学中充满了这类问题，并呈增长之势，这正是数学得以蓬勃发展的重要原因之一。
数学问题的解决，不仅促进数学的发展，也不断改变人类对客观世界的认识。一个好的数学问题，即具有科学重要性或数学重要性的问题，往往是对宇宙运动法则或人类认识观念的本质质疑。在某种程度上，它决定着数学发展的方向。因此，分析数学问题对数学发展的影响，将有助于认识数学问题的价值，使数学研究朝着有利于人类正确认识、改造客观世界的方向发展。数学问题对数学发展的影响是指围绕数学问题的提出、解决问题途径的探索，直至问题的最终解决所引起的数学观念、内容、方法，甚至整个数学体系
的变化。谁也不会忘记，19xx年，希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作的关于《数学问题》的演讲对整个20世纪数学发展产生的深远影响。
想要预见数学问题的价值有时是困难的，一般而言，对数学发展产生影响的问题都有一定价值。数学问题其价值的发现是一个动态的过程，需要在问题解决过程中不断挖掘，有时也会不断修改、更新、替换，甚至淘汰原有问题，重新获得真正有价值的问题。本文试图从数学观念的转变、数学概念的形成、数学方法的创新、数学理论的完善四个方面，分析数学问题对数学发展的影响，并简要论述中国古代数学中的数学问题，指出中国古代数学未能深入发展的一个重要原因是数学问题的匮乏。
一 数学问题影响数学观念的转变
数学观念即人们对数学及数学与客观世界关系的总的看法。数学，作为一门理性科学，自古希腊数学家开始发展以来，一直充满着危机与矛盾，原因在于思维的局限性，人类思维往往不足以完全反映客观世界的真实性，从而需要不断反思与深化，才能逐步认识其本来面目，正如罗马哲学家塞涅卡所说：“自然界不会一下子披露她所有的秘密”。数学中的危机与矛盾自然就形成一系列的数学问题，有些问题会直接与人们当时的数学观和哲学信念相悖，从而不断引起“智力悲剧”[5]。
数概念发展的历史恰好就是数学观念不断转变的一个例子。古希腊毕达哥拉斯学派认为宇宙是以数学方式设计的，在他们的观念中只有整数与整数比，这是他们用来解释自然的第一原则[6]，对数的痴迷导致他们“万物皆数”的哲学信条，认为（整）数是万物之本，一旦发现世间还有不可公度的线段就显得措手不及，无法接受，据传还把发现者投海处死。不可公度问题导致无理数的发现，最终打破了他们“万物皆数”的信条。这是数学史上第一次“不幸”，常被称为“第一次数学危机”。观念的影响根深蒂固，数学的发展总在揭示宇宙的真谛，新真理的发现大多不在人的意料之中，接受它需要时间的考验与观念的转变。如果说无理数的出现还有线段做参照，那么“虚数”的登场则有点“无所依托”。16世纪中叶，卡丹在解决分10为两部分，使其乘积为40时，解方程x(10-x)=40，求得两“数”为{图}，这两个怪“数”在当时，无论从逻辑上、形式上还是实际意义，都让人无法接受，但“不管会受到多大的良心责备”，总算还能将这两个“数”相乘得到40。当时最伟大的数学家笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、柯西、德·摩根，以及哈密尔顿等都曾排斥过它，从笛卡儿称之为“虚数”就可见一斑，欧拉也将它称为不可能的数。哈密尔顿正是为了复数问题的这种“玄奥之障”，才刻意发展了他的数偶理论，并由此创立四元数，开创非交换代数的新方向。然而，使数学家相信复数的不是逻辑，而是威塞尔、阿尔刚和高斯等人的几何表示[7]。高斯、哈密尔顿等的工作使代数与几何有可能建立真正的联系（点与数的一一对应），四元数因为放弃传统的数的交换性而被誉为是代数学的解放。观念转变是在探索中逐步产生的，一旦发生转变，数学将会取得革命性的发展。观念转变是数学产生重大突破的关键。欧氏几何第五公设问题的解决，同样也可表明这一点，如果不
