对参加《线性代数》精品课程培训的心得与体会

东北林业大学数学系 郭艳芬

三天的《线性代数》精品课程培训马上就要结束了，时间虽然短暂，但给我的触动是很深的，启示是很大的。

首先，是关于行列式的问题，李老师从全新的角度给出了全新的定义。象李老师描述的一样，我深有同感。几乎所有的线性代数教材在介绍行列式时都是通过解二元及三元一次线性方程组而引入的，曾经有一个学生课后验证四元一次线性方程组后跟我说和行列式不符。我觉得用方程组引入行列式定义有两个困惑：第一，二元及三元一次线性方程组的求解学生早在初中就很熟悉，非要用商的形式表达解有点化简单为烦琐的味道。第二，即使解出系数行列式，也很难观察归纳总结出一般规律。基于以上两点考虑，每次讲到行列式定义时，我都是在讲完全排列，逆序数后直接给出行列式的定义。由于理解上本身就有难度，所以我在讲解时给出详细的注释：行列式就是一个数，只是得来的过程有点麻烦；行列式具体说就是取自所有不同行不同列的n个元素乘积的代数和。然后按照定义，和学生们一起求出二阶和三阶行列式的计算公式，即对角线法则。而李老师从向量的角度，从几何上的面积空间立方体的体积以及n维向量的体积角度给出了全新的定义，是一种全新的思想和理念。当然，由于教材编排顺序以及学生接受程度的差异，要仿效和实施李老师的行列式的定义是很难的。但是李老师的数形结合、深入浅出、由几何到代数的思想却是培训留给我的最大的财富，使我对如何教好学生有了更深的体会。

另外，关于线性方程组有解的判别条件，许多教材都是直接给出定理和证明，然后给出有唯一解、多解、无解等不同情况的相应例题。但是在具体讲课时，如果按照书上顺序，学生就会很被动的接受。而李红裔老师在讲解时，首先引入例子，将增广矩阵化为行最简形，再和方程对应起来，得出方程的解。然后让学生观察，引导学生试归纳出一般的推广结论。这种由特殊到一般的规律和方法更利于学生理解和掌握，通过实实在在的例子让学生在观察中思考与学习，发挥了学生的主动性、积极性甚至创造性。正如李老师引用的波利亚的那段话一样：注意特殊情况的观察，能够导致一般性的结果，也可启发出一般性的证明方法。

以上只是我的体会和收获中的一点点，这次培训不仅是我学习中的一次难忘的经历，也是宝贵的财富。我会以这次培训为契机，认真总结并学习两位老师的教学思想和理念，并将之贯穿于今后的教学中，努力钻研教材，尽可能从各个角度各个侧面理解课程内容，力求融会贯通；并站在学生的角度思考问题，学会引导和启发学生，让学生们在学会知识的同时，更学会提出问题、思考问题和解决问题的能力，从而达到更好的教学效果。

最后谢谢两位老师给我们带来这么精彩而难忘的培训，辛苦了！！！

第二篇：《线性代数》国家精品课程网络培训有感

《线性代数》国家精品课程网络培训有感

西南大学育才学院   刘婧

经过了三天的《线性代数》课程培训，我对线性代数的知识结构有了更加深入的了解，对教材的内容安排有了新的领悟。李老师风趣幽默的言语道出了各章节的来龙去脉，点出了知识的本质及特征，也使我悟出了优秀的教师应该具有灵活处理教材的能力。

作为一名新踏上职教道路的年轻老师，我较为强烈的感受到自己容易成为教材的传声机。书本上怎么写，我们教师就怎么讲：《线性代数》（同济版）的第一章就是行列式的基本概念与运算。陌生、繁多的符号与复杂、抽象的操作使得我们本该有着火热思考的课堂刹时间成了符号和法则“肆意”的“寒地”，黑板上大片的行列式计算，让我们无暇顾及其间隐藏的数学思想，加之课时的限制，线性代数课的教学目标在我们老师的心中就降低成了会计算、会用就不错了。在这种唯以计算为主的教学中，学生只能苦苦地“浸泡”在抽象的运算中。正如李老师在《从问题出发引入线性代数概念》一文中写道：

虽然线性代数的内容比起微积分要少的多，但是学生感到线性代数难学，特别是难以入门，其主要原因在于线性代数一开始就从天而降许多抽象的概念，将初学者先打了“一百杀威棒”。

一般来说，《线性代数》教材的编写主要考虑的是数学的逻辑结构。通常是先学习概念，再进而解决问题。这也是我们常规的教学模式。然而，在现实的世界中，问题是数学的心脏，是概念产生的背景，即知识发展的来源。从问题入手往往更加符合学生的认知习惯，使学生感受到数学概念不是从帽子里凭空冒出的兔子，克服了“捏头去尾，段中烧”的弊病，也能很快激发学生的学习积极性。巧妙地以问题带动知识的学习，将各个看似不同的概念串联起来，由问题层层递进引出，将教材的科学数学变成了真正的教育数学。

