实验4  杨氏模量的测定（拉伸法）

【杨氏模量知识和胡克定理】

杨氏模量(Young's modulus)是描述固体材料抵抗形变能力的物理量。一条长度为L、截面积为S的金属丝在力F作用下伸长ΔL。F/S叫胁强，其物理意义是金属数单位截面积所受到的力；ΔL/L叫胁变其物理意义是金属丝单位长度所对应的伸长量。胁强与胁变的比叫弹性模量：即。ΔL是微小变化量。

杨氏模量，它是沿纵向的弹性模量，也是材料力学中的名词。1807年因英国医生兼物理学家托马斯·杨(Thomas Young, 1773-1829) 所得到的结果而命名。根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，比值被称为材料的杨氏模量，它是表征材料性质的一个物理量，仅取决于材料本身的物理性质。杨氏模量的大小标志了材料的刚性，杨氏模量越大，越不容易发生形变。

　　杨氏弹性模量是选定机械零件材料的依据之一是工程技术设计中常用的参数。杨氏模量的测定对研究金属材料、光纤材料、半导体、纳米材料、聚合物、陶瓷、橡胶等各种材料的力学性质有着重要意义，还可用于机械零部件设计、生物力学、地质等领域。

测量杨氏模量的方法一般有拉伸法、梁弯曲法、振动法、内耗法等，还出现了利用光纤位移传感器、莫尔条纹、电涡流传感器和波动传递技术（微波或超声波）等实验技术和方法测量杨氏模量。

弹性模量（modulus of elasticity），又称弹性系数，杨氏模量，是弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质，也是物体变形难易程度的表征，用Y表示。定义为理想材料在小形变时应力与相应的应变之比。根据不同的受力情况，分别有相应的拉伸弹性模量(杨氏模量)、剪切弹性模量(刚性模量)、体积弹性模量等。它是一个材料常数，表征材料抵抗弹性变形的能力，其数值大小反映该材料弹性变形的难易程度。

　　对一般材料而言，该值比较稳定，但就高聚物而言则对温度和加载速率等条件的依赖性较明显。对于有些材料在弹性范围内应力-应变曲线不符合直线关系的，则可根据需要可以取切线弹性模量、割线弹性模量等人为定义的办法来代替它的弹性模量值。

金属丝或金属杆受拉力的作用下将发生形变，在弹性限度内形变量其正应力与成正比。其规律遵循胡克定理。胡克定律指出，在弹性限度内，弹性体的应力和应变成正比。设有一根长为L，横截面积为S的钢丝，在外力F作用下伸长了，则：

                              （1）

式中的比例系数Y称为杨氏模量，单位为。设实验中所用钢丝直径为d，则，将此公式代入上式整理以后得

                             （2）

上式表明，对于长度L，直径d和所加外力F相同的情况下，杨氏模量Y大的金属丝的伸长量小。因而，杨氏模量是表征固体材料性质的一个重要的物理量，是工程设计上选用材料时常需涉及的重要参数之一，一般只与材料的性质和温度有关，与外力及物体的几何形状无关。对一定材料而言，Y是一个常数，它仅与材料的结构、化学成分及其加工制造的方法有关。杨氏模量的大小标志了材料的刚性。根据（2）式的表达式，杨氏模量的测量可选用下列实验仪器和实验方案进行。

【方案设计】

为能测出金属丝的杨氏模量Y，必须准确测出上式中右边各量。其中 L、d、F 都可用一般方法测得，而 ΔL 是一个微小的变化量，用一般量具难以测准，为了测量细钢丝的微小长度变化，实验中使用了光杠杆放大法间接测量。实验装置如图1所示，主要由夹住金属丝的支架、砝码、光杠杆和镜尺系统组成。

图 1 实验装置示意图

1 光杠杆和镜尺系统

光杠杆结构如图2(a)所示，它实际上是附有三个尖足的平面镜。三个尖足的边线为一等腰三角形，前两足刀口与平面镜在同一平面内（平面镜俯仰方位可调），后足在前两足刀口的中垂线上。镜尺系统由一把竖立的毫米刻度尺和在尺旁的一个望远镜组成，如图2(b)所示。调节目镜焦距，可从目镜中观察到清晰的十字叉丝，如图2(c)所示。镜尺系统和光杠杆组成如图3所示的测量系统。

