生活中的数学--台球问题
1 问题的提出
我们平时经常接触数学的理论知识，其实走出书本，在生活中也有许许多多关于数学的问题值得我们去接触去学习。今天，我们小组准备就台球问题进行研究，以下是我们小组研究的成果。
台球运动在我国已十分流行，从城市到乡村，到处可见，成为中国人健身娱乐的项目之一.优秀台球手的技术能给人深刻的印象，他们能从各种距离和各个角度击球入袋.初学者应不断地努力训练，学会如何操杆撞击球，使母球与彩球相撞，将彩球以合适的角度和速度送进袋中.我们试着对台球技术问题建立数学模型，帮助提高技艺.
台球的网口虽然很小，但有较小的余地，即使你不是瞄得很准球也能入网.人的误差总是存在的，所以一个有趣的问题是在一次击球中允许多大的偏差，仍能保证彩球进入球网.这里考虑台球桌上只有母球和一个彩球.
2 模型的假设
台球桌面绝对平滑，不存在凹凸；
没有撞击的台球运动轨迹是一条直线；
两个台球的运动速度不受摩擦的影响；
两个台球的形状质量完全一样；
碰撞轨迹与母球的初始速度无关.
3 模型的准备
、撞击后台球的运动轨迹(母球碰撞前瞬间的速度为
，彩球静止
)
母球和彩球位于同一直线上
母球和彩球位于同一直线，即彩球的球心在母球的运动轨迹所在直线上.当母球以速度撞击彩球，撞击瞬间，母球的动量全部传递给彩球，母球立刻停止运动.根据动量守恒：
，即有
，
.
母球和彩球不在同一直线上
母球和彩球不是在同一直线，即彩球的球心不在母球的运动方向上.母球撞击彩球，撞击瞬间后，两球的速度符合以原母球速度为对角线的“矩形定则”，碰撞后的母球和彩球运动方向互相垂直，瞬间的母球与彩球的速度夹角成九十度，构成了矩形的两个边，这个矩形对角线，就是原母球的速度.
4.瞄准点的确定
母球和彩球的球心与球袋中心在同一直线上
当母球和彩球的球心与球袋中心三者在同一条直线上时，只要瞄准彩球的球心，这样碰撞后彩球便可以运动到球袋的中心，进入球袋.
母球和彩球的球心与球袋中心不在同一直线上
设彩球在台面上
处，母球在
处，为了让彩球可以沿直线
运行到球袋开口中点
处，我们的瞄准点应该在直线的反向延长线上的某一点.具体的做法如下:
以A为圆心,台球的直径为半径作一个圆.延长和圆相交于点
,就是所求的瞄准点.而
就是母球的理想轨迹.
模型的建立
5.三角关系模型的建立
为了简化问题，便于分析，我们把台球桌上的状态简化如下：是母球原位置，
是彩球的位置，
是瞄准点.母球原位置
与彩球原位置决定一条有向直线
；母球运动方向决定一条有向直线
；彩球碰撞后运动方向决定一条有向直线
.这样就构成一
个三角形
.
根据瞄准点的确定，知道碰撞点在
中点，所以
,在某一个特定的状态下
也是一个定值.所以在
中我们在击球时能控制调整的是
，通过控制调整使
达到理想值，进而使彩球能顺利入袋.
.在中，由余弦定理得
……………… (1)
由正弦定理得：
……………… (2) 于是
……………… (3)
分析一个特定例子
在某一个已知的状态中，可以视
和
为已知的值，
与
为变量，那么该方程反应了变量与
的必然联系.击球时就可以通过控制和调整的大小，来决定的大小.
在实际中，已知,,取为理想值，便可以计算的大小.由(3)式可得
……………… (4)
我们假设某一个状态中，台球半径
，彩球与母球的球心距离为5Ocm，的理想角度为
，这时候才能使彩球落进球袋中心.我们可以计算出的值.把已知代入上述公式得：
.
也就是说，当球杆的击打方向与参照线
形成
夹角，可把彩球准确打入球袋.
角度大小估计与长度距离的估计的转化
利用上面的模型，我们在给定某一个条件下已计算出了的理论值，然而人的眼睛与手是不容易打出这个理论值()的.也就是说：我们怎么做才能更好的打出和参照线
成的夹角呢? 因为人的生活经验对长度数量的直观估计比对角度数值的估计要相对准确，所以我们可以把对角度的估计转化为数值长度的估计.
假设顶角为，以球杆长度为腰，构造一个等腰三角形，得到:
………………(5)
所以利用这个公式来把握
要好一些.在上面一个状态里，假设球杆长
，那么
即，当用长的球杆打球时，只要将球杆以母球为顶点，以为参照线，将球杆向与彩球同侧稍加转动，使球杆未端移动约
，即可获得的角度，这是最佳击球位置.
6.考虑实际的误差的情况
误差的大小分析
在打球时，实际的偏角与理想的取值是允许有误差的.这是因为球袋口的入口直径比台球直径要大.只要经过球杆与母球击打、母球与彩球碰撞，把偏角的误差传到的误差范围不超过球袋口的直径即可.这个误差也是可以估计的.