是数学家放弃旧的数学观念，仍固守欧氏空间是现实空间唯一写照，非欧几何将永远无法诞生，现代数学也不会有今天这样的辉煌。
数学问题对数学观念转变的影响表现为：第一，问题的提出直接与原有的数学观念相抵触，如无理数的出现，这一般会遭到权威数学家严厉抵制，往往会延缓新概念诞生，影响数学发展进程，拒绝无理数也是希腊数学衰退的原因之一。尽管如此，真理仍会重视，观念终将改变；第二，转变体现在探索解决问题的途径中，如第五公设问题及将要论及的方程根式求解问题，都经历了成百上千年历程，才使数学家慢慢转变观念，让古老问题得以再生，并推动数学的发展；第三，这种影响伴随整个数学发展进程，在数学发展的许多重要时期，都可有这样的例子，如：至19xx年，随着算术、代数、几何及分析基础问题的解决，数学家本以为可在坚实的基础上稍事休息了，彭加勒甚至夸耀地称“绝对的严格已经达到了”，可两年后发现，数学赖以寄存的基础——集合论出现严重缺陷，集合论悖论问题，使数学家们惊恐万分，引来了所谓的基础讨论，并导致逻辑主义、形式主义、直觉主义等多种数学观的产生；又如，四色问题，它的解决也是对数学观念转变的一个考验。尽管到现在，对计算机证明是否算数仍没有一个非常明确的肯定，但计算机已悄悄深入到数学的许多领域，实验数学、机器证明正在悄然发展着，计算机的深入发展将会进一步影响数学观念的改变。
可以说，有价值的数学问题，总会带来有生命力的东西，也多少会影响数学观念的进步或转变。正像J.V.格拉比纳所说：“数学的发展有两种方式，不仅有逐步的积累，而且还有及时的革命”[8]，他这里的革命是指对数学真理看法的改变，亦即数学观念的变化。
二 数学问题诱导数学概念的形成
数学概念是数学理论思维的基本成果与数学理论体系的基本要素，它的形成与发展，是和整个数学或数学的某个分支的形成和发展同步进行的，数学基本概念的形成，标志着一门新的数学分支的诞生[9]。数学问题的解决一般不会是原有概念与方法的重复使用与简单叠加，总会伴随某种观念的更新与方法的重建，而这种更新与重建往往会诱导新的数学概念的产生，数学以这种方式，不断诞生新的数学概念，为数学家族增添新的成员。
方程求解问题是个古老的数学问题，尽管公元前两千年左右就已能解一般二次方程和特殊高次方程[10]，可到16世纪才刚刚获得三、四次方程的一般解法，前后相距三千多年，可见其艰难。更高次方程的根式求解，一直是代数学的中心问题，为许多著名数学家所探索，欧拉、拉格朗日、高斯等都为此付出过努力，直到19世纪才为两个年轻数学家阿贝尔和伽罗瓦解决，他们引入置换群、子群、正规子群、域等全新的概念，以致让他们同时代的数学家无法理解，但他们的成果及所引入的全新概念，对整个数学发展具有划时代的意义。由群、域等概念产生的代数结构思想影响数学发展近两个世纪，直至今日。代数学从阿贝尔、伽罗瓦时代起，其主要任务不再以解方程为中心，而成为一门研究各种代数系统的学科。可以说，方程根
式求解问题对数学发展的影响是数学史上最重大的影响之一。费马大定理，20世纪最伟大的数学成果之一，是数学问题诱导数学概念形成的另一个重要例子。表述简明的费马大定理困惑了人类智者350多年，原以为这个古老而孤立的数论问题仅是个智力游戏，但在探索解答过程中却创立了许多新概念，例如分圆整数、理想数、唯一分解、椭圆函数、模函数等，形成了代数数论、理想数理论等新的数学分支，希尔伯特称它为“会下金蛋的鹅”。类似地，华林问题与哥德巴赫问题都曾极大地推动解析数论的发展。