比如，探讨矩阵几初等变形这一节，就以一个高中生熟知的根据三点求抛物线解析式引出线性方程组，通过求解析式的过程回顾加减消去法，并从中引导学生思考如下问题：原方程的解一定是新方程的解，但新方程的解还是原方程的解吗？会不会有增根的产生呢？怎么才能不产生增根呢？这一连串问题的设计其实是为后面学习初等变换埋下了伏笔，目的是让学生理解初等变换在解方程组中所起的重要作用。当学生思考等价变换能克服增根的产生，李老师又用自己平实的语言点出了等价代换的实质——新代替老，而且是全全代替。全全代替也就是新的方程可以由原来方程推出，而原来的方程也能由新的方程推出。数学语言的准确和抽象往往加深了理解的难度，李老师选择用学生喜闻乐见的话语道破“天机”，这正是所谓的“淡化形式，注重实质”。

再例如，对于线性有关与线性无关的内容编排，大部分书本从线性相关的定义入手：给定向量组：，，．．．，如果存在不全为0的数，，．．．，使

则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关。

而李老师却从最基本的问题出发，即线性方程组的解的探讨引出了线性相关的概念。在方程组的学习中，学生会自然而然地去探讨方程个数的真假。

                 ①

               ②

                  ③

对于上述方程组，有几个方程呢？

运用高斯消元法后，学生会发现第③个方程可以通过第①和第②个方程相加得到。这时，李老师就引入了线性组合的概念。有了之前对线性方程的认识，以及高斯消元法的理解，线性组合的学习就“水到渠成”。相反地，对于线性相关的概念的阐述，李老师把它解释为某方程是其他方程的线性组合，并没直接给出严格的定义，而是放在与向量结合之后再做细致的说明。从这种教学设计中，不难发现，概念的铺垫很重要，有层次性，虽然没有真正讲明，但已把本质凸显出来，有种“润物细无声”的感觉。

既然第③个方程是前面方程的线性组合，那就说明这个方程是多余的，所以3个方程的个数有“水分”。有“水分”就意味着方程个数“靠不住”，所以应该进行“打假”，把多余的去掉，去掉的方法就是看是否为原来方程的线性组合。当去到一个都不能再去的时候，就说明每一个方程都不能由其他的方程组合而来，因此剩下的方程“一个都不能少”，它们也都是线性无关的。最后，给出秩的概念——将“打假”进行到底，剩下的一个都不能少的方程的个数。

从这些幽默的话语中，我感受到了李老师的个人教学的魅力。数学语言不一定要说的那么严格和那么单板，还可以如此的形象和生动，与我们的生活术语一样。

在判断线性相关的题型设计上，李老师也颇有创意。不少的教师可能马上会给出几个方程组让学生练习便可。而李老师却给出了几何中判断向量是否共面的问题：

⑴，，

⑵，，

⑶，，

这样设计的目的是为了让学生从几何的角度理解线性相关的概念，不局限与代数的简单运算，赋予线性相关更广泛的意义。若这三个向量共面，即线性相关了。同时，这三道题目的难度有阶梯。第⑴个向量组最简单，几乎用不上任何计算，主要是让学生理解共面与线性相关的联系。第⑵个方程则需要用到共面的定义：存在不全为0的，，使

在书写的过程中，引导学生感受数行书写的便捷之处——可把上式写成熟悉的方程的形式，从而得到以下的方程组：

  

  

  

因此，判断线性相关只需想办法写成方程组的形式，进而求解便可。

为了帮助学生得到书中关于线性方程的严格定义，李老师给出的第⑶个问题激发了学生需要用到线性相关的新的表达方式，让学生感受到同样的含义，但是由于形式不同所带来的简便之处，从内心真正地接受了线性相关的概念。

在第⑶个方程中，无解，所以，还需要解和。这样一来，求解的过程变的相当的繁琐。可是判断线性相关还有另一种形式：。若存在，，不全为0，则线性相关了。换了表达的方式，学生可以感觉到工作量的减少，从解3个方程组变为了只需求一个方程组。

之后，李老师还对两种等价的线性概念进行了分析，比较了各自的优缺点：前一种概念好懂不好算，后一种概念好算不好懂。让学生依照具体情况进行运用。

从上面两个例子中，我领悟到了李老师的教学方法：书本是死的，教法是活的。概念要有铺垫，要抓本质，而不要拘泥于语言的精确。这样反而有着更好的教学效果。

在有感的最后，想感谢我的学校给了我这样一个难得的机会参加培训，使我受益非浅，也谢谢培训中心的各位老师的热心帮助，最要感谢的是北京航天航空大学的几位老师的精彩汇报！

不过，我还有一些个人的建议：我很想看看李老师主编的《线性代数》教材，希望北京中心的老师们可以等教材出版后邮寄给我们一本，好吗？