数学归纳法在证明等式中的应用的教学设计

教材分析： 数学归纳法是一种关于正整数命题的直接证法，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程。本节课主要研究数学归纳法证明等式成立问题。

学清分析： 学生已经具备一定的推理证明和逻辑思维能力，但在理解和应用数学归纳法时，尤其是学生的答题规范性和和解决问题的目标性还有待加强。

教学目标： 进一步巩固数学归纳法原理，能用数学归纳法证明等式成立。培养学生严谨的逻辑思维能力。

教学重点： 用数学归纳法证明等式成立。

教学难点： 数学归纳法递推步的推证过程。

教学方法： 讲授法。

教具准备： 课件与多媒体。

教学过程：

一、复习回顾

数学归纳法步骤：

①归纳奠基：证明n当取第一个值n₀时命题成立；

②归纳递推：假设n＝k，(k∈N^*，k≥n₀)时，命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；

由①②得出结论成立．

二、应用讲解。

用数学归纳法证明：

当时，．

证明：（1）当时，左边=，右边=，结论成立．

（2）假设时，结论成立，即，

那么当n=k+1时

左边=   =右边．

所以当时，命题也成立．

根据（1）和（2），可知结论当时都成立．

首先我们通过这个例题引出“两个意识”。

1. 规范意识：两个步骤一个结论，缺一不可。即严格按照“初始步，递推步和一个结论”的流程去操作。

2. 目标意识：在递推步中从“n=k”到“n=k+1”推证过程中，应该让学生明白我们的目标等式是什么？应该怎样去推导？这就要求我们利用假设条件，并结合通分，因式分解等变形技巧“凑”出目标等式。

其次我们给出三个练习题来加深对数学归纳法的理解和掌握。

1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n₀ 等于------------

练习一 主要让学生知道“初始步”中n₀的验证不一定是1

2．利用数学归纳法证明等式1＋＋＋…＋ = f(n)(n≥2，n∈N^*)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了-------项。

练习二 主要让学生知道如何利用“假设n=k时，命题成立”这个条件。要观察异同点，认清起止项。

3. 用数学归纳法证明：

当n∈N^*时，＋＋…＋＝.

证明:　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边=＝，左边＝右边，所以等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N^*且k≥1)时等式成立，即有

＋＋…＋＝，

则当n＝k＋1时，

＋＋…＋＋

＝＋＝

＝＝＝，

所以当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，对一切n∈N^*等式都成立．

练习三 主要是让学生能利用我们的归纳总结顺利熟练的给出证明，加深对数学归纳法的理解。

三、小结

1. 两个意识：

   规范意识，目标意识。

2. 两步一结论

   递推基础不可少；

   归纳假设要用到；

   结论写明莫忘掉。

四．作业

  课本96页A组第1题。

第二篇：数学归纳法在高考中的应用

数学归纳法在高考中的应用

学归纳法是用于证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学中占有很重要的地位．应用广泛．

数学归纳法有下两种基本形式

（1）第一数学归纳法

设是一个与正整数有关的命题，如果

①当（）时，成立；

②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．

（2）第二数学归纳法

设是一个与正整数有关的命题，如果

①当（）时，成立；

②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．

在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。

一、用数学归纳法证明整除问题

用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。

（20xx山东）是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.

证明：解：由f（n）=（2n+7）·3+9，得f（1）=36， f（2）=3×36， f（3）=10×36， f（4）=34×36，由此猜想m=36.

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，显然成立.

（2）假设n=k时， f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3+9能被36整除;当n=k+1时，［2knn

（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k－1－1），

由于3

整除.

由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）·3+9能被36整除，m的最大值为36.

二、用数学归纳法证明恒等式问题

对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． （20xx江西）是否存在常数 ，使得等式 对一切自然数 成立？并证明你的结论．

解：假设存在，使得题设的等式成立，则当时也成立，代入得

解得，于是对，下面等式成立：

令

假设时上式成立，即

那么

这就是说，等式当时也成立．

综上所述，当时，题设的等式对一切自然数都成立．

三、用数学归纳法证明不等式问题

用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“n＝k＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．

（20xx全国一22）．设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数； nk－1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36

（Ⅱ）证明：；

解析：

（Ⅰ）证明：，

故函数在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；

（ⅱ）假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得

.而，则，

，也就是说当时，也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.

（20xx辽宁卷21）．在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：．

本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．

解：（Ⅰ）由条件得

由此可得

．················································ 2分

猜测．················································································ 4分

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即

，

那么当n=k+1时，

．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．······································ 7分

（Ⅱ）．

n≥2时，由（Ⅰ）知．·········································· 9分

故

综上，原不等式成立．

四、用数学归纳法解决某些与正整数有关的探索性问题

由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．

（20xx湖北）已知y=f（x）满足f（n－1）=f（n）－lga（n≥2，n∈N）且f（1）=－lga，是否存在实数α、β使f（n）=（αn+βn－1）lga对任何n∈N *都成立，证明你的结论

解：∵f（n）=f（n－1）+lga

又f（1）=－lga，

∴∴∴f（n）=（ n－ n－1）lga 22n－1n－1，令n=2，则f（2）=f（1）+f（a）=－lga+lga=0

证明：（1）当n=1时，显然成立

（2）假设n=k时成立，即f（k）=（ k－ k－1）lga，

则n=k+1时， 2

f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga

=（ k－ k－1+k）lga=［（k+1）－（k+1）－1］lga

∴当n=k+1时，等式成立

综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=，β=－，使f（n）=（αn+βn－1）lga对任意n∈N*都成立

点评：本题是探索性问题．它通过观察――归纳――猜想――证明这一完整的过程去探索和发现问题，并证明所得出的结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．

通过上面的几个例子可知，数学归纳法在高考试题中常与数列、函数等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住关键点，并掌握一些常用技巧，重视变形转化能力，才能最终解决问题。 222