数学问题难以解答，一是缺乏有效的方法与技巧，无法把握解决问题的关键；其次不知问题同其他事物对象的关系，即不知它在整个结构（如果有的话）中的地位；另外，按哥德尔不完备性定理，也许恰好遇上无法判定正误的问题。对数学家有深深吸引力的，往往是那些对大量特殊情形均成立，或与多个数学问题的解决关系密切的问题，如前面提到的哥德巴赫猜想与黎曼假设。尽管存在不可判定的数学问题，但到目前为止，好像还没遇到对大量特例成立，而最终结论不成立的例子，这也是不断鼓舞数学家追求完美、解决问题热情的一个重要原因。数学问题的解决，依赖于某些有效的方法或思想，通过这些方法或思想才能挖掘出问题所具有的本性，法国数学家让·迪多内说：“为了了解这些问题的真实性质（有时是十分隐蔽的），常常要打开全新的数学领域”。而新领域的创建来自新的数学概念的形成，“除了由于最初技术的完善而取得进展的少数问题之外，真正的进展大多是在深刻理解了被研究对象之后取得的，而这种深刻的理解往往是将这些对象放在比较广阔的范围内时产生的”[11]。新学科分支的建立，为原有问题提供了更广阔的背景，费马大定理正是在更广阔的范围，代数数论、代数几何的领域内被解决的，成为20世纪最光辉的数学成就。
三 数学问题导致数学方法的创新
数学方法即人们从事数学活动所采用的方式与手段。数学问题的解答就是在原有或新建的概念系统中，用合乎普遍规则的方式或手段，对问题中的疑虑做出符合逻辑的解释。由此可见，数学方法是连接已知与未知的纽带和桥梁。数学研究的基本目标，就是通过寻求普适的原理与有效的方法，联结已知与未知，建立适于自然科学研究的一般结论与方法，并最终达到认识自然、改造自然的目的。
由于数学活动主要是一种思维活动，数学方法实际上就是对这种思维活动的合理、有效的归纳与总结，使之形成一种可操作的程式，即有明显层次与程序性的思维过程。人们在获得问题解答的同时，也希望获得有普遍意义的方法，如果问题的解答既不能获得新的概念，也得不到普适的方法，那么它就不是有价值的问题。
自欧几里得《几何原本》问世以来，基于公理化的演绎推理方法，一般被认为是数学严格性的典范。从而，古代数学中的几何学也被认为是严格数学而受到青睐。算术与代数尽管在公元250年前，经过阿基米德、阿波罗尼斯、托勒密、海伦、尼可马修斯、丢番图等的努力，已使之成为一门独立的学科得以发展，但同几何学相比仍然逊色许多。原因在于，它不像几何那样，是从公理演绎推出的，作为一门独立分支“竟无
其自身的逻辑结构这种情况，就成为数学史上的一大问题”[12]，这个问题甚至一直延续到19世纪。由于上述原因，解析几何发明以前，很多代数问题都被西方数学家归为几何问题处理，“数形结合”更多的是以形代数，笛卡儿对此深感不安：欧几里得几何中每一证明，总是要求某种新的、往往是奇巧的想法[13]。这种过度抽象与依赖图形，将不利于创造力的发挥，他主张将代数与几何中最好的东西，相互取长补短，他相信代数具有更大的潜力，在他伟大想象力指引下，作为处理几何问题的普遍方法——解析几何终于问世，通常将解析几何看作是笛卡儿与费马的共同成果。恩格斯对此给予极高的评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分与积分也就立刻成为必要的了”[14]。事实上，数学也由此进入近代数学时期。解析几何是数形结合思想的最好体现，它的出现是笛卡儿科学方法论思想在数学中的表现，这在数学史上具有多种方法论意义，在此我们不一一阐述，可参见通常的数学史著作。
