浅谈微积分的课堂教学 

陕西咸阳中学    董红兵

课本微积分的内容包括导数和定积分的概念以及它们在实际问题和数学问题中的应用，课本通过大量实例，首先分析生活中常见的变化快慢问题的数学本质就是函数的变化率问题，然后揭示了平均变化率与瞬时变化率的内在关系，进而给出导数概念和它的几何意义，对于定积分概念，课本通过分析一些来自不同背景的问题的思考过程，如曲边梯形面积问题、变速直线运动的路程问题、变力做功问题等，然后揭示出解决些问题过程中的数学本质，从而给出定积分的概念。

课本的导向是既要运用导数和积分中的基本知识和结论解决一些简单的问题，同时能够用形成这些概念过程中的思想方法来分析和解决一些问题。

引导学生阅读材料“数学史上的里程碑------微积分”，让学生了解微积分对于人类文明史的意义，感悟到为微积分的发展而作出突出贡献的科学巨人们的独特魅力

“学数学而不做题，犹如入宝山而空手归”（华罗庚先生语），可以通过随堂巩固的练习，课后作业的习题和单元总结阶段进行整体复习和检测自我学习状况的复习题。让学生体会微积分，应用微积分。

在教学过程中通过一些司空见惯的如“速度”“密度”“面积”等概念用极限思想进行的研究和取得的对它们的新认识，体会到数学思想方法在人类认识世界过程中的重要性和产生的力量，体会到科学探究的永无止境，从而激发学生的好厅心。通过求速度等问题抽象成一般函数的变化率问题、求面积问题抽象为定积分的概念的过程，让学生认识到数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生发自内心的欣赏情感。

中学学习微积分并不是要学习以严格的极限的形式化定义为基础的微积分的学科体系，而是定位为体会导数概念解决的问题，从中领会微积分简单而朴素的思想，这是微积分的本质；理解导数的基本思想和应用微积分方法解决一些简单问题与形成微积分的学科体系是不同的。

在教学设计上，我们通过对大量具体问题的分析，动手实践活动让学生理解基本概念，体会逼近的过程，感受逼近的思想，经历导数概念建立的过程，理解微积分的基本思想。教学中可以借助于信息技术。特别提示这些过程中蕴涵着微积分思想的精髓，可能花费比较多的时间，但是从长远来看，对于理解概念的本质和促进三维目标的同步发展是值得的。这里我们倡导学生自主学习。

微积分，被恩格斯称为“人类精神上的最高胜利”。首先表现在微积分方法一经提出，就产生了巨大作用，一些过去困扰实践和科学研究、只有少数大数学家潜心研究通过特殊方法才能解决的诸多问题，如求速度问题、曲线斜率问题在、面积问题等，一个接受过微积分基本训练的学生便能轻松解决，从中学生体会到用微积分方法处理中学数学中的一些问题的简便，如：函数的单调性研究、最大（小）值问题、最优化问题、求面积等，使学生感受微积分方法的有效性和一般性。从学生个体来说，通过对蕴涵于知识形成过程中的这些思想方法的领会，可以开阔数学视野，发现世界内部的和谐，提高数学思维能力。

数学家胡塞尔说：“数学的美在于其实用性”，教材P35例5探究，

例1                     函数y=2x³在点（1，2）处的切线y=6x-4与曲线y=2x³有几个公共点？

      解：由  y=6x-4

              y=2x³     得2x³-6x-4=0 解得x=1或x=-2

          所以，直线 y=6x-4与函数y=2x³的图象相交于（1，2）和（-2，-16）

由此，启发学生，这里的切线与初中所学的圆的切线一样吗？

深思达成共识：

（1）曲线的切线不再是“圆的切线”的定义。

（2）曲线的切线定义是借助极限来完成的，它揭示了曲线的一个局部的性质：切线和曲线在P点的附近只有一个交点，而没有描述在远离P点的地方切线与曲线的交点情况。

让学生做课本的主人，在教学中只有“深入”才能“浅出”，提倡开发一些学生身边的实例，比如身高在某一瞬间的增长速度、雨后春笋的生长速度、化学反应速度等。这些例子可能难以进行细致的数量化研究，但是对于发展学生的导数意识，认识到导数在身边的广泛存在性将会具有非常重要的作用，信手拈来的教学资源是最好的资源。

例2                     某圆柱形容器的底面直径为，深度为，盛满液体后以的流量放出，求液面高度的变化率。

     解：设液体放出t s后的液面高度为h m。

          则由题意，得  

              解得    

          所以液面高度的变化率为

数学与物理

例3                     如图,质点在半径为的圆上沿逆时针方向作匀速运动,角速度为,设为起始点,求时刻时,点在轴上的射影点的速度

分析:  要求时刻时M点的速度,首先要求出点M在轴上的运动方程,它是关于 的函数,再对求导,就可得M点的速度.

解:   

     

即时刻时,点P在轴上的射影点M的速度为

通过微积分的学习使学生学会数学思考的一种方式, 微积分来源于生活，服务人类，并为人类的生存而丰富多彩.