 

   (a)                       (b)                     (c)

图2 光杠杆（a）、镜尺系统（b）、十字叉丝（c）示意图

2 测量原理

将光杠杆和镜尺系统按图1安装好，并按仪器调节步骤调节好全部装置之后，就会在望远镜中看到镜面反射的直尺（标尺）的像。标尺是一般的米尺，但中间刻度为0。其光路部分如图3-2。图中M表示钢丝处于伸直情况下，光杠杆小镜的位置。从望远镜的目镜中可以看见水平叉丝对准标尺的某一刻度线，当在钩码上增加砝码（第 i 块）时，因钢丝伸长致使置于钢丝下端附着在平台上的光杠杆后足 P 跟随下降到 P’，PP’ 即为钢丝的伸长量，于是平面镜的法线方向转过一角度，此时平面镜处于位置M’。同时，反射光线在镜面上的出射点也由O变到了O’。 在固定不动的望远镜中会看到水平叉丝对准标尺上的另一刻线，. 假设开始时对光杠杆的入射和反射光线相重合，当平面镜转一角度，则光杠杆镜面的反射光线方向就要偏转2。因甚小，OO’也很小，故有

                  （3）

其中D为平面镜到标尺的距离。又从ΔOPP’，得

                               (4)

式中 b 为后足至前足连线的垂直距离，称为光杠杆常数。从以上两式得：

                     (5)

，可称作光杠杆的“放大率”，上式中 b 和 D 可以直接测量，因此只要在望远镜测得标尺刻线移过的距离，即可算出钢丝的相应伸长。将值代入(2)式后得:

                          (6)

式中 d 为钢丝的直径。

图3光杠杆测量原理

实验中L和D用卷尺、d用千分尺、用游标卡尺、用望远镜测量。拉力，质量m为标准砝码。

【讨论】

1.如何根据几何光学的原理来调节望远镜、光杠杆和标尺之间的位置关系？如何调节望远镜？

（1）望远镜，平面镜，标尺的位置关系要仔细调节，使该标尺在平面镜中的像处在望远镜的光轴上，只有这样，才能在望远镜中看到标尺的像。

（2）望远镜的光轴与平面镜的法线平行。标尺平面要竖直。

望远镜的调节：

(1)　调节目镜，看清分划板上的十字叉丝。

(2)　调节物镜，使“目标”成像在分划板上，这里的“目标”是指什么？（尺子的像）

2. 在砝码盘上加载时为什么采用正反向测量取平均的办法？

为了消除弹性形变的滞后效应带来的系统误差。

【实验仪器】

杨氏模量测量仪、光杠杆、镜尺组、钢卷尺、螺旋测微计、钢直尺、砝码

          

【实验注意事项】

1 实验系统调好后，一旦开始测量，在实验过程中绝对不能对系统的任一部分进行任何调整。否则，所有数据将重新再测。

2 增减砝码时要防止砝码晃动，以免钢丝摆造成光杠杆移动并使系统稳定后才能读取数据。并注意槽码的各槽口应相互错开，防止因钩码倾斜使槽码掉落。

3 注意保护平面镜和望远镜，不能用手触摸镜面。

4 待测钢丝不能扭折，如果严重生锈和不直必须更换。

5 光杠杆的支脚的尖端必须放在V 形槽的最深处，此时光杠杆最平衡。支脚应放在圆柱夹头的圆平面处，而不能放在圆柱形夹头的顶部夹住钢丝的孔或缝里。

6 望远镜调整要消除视差。

7 因刻度尺中间刻度为零，在逐次加砝码时，如果望远镜中标尺读数由零的一侧变化到另一侧时，应在读数上加负号。

8 在读数时应随时注意读数是否有误。这可以由二点来判断：（1）在相同的F下，增重与减重时标尺上的读数应大致相同。（2）由于胁变与胁强成正比，因此每次加1个砝码时引起的伸长量（即相邻二个读数之差）应大致相同。如果偏差过大，应检验仪器是否正常，钢丝本身是否直，光杠杆主杆尖脚不要与金属丝相碰，钢丝夹头是否夹紧（特别是光杠杆的支脚的位置及平面镜是否松动），读数是否正确。