由问题导致方法创新的例子，在数学中俯拾皆是，微积分的产生是又一个经典例子。微积分是数学史，乃至人类历史上最伟大的发明，无论作为数学思想、数学理论还是数学方法，对整个数学的影响，都是长期、深远、多方面的，对数学的观念、内容、方法及整个数学理论的发展都具有深刻的影响。微积分的创立，首先是为了解决这样一批物理与数学问题，即求瞬时速度与加速度、切线（它来源于几何、光学、运动等多个方面）、最大值最小值问题及求曲线长、面积、体积、重心。这类问题的一个共同特点是，每一个具体的时刻或特殊的位置，所要求的值（如速度、面积等）都不是常量，因而不能用经典的常量数学的方法去求解。这其中有些问题在古希腊时就被研究过，但成效不大。至17世纪，由于开普勒等人在天文学中的巨大成功，使科学家彻底放弃旧的理论与宗教理念，充分相信数学在自然科学研究中的重要性，同时，贸易、技术、航海、军事、物理等的发展，也迫切需要解决上述各种问题。因此，寻求这类问题的普遍解法成为应时之需，牛顿、莱布尼兹在技术上完成了关键的最后一步，创立了微积分。奇怪的是，微积分这样有效的方法，其基础却是含混不清的，为此，又花费了数学家200多年的时间。
数学科学的特殊性，使得考虑问题的方式也具有自身特质。对通常问题的数学化考虑，形成了数学的抽象化方法，它是数学的基本方法之一；对结论或理论的严格性、合理性考虑，就产生数学公理化方法；对具体问题的考虑，又会形成各种各样具体的数学方法，如代数方法、几何方法、分析方法、数学归纳法等等。数学不会停留在原有的概念或方法上，数学总是在不断提出新概念、创建新方法的过程中求得进一步的发展。
四 数学问题促进数学理论的完善
数学历来被认为是最严格的学科，从概念表述、定理证明，到内容组织、体系安排，无一不是按严格的逻辑规则给出。数学给人的印象就是定义、性质、定理的有序组合，极度抽象，远离现实。可令人惊异的是，这个抽象系统不断带来惊喜，其结论出奇地有效，经常能够不可思议地反映宇宙的运动规则。尽管数学体
系严格按照逻辑的要求精心组织，以确保数学结论的绝对可靠，可从欧氏几何形成比较完整的系统以来，仍是问题不断，不时发现这样那样的漏洞，数学的地位也从古希腊时代的绝对真理（数学是宇宙的结构），下降为近代的相对真理（数学是世界的近似描述）与现在的模式真理（数学是关于模式结构形式的）[15]。即便如此，数学家仍孜孜不倦地追求严密，这似乎是数学家的天然职责，毕竟大多数数学还是严密有效的，只是数学家在发展概念、建立理论时更加小心翼翼，不时要问“何以如此？”许多数学问题盖出于此。这促使数学理论不断改进与完善。
数学中最奇怪的事，莫过于算术与代数的发展，这门学科居然毫无逻辑基础地发展了近两千年，更奇怪的是，最先从客观世界抽象出来的自然数，其逻辑框架却是最后（与其他数的理论相比）建立的。而且，如果不是17世纪微积分的发展，这种状况不知会延迟到何时。即使在古希腊文明衰退，包括中国、印度、阿拉伯等在内的东方数学（主要是代数）蓬勃发展的时候，也没有考虑过这样的问题，这一方面与东方数学注重实用不无关系，另一方面也与数概念的抽象与复杂有直接关系。“为数系和代数建立逻辑基础是一个非常困难的问题，远比17世纪数学家能体会到的要难”，19世纪分析的严密化不仅为微积分建立了严密的基础，也促成了数与代数逻辑基础的最终完善，这项工作到19世纪末才完成。问题可以促使数学严密化，但逻辑不能使得数学创新，过分地严谨有时还有碍于创新，许多数学家都持有这种观点。