一元微积分 及 答案
一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）
1．设
，则
的间断点为 。
答案：
2．设
，则
= 。
答案：
3．设
存在，则
。
答案：
4．设方程
确定
是
的函数，其中
可导，则
。
答案：
5．设
是正整数，则 
。
答案：
6．设函数
由参数方程
，
给出，其中
，则曲线在
,
点的切线方程是 。
答案：
7．设
，则
。
答案：
8．
。
答案：
9． 函数 
当
时的渐近线为 。
答案：
10．
。
答案：1
11．
。
答案：1
12．
时，
。
答案：
13．设
，则 ；
。
答案：
14．函数
的单调增区间为 。
答案：
二．计算题（每题8分，共5题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）
1．
，求
。
解：
…………………………………..…….4分
…….4分
2．设在
点可导，且
．计算 
。
解：令
，记 
，则 
；
法一：
（但是必须要求 
）…………………………….8分
法二：
，
而 
，（或用L’Hospital）
所以 
．
3．若
(1) 当
取何值
连续？
(2) 计算 到3阶的带peano余项的Taylor公式。
解：（1）
当 
时连续。……………………………….………………………….4分
（2）
…………….4分
4．求常数的值，使不等式
对于任何都成立。
解：记
，则在
内为连续函数。
当
时，
。
记
，则
。
所以
。单调下降。
当
时，
；
当
时，
。
故当时，原不等式成立。
5．设
，
求
。
解：
…………………………….2分
………………………………….2分
而
，……………………………….2分
。…………………………….2分
三．证明题（请写出详细的证明过程！）
1．（7分）设
，证明
。
证明：要证明
。
记
，
，…………………………….2分
，
，………………………………………….2分
，
时。……………………………………………2分
所以
。…………………………………………..1分
2．（8分）已知
，
，利用泰勒展开证明：
(1) 若
，且其最大最小值都在
内部取得，则
；
(2) 若
，则
。
证明：（1）设在
分别取到最小、最大值，则是函数的极值点，
…………………………………….2分
令
，
。同理可证，
，所以。……….2分
（2）由（1），。
若
，则令，
；……………………………….2分
若
，则令，。…………………………………2分
因此。
同理可证，
，所以。
第二篇：微积分2习题答案
一、填空题
1．设
是
的多项式，且
，
，则
2．
↑
3．
4．设
，则有
，
4，－2
5．设
，则
2
6．
7．函数
的间断点是 
8．为使函数
在点
处连续，应补充定义
1
9．设函数
在处连续，则参数
10．函数
在点处连续，则 2
二、单项选择题
1．设
，且
存在，则 ②
①
②
③
④
2．极限
③
①
②
③不存在 ④
3．
④
①
； ②
； ③
； ④
4．
的连续区间是__________________ ②
①
②
③
④
5．函数
的不连续点有 ③
①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上
6．下列函数中，.当
时，与无穷小量相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，②
①
②
③
④
7．当
时，
与
相比是 ②
①高阶无穷小量 ②低阶无穷小量
③同阶但不等价的无穷小量 ④等价无穷小量
8．当时，
与
相比是 ②
①高阶无穷小量 ②同阶但不等价的无穷小量
③低阶无穷小量 ④等价无穷小量
9．设
为连续函数，则k =_______________ ②
① 1 ② －3 ③ 0 ④ 3
10．函数
在点
处有定义是当
时极限存在的 ④
①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件
③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件
11．当时，下列函数中比高阶的无穷小量是 ②
①
②
③
④
12．当时，下列函数中为无穷小量的是 ②
①
②
③
④
13．当
时，下列函数中为无穷小量的是 ③
① ② ③ ④
14．设在某个极限过程中函数与
均是无穷大量，则下列函数中哪一个也必是无穷大量 ③
① 
② 
③ 
④ 
15．设
，
，
，则函数在点处连续的充分必要条件是 ④
①
②
③
④
16．是
的 ④
①连续点 ②跳跃间断点 ③可去间断点 ④无穷间断点
三、求下列极限
1．
2．
3．
4．
5．
（
）
6．
[解] 记
因为 
即 
，由于
，所以由夹逼定理，得
7．设
，求
[解] 原式左端
（
）
由于极限存在，故。
，
四、分析题
1．讨论极限
[解] 因为
，
，故原极限不存在。
2．求
的间断点，并判别间断点的类型。
[解] 因为
，而
，
因此有间断点：为可去间断点，
为无穷间断点。.
3．求函数
的连续区间，若有间断点，试指出间断点的类型。
[解] 函数的连续区间为
，点为函数的第二类无穷间断点。
4．讨论函数
的连续性。
[解] 
在点处没有定义，是间断点，故
的连续区间为
，点为的第二类无穷间断点。
5．讨论函数
在点处的连续性。
[解] 
，
∴ 在点处连续性。
6．设函数
（
）
（1）当
取何值时，点是函数的间断点？是何种间断点？
（2）当取何值时，函数在
上连续？为什么？
[解]（1）在点处，
，
，
当且
时，由于
，所以点是的跳跃间断点。
（2）当
时，由于
，则在点处连续。
又因为在
或
上，为初等函数，所以连续。
故当时，函数在上连续。
7．设函数
（1）求函数的定义域；
（2）讨论函数在点处的极限是否存在？为什么？
（3）为何值时，函数在点处连续？并求函数的连续区间；
（4）画出函数
的图形。
[解]（1）
（2）因为
，
，所以
不存在
（3）在点处，
，
，
，
所以，当时，
，即函数在点处连续。
此时，的连续区间为：
（4）略
五、证明题
1．证明方程
在区间
内至少有一个实根。
[证] 设
，在
上连续，
又
，
，由零点定理知，在
内至少存在一点
，使得
，即
，故方程在区间内至少有一个实根。
2．证明：方程
（
）至少有一个正根。
[证] 设
因为
，
故由零点定理知，
，使得，所以方程至少有一正根。
3．证明方程
（）至少有一个正根，并且不超过
。
[证] 设
，下面分两种情形来讨论：
情形1 若 
，则因为，故是方程（）的正根，并且不超过。
情形2 若
，则因，故
，
，又因在
上连续，故由零点定理知，
，使得，因此
是方程（）的正根，并且不超过。
4．设
为正整数，函数在
上连续，且
，证明存在数
，使得
。
[证] 若
，即
，取
，
，结论成立。
若
，作辅助函数
，易知
在
上连续，因为
则个实数
全部为零或同时有正数与负数，
（1）若这些数全部为零，即
，则结论成立。
（2）若这些数中有正数与负数，即有某个
于是由零点定理可知，在
与
之间存在一点（显然），使得
，即 ###