9 测量D时应该是标尺到平面的垂直距离，测量时卷尺应该放水平。

10实验完成后，应将砝码取下，防止钢丝疲劳。

【实验目的】

1 掌握用拉伸法测定金属丝的杨氏模量；

2 学会用光杠杆测量长度的微小变化；

3 学会用逐差法处理数据。

【实验步骤及内容】

1夹好钢丝，调整支架呈竖直状态，在钢丝的下端悬一钩码，使钢丝能够自由伸张。

2 安置好光杠杆，前足刀口置于固定平台的沟内，后足置于钢丝下端附着的平台上，并靠近钢丝，但不能接触钢丝。不要靠着圆孔边，也不要放在夹缝中。使平面镜 M 与平台大致垂直。

3调节望远镜，使之处与平面镜同一高度；沿望远镜筒上面的缺口和准星观察到平面镜M；通过改变平面镜M的仰角，能够从标尺附近通过平面镜M反射看到望远镜。调节右侧的物镜调焦手轮和调节镜筒下面的竖直旋钮，改变平面镜M 的仰角，从望远镜中先寻找到平面镜M，并对准平面镜M 中心；然后调节望远镜物镜调焦手轮看到标尺的像。如无标尺的像，则可在望远镜外观察，移动望远镜，使准星A，B 与平面镜中标尺像在一直线上，这时在望远镜中就可以看到标尺的像。调节目镜看清十字叉丝。观察望远镜中的标尺像，标尺要竖直，望远镜应水平对准平面镜中部。

4 试加几个砝码，估计一下满负荷时（加5个砝码）标尺读数是否够用，如不够用，应对平面镜进行微调，调好后取下砝码。

5 记录望远镜中中间水平叉丝对准的标尺刻度：只挂一个钩码时的初始读数为（不一定要为零），再在钢丝下端加1个砝码，记录望远镜中标尺读数，以后依次加1个砝码，并分别记录望远镜中标尺读数。然后再每次减少1个砝码，并记下减重时望远镜中标尺的读数，填写在数据记录表格中。

6 用米尺测量平面镜与标尺之间的距离D、钢丝长度L，用游标卡尺测量光杠杆长度b（把光杠杆在纸上按一下，留下三点的痕迹，连成一个等腰三角形，作其底边上的高，即可测出b）。用螺旋测微器测量钢丝直径d ，测量5次，可以在钢丝的不同部位和不同的经向测量（因为钢丝直径不均匀，截面积也不是理想的圆。）。

【实验数据记录】

1 数据测量记录：

光杆干平面镜到尺子的距离D=             不确定度   

光杆干前后足尖的垂直距离b=             不确定度                                    

钢丝长度L=          不确定度       每个钩码/砝码的质量=0.32  kg

2 钢丝直径

3 钢丝伸长记录

数据处理要求：用逐差法计算杨氏模量Y及其标准不确定度（不计砝码质量的误差）。

由（6）式可得

不确定度：

则

（为镜尺系统中直尺的仪器误差）

【思考题】

1． 从光杠杆的放大倍数考虑，增大D与减小b 都可以增加放大倍数，那么它们有何不同?

2． 怎样提高测量微小长度变化的灵敏度？是否可以增大D无限制地增大放大倍数。其放大倍数是否越大越好？放大倍数增大有无限制？

3． 为什么在测量中，望远镜中标尺的读数应尽可能在望远镜所在处标尺位置的上下附近？

4． 拉伸法测量钢丝的杨氏弹性模量中需要测量那些物理量？分别用什么仪器测？应估读到哪一位？

5． 什么情况下应用逐差法？逐差法有何优点？

6． 材料相同，粗细长度不同的两根钢丝，它们的杨氏弹性模量是否相同？

7． 在有、无初始负载时，测量钢丝原长L有何区别？

8． 实验中，不同的长度参量为什么要选用不同的量具仪器（或方法）来测量？

【深度思考】

1． 设计一种不用光杠杆测量的方法，并估计其不确定度。

2． 安放好光杠杆，调节望远镜至看清标尺的像。

3． 已知测量杨氏模是的函数式为，取L，，d为直接测量量，写出计算Y值的标准不确定度的计算式。设算得，，写出Y的测量结果的表达。

4． 本实验的各个长度量为什么要用不同的测量仪器测量 ?