事实上，微积分不是从欧几里得的严密思想中发展而来的，它只是建立在经验与不很审慎直观的基础上，时常还是先验思辨的基础上的[16]，但从严密性考虑，数学家按欧几里得留下的美好传统，仍在自觉地考虑微积分的逻辑基础，让数学家暂时忘掉“基础”的是17世纪下半叶及整个18世纪微积分的巨大成功，其算法的有效性掩盖了概念的模糊性，幸运的是，居然没出大问题。然而，经过一百多年的发展，到19世纪初，微积分已成了一个庞大的数学分支，由于初始概念不清，导致这个庞大的分支模糊概念丛生，缺乏逻辑的推理不断出现，这对追求理性与完美的数学家来说是不能容忍的，分析严密化正是在这样的背景下开始的。严密化不仅使分析的基础得以建立，也促使整个数学的基础逐步完善。
数学理论的无矛盾性是数学理论完善的一个基本要求，从欧几里得《几何原本》问世以来就是数学家考虑的首要问题。第五公设问题正是从理论的和谐性与完美性出发，对《原本》的质疑。由此开始了两千多年的探索，至19世纪非欧几何的发现。非欧几何产生以后，无矛盾性仍然成为其是否有立足之地的重要问题，最终，数学家通过“模型方法”，在欧氏几何中建立非欧几何的模型，证明了非欧几何的相对相容性。事实上，任一个形式系统的相容性都不能在其内部被证明。随后，黎曼几何的发现，更是从整体上表明，三角形内角和大于、等于、小于π的三种几何是一个和谐、完整的整体。
五 中国传统数学中的数学问题
中国传统数学的发展具有悠久的历史，从十进制记数法发明、商高定理（勾股定理）发现到欧几里得《几何原本》的传入，大约经历了近三千年的历史，这么悠久的历史在世界数学发展史上是少见的。顾今用（吴
文俊）对中国古代数学在世界数学史上的地位作了客观的评价，特别是中国古代代数学有着极其辉煌的成就，“到宋元之世，已经具备了西欧17世纪发明微积分前夕的许多条件。不妨说我们已经接近了微积分的大门”，并认为：从世界数学发展的历史看，有两条路线，一条是从希腊欧几里得系统下来的，另一条是发源于中国，影响到印度，然后影响到世界的数学[17]。它表明，不仅希腊数学的演绎推理体系是近现代数学思想发展的源泉，中国数学的归纳算法体系也是其源泉之一，吴先生几何定理机械化证明的研究，在某种意义上说明了这种合理性。无论从局部地区数学的发展还是世界范围的发展看，几何与代数的发展总是交替前进、相互促进的。
现代数学发展的历史表明，数学发展的动力源于两个方面，即科学技术与数学自身的发展，前者是数学发展的外部动力，后者是数学发展的内在动力，这两个方面都会对数学提出大量问题，数学问题是这两种动力在数学中的具体表现形式，数学通过解决这些问题得以发展。如希尔伯特所说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题的缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止”[18]。近现代数学的发展正是在不断提出问题、解决问题的过程中飞速发展的。对数学自身的思考，使数学能够独立于自然科学而自由地发展。
回顾中国古代数学发展的历程，许多人都对近代数学未能在中国产生充满疑问。“这是世界科学发展的一个重大问题，也是世界数学发展史的一个很有意义的问题”[19]，许多学者都分析了其原因，如[19-24]。社会环境、文化传统、哲学思潮、科技生产、符号系统等都是制约其发展的重要原因，在此我们不再重复细论。我们认为，缺乏数学问题特别是对数学自身提出的问题，如对概念、原理、方法等合理性的深刻思考，是中国古代数学不能脱离具体生产生活实际成为一门独立发展学科的又一重要原因，当然，这种状况与上述各种原因有密切关系，外部环境也会制约对具体学科自身的思考。如波普尔所说，科学始于问题。无论数学按照什么方式，是希腊的演绎推理还是中国的归纳算法模式，都应有大量问题提出，才是其存在与发展的必要前提。中国古代数学未能深入发展的原因之一正是缺乏这样一种前提。