第二篇：浅谈微积分

微积分

微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具。

什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念

如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。

牛顿在16xx年x月20目的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 - 16xx年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱布尼茨公式。牛顿是那个时代的科学巨人。在他之前，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律--航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞生是必然的。

德国数学家莱布尼茨使微积分更加简洁和准确，他从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是池们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一筹，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。

如果说牛顿从力学导致 “ 流数术 ” ，那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分法。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。

不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的

创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。

其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早xx年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从16xx年始延续了一百多年。

应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。

直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、??

欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是

局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在发展着。在黎曼将柯西的积分含义扩展之后，勒贝格又引进了测度的概念，进一步将黎曼积分的含义扩展。前苏联著名数学大师舍盖·索伯列夫为了确定偏微分方程解的存在性和唯一性，建立了广义函数和广义导数的概念。这一概念的引入不仅赋予微分方程的解以新的含义，更重要的是，它使得泛函分析等数学工具得以应用到微分方程理论中，从而开辟了微分方程理论的新天地。

中国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域，便是利用微积分的理论来研究几何，这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥着巨大的作用，并且这门学科至今仍然很活跃。

微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高级、由不全面到比较全面地发展。人类对自然的探索永远不会有终点。

第三篇：高等数学微积分总结

                                积   分

   整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识.

   一、不定积分

   不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等)

  二、定积分

  1.定义式:

  2.定义域:一维区间,例如

  3.性质:见课本P₂₂₉-P₂₃₂

    特殊:若,则,即区间长度.

  4.积分技巧:奇偶对称性.

   注意:定积分中积分变量可以任意替换即,而不定积分不具有这种性质.

  5.积分方法:与不定积分的方法相同.

  6.几何应用:

   定积分的几何意义: 表示以为顶与轴所夹区域面积的代数和(注意如,则面积为负);

   其他应用:如表示截面积,则积分为体积;平面弧长等.

   三、二重积分

   1.定义式:

   2.定义域:二维平面区域

   3.性质:见下册课本P₇₇ 

特殊: 若,则,即为的面积.

4.坐标系:

 ①直角坐标系:型区域,型区域

②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉,积分时一般先确定的范围,再确定的范围.

5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心;

6.几何应用:

二重积分的几何意义:若,则表示以为顶以为底的曲顶柱体体积;

其他应用:求曲面的面积

四、三重积分

1.定义式

2.定义域:三维空间区域;

3.性质:与二重积分类似;

  特殊: 若,则,其中表示的体积.

4.坐标系:

 ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面                             

积易求时采用)

     ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用;

     ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先,后,最后                                     

.

     5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等.

     6.应用: 表示密度,则为物体质量.(不考虑几何意义)

五、第一类曲线积分

1.定义式:(二维)  (三维)

2.定义域:平面曲线弧   空间曲线弧

3.性质:见课本P₁₂₈

  特殊: 则,表示曲线弧长.

4.计算公式(二维为例):

   

类似可推出的公式.注意化为定积分时下限小于上限.

5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心;

6.几何应用:见上3.

六、第二类曲线积分

1.定义式: (二维)

(三维)

2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维)

3.性质:见课本P₁₃₅

4.计算公式:

注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点.

5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关.

不能使用奇偶对称性.

6.应用:力做功.

七、第一类曲面积分

1.定义式:

2.定义域:空间曲面

  注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例.

3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似

  特殊: 则,表示曲线面积.

4.计算公式:类似可得在另两个曲面上的投影公式.

  注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标.

5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心.

6.几何应用:见上3.

八、第二类曲面积分

1.定义式

2.定义域:有向空间曲面

3.性质:见课本P₁₆₂

4.计算公式: ,类似可得另两个.

5.积分技巧:高斯公式,循环对称性.不能使用奇偶对称性.

注:要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目,使用时要注意曲面方向以及是否封

闭.

6.应用:求流量,磁通量等.

奇偶对称性:

定积分:若积分区间关于原点对称,例如 

若关于为奇函数,则

若关于为偶函数,则

    二重积分:若积分区域关于轴对称,记为的部分

若关于为奇函数,则

若关于为偶函数,则

同样可以得到积分区域关于轴对称时, 关于为奇、偶函数的公式.

三重积分: 若积分区域关于面对称,记为的部分

若关于为奇函数,则

若关于为偶函数,则

同样可以得到区域关于另两个曲面对称的情况.

例题:P₁₂₃#1(1)(2) P₁₂₄#2(4)

第一类曲线积分:若积分曲线关于轴对称,记为的部分

若关于为奇函数:

若关于为偶函数:

同样可以得到曲线关于轴对称的情况.

   第一类曲面积分:若积分曲面关于面对称,记为的部分,

若关于为奇函数:

若关于为偶函数:

同样可以得到曲面关于另两个坐标面对称的情况.

例题:课本P₁₅₈#6(3),P₁₈₄#2

变量对称性:一般在做重积分、曲面积分时使用，

 使用时要注意曲面或区域必须是关于变量是对称的,即对于曲面方程自变量相互替换后方程不改变,例如等,此时

    例题1:其中为球面被平面所截的曲线.

例题2: 其中为球面

   循环对称性(适用第二类曲面积分):若积分曲面满足变量对称,而且中依次替换,即后积分表达式不改变,则可以使用该对称性,有

例题:课本168页#3(4)

   质心:适用重积分,第一类积分.

  请同学们思考如何区别各种积分?(定义域)

  区别:以下两个例题应该怎样算?

,

其中