参加《线性代数》课程培训的心得体会

祖建 西南石油大学理学院

尊敬的李老师,您好!

我是西南石油大学理学院的一名老师，教了《线性代数》这门课程两遍. 有幸参加了这次全国高校教师《线性代数》课程的网络培训，领悟到了李教授的授课风采.

在我们学校《线性代数》是《高等数学》的后继课程，它是工科学生必修的一门重要基础课. 《线性代数》是从解线性方程组和讨论二次方程的图形等问题的基础上而发展起来的一门数学学科. 《线性代数》介绍代数学中线性关系的经典理论，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性. 由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此《线性代数》课程所介绍的理论和方法也具有广泛的实用性. 尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要. 《线性代数》课程主要讲授矩阵与行列式、向量、线性方程组、方阵相似对角化和二次型以及《线性代数》实验等内容. 《线性代数》教学不仅关系到学生在整个大学期间甚至研究生期间的学习质量，而且还关系到学生的思维品质、思辨能力、创造潜能等科学和文化素养，《线性代数》教学既是科学的基础教育，又是文化的基础教育，是素质教育的一个重要的方面.

我们学校开设本课程的目的是不仅使学生掌握该课程的基本理论与基本方法，在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物，为学生学习后继数学课程、其它基础课程和专业课程提供必要的基础知识和思想方法，而且培养学生较强的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力和归纳判断能力，培养学生运用所学知识去分析问题、建立数学模型以及利用计算机解决实际问题的能力和意识，为学生将来从事科学研究工作奠定良好的理论基础，提供一种重要的数学工具，积累一定的运用计算机解决实际问题的实践经验.

通过这次培训，我领悟到了《线性代数》的抽象概念并非枯燥难懂，而是源于自然，充满魅力和威力. 我们对《线性代数》课程的教学设计要让抽象回归自然，代数几何熔一炉. 从几何直观引入抽象概念，易于接受，更容易懂. 我们工科学校要结合学校的特色，根据学生的实际情况进行教学，突出重点，突出我们的特色. 我们的课程设计要以学生为中心.

以下是我根据这次的学习，所设计的关于逆矩阵这一节的教案，敬请李教授指导. 谢谢！

§1.4 逆 矩 阵

在本章第三节里，我们定义了矩阵的加法、减法和乘法三种运算. 而在矩阵乘法运算中，我们看到单位矩阵E的作用类似于数1在数的乘法中的作用，即对于任意n阶矩阵A，有

AEn?EnA?A.

（下面用类比于数的性质引出逆矩阵的概念）

在数的乘法运算中，对于非零数a，则存在唯一一个数b，使得

ab?ba?1.

我们自然要问：非零矩阵是否也有类似这样的性质？

我们先看下面的引例：

引例1

（1） 设A????00??00??10??ab???????，则对任意，都有. AB???B?????????01??cd??01??cd?

（2）设A????11??2?1??10???，则存在B????11??，使得AB?BA???01??. 12??????

引例1说明，对于非零矩阵A，不一定存在矩阵B，使得AB?BA?E. 如果这样的矩阵B存在，我们就称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.

可逆矩阵是一类重要的矩阵，而它的逆矩阵在矩阵的运算中起着重要作用. 下面，我们来介绍可逆矩阵的定义、性质和矩阵是可逆矩阵的条件，最后介绍一种求逆矩阵的方法.

1、逆矩阵的定义

定义1 设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使AB?BA?E，则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，记作A?B，即，AA?AA?E.

显然，B?1?1?1?1?A. 单位矩阵E是可逆矩阵，其逆矩阵为自身；零矩阵不是可逆矩阵.

【说明】（1）、可逆矩阵及其逆矩阵都是方阵，并且它们的阶数相同；

（2）、可逆矩阵与其逆矩阵可交换；

（3）、只有方阵才有逆矩阵.

【问题1】如何求引例1（2）中的矩阵A的逆矩阵？

【方法】由逆矩阵的定义，设B???c?

43?ab??，由AB?BA?E，则可求出矩阵B. 即，采用待定元素的方法. ?d?例1 设方阵A满足A?A?2A?E?0，证明A可逆.

证明 因为A(A3?A2?2E)?(A3?A2?2E)A?E，所以A可逆.

2、可逆矩阵的性质

（以下均设A是n阶方阵）

?1?1a) 若A可逆，则A的逆矩阵唯一，记为A，且A也可逆，(A?1)?1?A，A?1?A. ?1

b) 若A可逆，数k?0，则kA可逆，且(kA)?1?k?1A?1.

c) 设A和B都是n阶可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且(AB)?1?B?1A?1.