在中国古代数学研究中，几乎没有历史延续下来的数学问题。从问题的广义理解看，中国古代数学著作中几乎都是问题，被称为是“问题集”，但大多都是具体的、现实的问题，问题的表述几乎都用当时生产生活中的术语，或经直接改变后的语言，具有浓烈的生活气息。尽管对这些具体问题都能给出一般的解法，即所谓的“术”，而且还有很多高明的“术”，如李冶的“天元术”、朱世杰的“四元术”等，在当时世界数学中都具有领先地位，但总的来说，这些“术”只是技能性的，有的还带有一题多解的韵味。很少能从这些“术”中产生新的概念、原理，大多数数学家都是在给前辈数学家的著作作注中发展自己的“术”。能明确作为数学问题留给后人的，也许是刘徽作《九章算术》注时留下的“球体积计算问题”，有人称之为“刘徽猜想”[25]，他指出为求球积必须先求“牟合方盖”之积，给出了具体的求积思路，遗憾的是，因其“外ｑí＠①”形状复杂未能如愿。“欲陋形措意，惧失正理。敢不{图}疑，以俟能言者”。两个半世
纪以后，由祖ｇèｎｇ＠②完全解决，导致“刘祖原理”发现，早于卡瓦列里原理一千多年。刘徽问题对体积计算的发展有一定影响。另外，π计算是又一个数学问题，圆的普遍认识与应用是导致π计算的重要原因，π计算一直可延续到现代，中国古代也早有π之近似值，到祖冲之计算至7位精确小数，非常不易。此后，国外又有各种形式的计算方法，但这些都已与我们无关。事实上，π的计算不是统粹计算的问题，涉及到算法与工具的发展，同时还有一定的“结构”问题，π的多种漂亮的级数表示，是近代计算得以进行的关键。中国古代数学中的有些内容，如果仔细思考、深入发展，也能成为现代数学的内容，如中国剩余定理在环论中推广后仍然有效[26]。历史表明，过分注重实用不利于数学的深入发展，缺乏问题同样不能促进它们进一步的发展。
数学往往从两个方向发展，自然科学各种问题的解决，给人类认识自然、预测并控制自然带来直接的效果；数学自身问题的解决，使数学向更纵深的领域发展，向人类思维的深度挑战，这两者相互作用、相得益彰。数学发展并不完全是数学知识系统内容的积累与丰富，也是数学观念系统认识的进步与深化。哥德尔不完备性定理在某种意义上告诉我们，这两种系统都是开放的，从而也在一定程度上表明，数学是一门可以不断深入发展的学科。
数学问题对数学发展的影响往往是多方面综合交叉的，这种影响有目共睹，正如让·迪多内所说：“如果说从16世纪以来数学以前所未有的速度持续不断地前进，那么首先应该归功于数学家从不间断地提出各种各样的问题”[27]。世纪交替之际，也有数学家试图提出21世纪的数学问题，但现代数学已今非昔比，没有一个数学家能像希尔伯特那样在所有分支中提出问题、法国克莱数学研究所组织包括维尔斯在内的世界顶尖数学家共同提出了七个世纪数学问题，每个悬奖100万美元，以鼓励数学家攀登高峰。然而，数学问题之广泛，已远远不是这些问题所能涵盖，世纪问题的意义在于让更多人深刻认识它们的重要性。正如维尔斯所说，没有为发明飞机、计算机悬奖，没有为兴建芝加哥城悬奖，但它们已是美国的一部分，这在17世纪是完全不可想象的[28]。新世纪的数学大门为所有有为者敞开，愿中国在其中占有一席之地