5． 材料相同，但粗细、长度不同的两根金属丝，它们的杨氏模量是否相同？

6． 本实验为什么要求格外小心、防止有任何碰动现象？

第二篇：杨氏模量测定实验报告

杨氏模量的测定

【实验目的】

1. 掌握用光杠杆测量微小长度变化的原理和方法，了解其应用。

2. 掌握各种长度测量工具的选择和使用。

3. 学习用逐差法和作图法处理实验数据。

【实验仪器】

MYC-1型金属丝杨氏模量测定仪（一套）、钢卷尺、米尺、螺旋测微计、重垂、砝码等。

【实验原理】

一、杨氏弹性模量

设金属丝的原长L，横截面积为S，沿长度方向施力F后，其长度改变ΔL，则金属丝单位面积上受到的垂直作用力F/S称为正应力，金属丝的相对伸长量ΔL/L称为线应变。实验结果指出，在弹性范围内，由胡克定律可知物体的正应力与线应变成正比，即

                    （１）

则

                             （２）

比例系数即为杨氏弹性模量。在它表征材料本身的性质，越大的材料，要使它发生一定的相对形变所需要的单位横截面积上的作用力也越大。的国际单位制单位为帕斯卡，记为（1=1；1=）。

本实验测量的是钢丝的杨氏弹性模量，如果钢丝直径为，则可得钢丝横截面积

则（２）式可变为

                   （3）

可见，只要测出式（3）中右边各量，就可计算出杨氏弹性模量。式中（金属丝原长）可由米尺测量，（钢丝直径），可用螺旋测微仪测量，F（外力）可由实验中钢丝下面悬挂的砝码的重力F=求出，而ΔL是一个微小长度变化（在此实验中 ，当L≈１ｍ时，F每变化１ｋg相应的ΔL约为0.3ｍｍ）。因此，本实验利用光杠杆的光学放大作用实现对钢丝微小伸长量ΔL的间接测量。 

二、光杠杆测微小长度变化

尺读望远镜和光杠杆组成如图2所示的测量系统。光杠杆系统是由光杠杆镜架与尺读望远镜组成的。光杠杆结构见图2（b）所示，它实际上是附有三个尖足的平面镜。三个尖足的边线为一等腰三角形。前两足刀口与平面镜在同一平面内（平面镜俯仰方位可调），后足在前两足刀口的中垂线上。尺读望远镜由一把竖立的毫米刻度尺和在尺旁的一个望远镜组成。

1-金属丝  2-光杠杆  3-平台  4-挂钩  5-砝码  6-三角底座  7-标尺  8-望远镜

图1 杨氏模量仪示意图

               （a）                                            (b)

图2光杠杆

将光杠杆和望远镜按图2所示放置好，按仪器调节顺序调好全部装置后，就会在望远镜中看到经由光杠杆平面镜反射的标尺像。设开始时，光杠杆的平面镜竖直，即镜面法线在水平位置，在望远镜中恰能看到望远镜处标尺刻度的象。当挂上重物使细钢丝受力伸长后，光杠杆的后脚尖随之绕后脚尖下降ΔL，光杠杆平面镜转过一较小角度，法线也转过同一角度。根据反射定律，从处发出的光经过平面镜反射到（为标尺某一刻度）。由光路可逆性，从发出的光经平面镜反射后将进入望远镜中被观察到。望远记－= Δn.