一般地，若同阶矩阵A1,A2,?,As都可逆，则A1A2?As也可逆，且

?1?1?1(A1A2?As)?1?AsAs?1?A1.

d) 若A可逆, 则A也可逆，且(A)

Tkk?1?(A?1)k. ?(A?1)T. e) 若A可逆, 则A也可逆，且(A)

证明 T?1

?1?1?1a) 设B、C都是A的逆矩阵，则B?BE?B(AC)?(BA)C?C；由AA?E知，AA?AA?E?1，

A?0,A?1?A.

b) 事实上，(kA)(kA)?(kA)(kA)?(kk)(AA)?E.

c) 事实上，(AB)(BA)?A（BB）A?AEA?AA?E，(BA)(AB)?E.

d) 事实上，A(A)?AA?A?AA?A?E； (A)A?E.

e) 事实上，因为， k?1k?1?1?1?1kk?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1

AA?1?A?1A?E,所以，(AA?1)T?(A?1A)T?E,即，(A?1)TAT?AT(A?1)T?E.

【说明】（1）、不能将A写为

（2）、(A?B)?1?11； A?A?1?B?1.

（3）、如果A可逆，那么矩阵方程AX?B有唯一解

X?EX?(A?1A)X?A?1(AX)?A?1B.

例2 设AB?AC，且A可逆，证明B?C.

证明 B?EB?(AA)B?A(AB)?A(AC)?(AA)C?C.

【问题2】在什么条件下矩阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求A？ ?1?1?1?1?1

3、矩阵可逆的条件

定义2 设A?(aij)n?n，Aij为A中元素aij的代数余子式，则称矩阵

?A11A21?An1??A?A?A22n2?A???12 ?? ? ? ????AA?A2nnn??1n

为A的伴随矩阵.

A的伴随矩阵A?与A有如下重要关系；

命题1 设A为n阶方阵A?(aij)n?n的伴随矩阵，则AA?AA?AEn. 证明 由行列式按一行（列）展开和行列式的性质知， ???

?A,i?jaA? ， ??ikjk

k?1?0,i?jn

于是

?a11?a?AA??21

?...??an1

同理A?A?AEn. a12a22...an2...a1n??A11A21?An1??A0?0??A??0A?0?...a2n?A?A22n2???AE， ??12??n......??? ? ? ???? ? ? ???????...ann??A1nA2n?Ann??00?A???

?推论1 设A为n阶方阵A?(aij)n?n的伴随矩阵，则A?A?

*【说明】A?0?A?0. n?1. 命题2 若A?0，则A?1?1?1A，(A*)?1?A. AA

事实上，由命题1，有 A??1???1?????????A?A?E；?1A?A??A??1A??E. A?A??A??A??A?????????

定理1 方阵A可逆?A?0.

证明 必要性 若A可逆，则存在n阶方阵B使AB?BA?E，从而AB?1. 充分性 由命题2可得.

推论2 设方阵A满足AB?E(或BA?E)，则A可逆.

由推论2，我们只需验证AB?E(或BA?E)，就知道A可逆，且A推论3 设方阵A满足AB?E，则BA?E，且A

例如，若ABCD?E, 则下列成立的是： ?1?1?B. ?B，B?1?A.

BCDA?E(成立),BACD?E(不成立),DABC?E(成立).

【说明】

（1）、当A?0时，A称为奇异矩阵（退化矩阵）； 当A?0时，A称为非奇异矩阵（非退化矩阵）.

（2）、定理1不仅给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求矩阵的逆矩阵的公式，即提供了一种求矩阵的逆矩阵的方法——伴随矩阵法（公式法）.

例3 设

?23?, A????45?

?5??1则A??2??23??3??1??2???1??. 2，(A)?????2?5??1???2??

事实上，因为A??2，AA*??，A12??4，A21??3，A22?2，11?5?5?3? ???42??5?1A?1?A?=?2?A?2

?ab??d?b???. 【注意】一般地，????cd???ca?*3??3??1???12*?1?A???2(A)??5A??2???1???2??4、逆矩阵的应用举例

?110??1?1????例4 设A?0?20，求?A??2A的值. ???2???7?31??

?1?解 因为A??2，所以A可逆，从而?A??2??1?2A?1，A??AA?1??2A?1，

?1???1?A??2A??2A?4. ?2?

例5 设n阶方阵A满足A?3A?2E?0，求A，(A-E).

2?12?1-1【分析】（1）、由A?3A?2E?0得，A2?3A?2E,即，A?

（2）、（凑因式法） 133??1A?E??E, 所以，A?1?A?E; 222??2

111??1(A?E)(A?2E)?A2?3A?2E?4E,即，(A?E)?A?E??E,所以，(A-E)-1?A?E. 422??4

?301???例6 解矩阵方程AX?A?2X，其中A?110. ????014??

【分析】求满足一定关系式的未知矩阵，一般应先根据矩阵的运算化简关系式，再求出出相关矩阵的逆矩阵，最后求出未知矩阵.

由AX?A?2X得，

AX?2X?A,即，(A?2E)X?A,所以，当A?2E可逆时，X?(A?2E)?1A. 因此，可以先求(A?2E)?1，再乘以A.

用伴随矩阵法：

(A?2E)?1?1 A?2E)*，A?2E

?5?2?2??. X?(A?2E)?1A??4?3?2???3???22?

一般说来，用伴随矩阵法来求矩阵的逆矩阵，计算量是非常大的，对于阶数较大的矩阵，我们一般不采用这种方法求逆矩阵. 以后我们将给出另外一种实用的求矩阵的逆矩阵的方法——初等行变换法.