如上图所示，当彩球被击到
时还可以进球袋，
是彩球能进球袋的“临界位置”，如果彩球球心的运动轨迹处在之间就可以保证能进球袋.所以我们就可以考虑球心在这两点时的角，算出临界角度
，只要撞击后的角度在
之间，就可以使彩球球心的运动轨迹在之间了.
误差角度计算
由基本的几何知识知道：
.
………………(6) 同理
………………(7) 由（4）式可以计算出
:
………………(8)
………………(9)
5.3 误差对下杆影响
在某一状态下，只要击球的角度偏差不要太大，范围在
之间，就可以保证彩球可以进球袋.
与上面相同的情况下，假设
，
,即是
，同理得到
.
分别代入（8）式和（9）式得到
.
同样地，可以把角度转化为对距离的估计：
以为参照线，下杆时只要距离估计范围在
之间，就可以把彩球打入球袋.
7.参考文献
[1] 李钧.台球撞击的偏角方程[J].中学数学杂志(高中).20OO年.第2期.30-31
[2] 戴俊, 傅怀梁,等.一个边界振荡的台球模型[J]. 扬州大学学报(自然科学版).20##年11月第7卷第4期.27－31
[3] 李东升.台球桌上的物理问题.中学物理教学参考.20##年.第31卷.第1～2期.28
[4] 刘宗良.台球桌上的数学.数学教学.20##年.第5期.23
8.活动心得
我们小组的成员都在这次的数学研究活动中受益匪浅，我们把数学融入到生活中，体验到了不同于课堂中理论知识的乐趣，我们共同希望在以后的生活中，多接触数学，体验其中的乐趣.
第二篇：台球基本技巧
身体姿势
- 球杆中心位置
用右手拇指和食指捏在一起做成一个圆圈或一个钩，把球杆后部套在圈里，然后左右推动球杆，调整平衡为止，这时套在球杆上的手指位置就是这支球杆的重心（天平原理）。再从这个重心位置向杆尾部移动20到 30厘米的部位，这段距离范围便是一般握杆的合适位置。遇到特殊打法，还可以前后再移动握杆位置。
- 身体站立位置
先用右手按照要求握好球杆，面向球台上要打的主球方向立正站好，平握球杆，杆头指向主球，并与主球离开10—20厘米的距离。握杆的右手拇指要和裤子的侧缝对齐。注意球杆的指向必须与主球的行进方向成一直线。
- 上身姿势
英式斯诺克台球，因球台台面比较宽大，所以一般多采用平视瞄准击球姿势，用卧手支撑式（也称平背式）的手支架。上身向前平视，顺着球杆方向瞄视。
- 脚的位置
身体站立的位置确定后，握杆的右手原位不动，在两脚立正的姿势下，左脚向左侧方迈出一小步，尺度与肩相等，右脚尖向右外侧转动自然，转动角度约为50—80度。这样便可以构成一个稳定的站立姿势。 - 面部位置
正确击球姿势的形成，不能忽视面部位置的关键性作用。面部不正就瞄不准也就不可能击球入袋。正确的面部位置是，使面部的垂直中心线与球杆的中轴线保持在同一个垂直平面上。如何把面部摆正呢？具体做法是：在瞄准时，将下颏对准球杆中轴线上，两眼保持水平向前平视，这样，面部中心，包括鼻子、嘴和下颏，便都能与球杆和右手臂，进入同一个垂直平面里。
握杆
- 后手握杆时，手腕要能自由活动，拇指和食指在虎口处轻轻夹住球杆，好象一个吊环，其余三个手指要虚握，千万不要握得太紧。出杆击球时，要前后摇动手腕，利用腕力将球击出。
杆架手势
- 卧手支架的手势
先把左手手掌伸直，手心向下，平按在球台台面上，再分开五指，然后掌心拱起，拇指紧贴食指翘起，食指根部和拇指之间便出现一个凹槽，球杆便可以放在凹槽上活动自如。如需调整高低时，可以使手指伸平而降低高度，或拱起更高适应击球需要。
- 翘手支架的手势
将左手平放在球台台面上，手心向下，由手腕到指尖，向内侧稍微转个小弯，图①。 小指、无名指和中指，一齐向内侧转动拱起，手掌左边压在台面上，三个手指形成支撑的手势，图②。 当左手与球杆方向接近直角时，左手拇指和食指尖向一起捏，图③、④。拇指和食指形成一个圆圈后，便可以把球杆插入圈内来支撑球杆击球，图⑤，如果需要调整高低时，可伸展或拱起中指来实现。
- 如果遇到主球靠近台边，可根据情况选用以下几种手支架的手势。
击球动作姿势
击球是台球的重要一环，虽然有时身体姿势、握杆方法、面部位置、架杆手势都很正确，但是，由于出杆击球动作不良，还是打不出好球来。
击球时，从侧面看，握杆的后手与小臂必须放松，以胳膊肘的关节为轴，象钟摆一样能轻松自如的前后摆动，注意摆动幅度不要太大，不摆动时应与台面保持垂直。