由图2可知

式中，为光杠杆常数（光杠杆后脚尖至前脚尖连线的垂直距离）；

为光杠杆镜面至尺读望远镜标尺的距离

由于偏转角度_θ很小，即ΔL＜＜b，Δn ＜＜，所以近似地有

，

则                  （4）

由上式可知，微小变化量ΔL可通过较易准确测量的b、D、Δn，间接求得。

实验中取D＞＞b，光杠杆的作用是将微小长度变化ΔL放大为标尺上的相应位置变化Δn，ΔL被放大了 倍。

将（3）、（4）两式代入（2）有

                 （5）

通过上式便可算出杨氏模量。 

【实验内容及步骤】

一、杨氏模量测定仪的调整

1.       调节杨氏模量测定仪三角底座上的调整螺钉，使支架、细钢丝铅直，使平台水平。

2.       将光杠杆放在平台上，两前脚放在平台前面的横槽中，后脚放在钢丝下端的夹头上适当位置，不能与钢丝接触，不要靠着圆孔边，也不要放在夹缝中。

二、光杠杆及望远镜镜尺组的调整

1.       将望远镜放在离光杠杆镜面约为1.5-2.0m处，并使二者在同一高度。调整光杠杆镜面与平台面垂直，望远镜成水平，并与标尺竖直，望远镜应水平对准平面镜中部。

2.       调整望远镜

(1)      移动标尺架和微调平面镜的仰角，及改变望远镜的倾角。使得通过望远镜筒上的准心往平面镜中观察，能看到标尺的像；

(2)      调整目镜至能看清镜筒中叉丝的像；

(3)      慢慢调整望远镜右侧物镜调焦旋钮直到能在望远镜中看见清晰的标尺像，并使望远镜中的标尺刻度线的像与叉丝水平线的像重合；

(4)      消除视差。眼睛在目镜处微微上下移动，如果叉丝的像与标尺刻度线的像出现相对位移，应重新微调目镜和物镜，直至消除为止。

3.       试加八个砝码，从望远镜中观察是否看到刻度（估计一下满负荷时标尺读数是否够用），若无，应将刻度尺上移至能看到刻度，调好后取下砝码。

三、测量

采用等增量测量法

1.       加减砝码。先逐个加砝码，共八个。每加一个砝码(1kg)，记录一次标尺的位置；然后依次减砝码，每减一个砝码，记下相应的标尺位置（所记和分别应为偶数个）。

2.       测钢丝原长L。用钢卷尺或米尺测出钢丝原长（两夹头之间部分）L。

3.       测钢丝直径d。在钢丝上选不同部位及方向，用螺旋测微计测出其直径d，重复测量三次，取平均值。

4.       测量并计算D。从望远镜目镜中观察，记下分划板上的上下叉丝对应的刻度，根据望远镜放大原理，利用上下叉丝读数之差，乘以视距常数100，即是望远镜的标尺到平面镜的往返距离，即2D。

5.       测量光杠杆常数b。取下光杠杆在展开的白纸上同时按下三个尖脚的位置，用直尺作出光杠杆后脚尖到两前脚尖连线的垂线，再用米尺测出b。 

【数据记录及处理】

1. 金属丝的原长L =               光杠杆常数 b = 6.5cm               D =185mm

下叉丝读数：8.8mm，上叉丝读数：12.5mm，则

2. 表1   测钢丝直径数据表

3. 表2  记录加外力后标尺的读数

其中是每次加1kg砝码后标尺的读数，(两者的平均)。

4. 用逐差法处理数据.

本实验的直接测量量是等间距变化的多次测量，故采用逐差法处理数据。

计算出每增加一个1kg的的变化量，计算公式为:。

4.1 用逐差法处理数据如下：

，

，

，

，

将以上四个式子叠加并求平均值

则可得到

计算中可取绝对值为

注：为增重4kg时钢丝的伸长量。

计算结果如表2所示。

4.2 不确定度的计算

读数的不确定度：

金属丝直径：

代入数据可得到钢丝杨氏模量

【作图法处理实验数据】

略【分析与讨论】

略

【附另一参考数据】

金属丝的原长L =           光杠杆常数 b = 7.7cm               D =168mm

下叉丝读数：8.62mm，上叉丝读数：11.98mm

其中：