祖 建

四川、成都、西南石油大学理学院

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2007-11-21

第二篇：我的心得体会

我 的 心 得 体 会

赵云梅

通过这次参加全国高校教师精品课程《线性代数》的网络培训，总体感觉很好，收获很多。以前对李尚志老师有些了解，知道李老师的线性代数课上的好，却从未亲自感受过，通过这次培训，领略了李老师精彩而独到的授课风采，使我深深感到自己的不足。也为自己以后的教学增添了不少的经验。之前我对线性代数课程也有一些思考，通过这次培训，我把自己的体会写出来，有些问题大家一起讨论。

全国各高校理工类专业基本都开设了线性代数的课程，虽然各学校所选用的教材不同、授课老师不同、所面临的学生的基础也不同，但是不可否认，教师讲授的知识体系基本是相同的，讲授的重点和难点基本是相同的，考试的内容也是大体一致，可以说各大高校的线代教师基本上是在讲授相同的内容。但学生对不同教师的授课有不同的反映，学生能从线性代数这门课程中学到什么，怎么去用，有着较大的反响。

线性代数是大学最重要的基础课程之一，它最大的特点就是抽象难懂，加上目前各学校开设这门课程的学时较少，使得本来就很难以理解的问题要在很短的时间内得到解决就变得难上加难，有的老师都不愿意上这门课，就是因为学时太少，再加上一些放假又冲了一部份课时，使得本来就很紧张的课时变得更少，不知道能上多少内容，一看教材上的内容又觉得什么地方都不能砍，否则，后面就无法讲下去，真不知道如何来组织教材，要是全部照本宣科的全讲，学生就会觉得一堂课上内容太多，不能消化，枯燥无味，特别是一些刚从学校毕业出来就走上讲台的新教师，基本就是照着教材上讲，书上写什么，就讲什么，黑板上就写什么，学生听着乏味，

不知道学习线性代数有什么用，学了干什么，一学期下来，感觉什么都不知道，糊里糊涂的。通过培训，使我明白如何组织教学内容，深深的体会如何使内容由枯燥变得精彩。正如李老师的文章《线性代数教学漫谈》一文中写到，课本上的内容基本上是按照一定的逻辑顺序书写的，一般是先有定义，后有相应的定理、性质等等，即使有一些例子也是帮助理解概念或简单的法则的应用，其实有很多的概念的得来都有一些历史背景，经过抽象之后写在书本上，本来它们的得来也就为了解决某些问题而发明的，如果不给学生讲解这些由来，学生就不知道为什么需要这些概念，这些概念、定理有什么用。所以，一堂课上哪怕花3-5分钟给学生简单的介绍一下相关概念的历史背景，使学生知道知识的来龙去脉，是有必要的，这样可以提起学生的学习兴趣，变被动为主动，从解决问题出发来组织教学内容。

线性代数的内容虽然比微积分的要少得多，但大部分学生学起来并不容易，主要是因为线性代数比微积分抽象得多，不容易理解，微积分的一些内容学生在中学已经接触过，微积分中的有些概念要容易理解，如导数可以理解为过曲线上某点的切线的斜率，物体运动的速度，定积分可以理解为曲面的面积等等，这些都与我们的现实生活中的某些东西相关，更容易理解，而线性代数中从一开始就是一些抽象的概念，如行列式的定义，不能一来就定义n阶行列式，先从二阶到三阶，性质，再到n阶行列式的定义，为什么要这样定义？，在现实生活中有什么用处，矩阵的乘法又为什么要这样相乘，还有线性相关和线性无关是什么意思，知道线性相关或无关有什么用等等一系列的疑问。线性代数就象一块压缩饼干，看上去少，一旦减压之后就会膨胀，不易消化，而且线性代数各个知识点的链接非常

紧密，教师的任务就是要如何引导学生顺利入门，掌握线性代数这门课程的精髓和要点，并善于学会用所学的知识解决相关的问题，使学生通过学习而受到数学素养的训练。

关于精品课程的建设，李老师说精品课程为谁建设—学生！，精品课程的关键是要有特色，有影响，要发挥多媒体的优势，不为多媒体而多媒体，我个人觉得这样的提法很好，我们都知道多媒体教学有明显的优势，它具有强大的演示功能，制作的图形直观清晰，为抽象的数学问题提供直观的背景，为静态的数学提供动画的过程。用“黑板+粉笔”的传统教学，学生很难对这些复杂的图形有直观的认识，能有效地激发学生的形象思维。但是多媒体教学信息量较大，节奏较快，学生看演示只是一种视觉暂留，不能马上把所看到的表象知识上升为理性知识，而传统的教学模式在教师板书时，学生有充足的时间进行思考，对学生建构合理的认知网络起着重要的作用。所以，适当使用多媒体是必要的，但不能全过程都使用多媒体，不能为多媒体而多媒体。

总之，通过这次的培训，使我学到了不少的教学经验，今后我将继续努力探索，把线性代数这门课程讲授更精彩。