读书笔记
类型课程学习 名称： 高等数学 1 时间：2006.7.7 体裁：说明文
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黑色 增删修内容
2 说明：凡属课程都属说明文。要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次的说明内容的意思
3 步骤：1 填写结构
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第二篇：高数读书笔记
问题1 学习多元函数微分学应该注意什么?
答 多元函数微分学是一元函数微分学的推广．多元函数微分学与一元函数微分学有密切联系，两者有很多类似之处，但特别应注意的是，两者在概念、理论及计算方法上还有一些实质性的差异从二元到二元以上的函数在理论上以及研究方法上是类似的.因此,我们是以二元函数为代表对多元函数微分学进行研究.在学习本章时．一定要注意与一元函数相对照、类比，比较它们之间的异同，这样有助于学好多元
函数微分学．
问题5 二元函数的极限与一元函数的极限有何同异点?
答 二元函数的极限定义与一元函数极限定义在文字叙述上是类似的，但实际上二元函数极限比一元函数极限的自变量变化过程在方式
上复杂得多．
对于一元函数y=f(x)，当x→x0时，如果极限存在且为A，这里x→x0，是指x始终在x轴上，x或者在x0的左侧趋于x0，或者在x0的右侧趋于x0，f(x)都趋于A．对于二元函数z=f(x，y)，当(x，y) →(x0，y0)时，f(x，y)的极限存在且为A，这里是指(x，y)在其定义域内以任意方式趋于点(x0，y0)时，f(x，y)趋于同一个确定值A．由于点(x，y)在其定义域内趋于点(x0，y0)的情形可以很复杂，因此二元函数极
限的复杂性就在这里，故求二元函数极限时必须注意：
(1)求二元函数极限时，不能限制点(x，y) →(x0，y0)的方式(即应该以
任意方式)．
(2)如果限制(x，y) →(x0，y0)的方式来计算二元函数极限，则必须首
先证明极限的存在性(即在已知f(x，y)存在的前提下，才可以用一
条特殊的路径来求此极限)．
(3)若当(x，y)沿着两条不同路径趋于(x0，y0)，f(x，y)趋于不同值时，则可断定当(x，y) →(x0，y0)时，f(x，y)的极限不存在(此法可用来判
断极限不存在)．
问题6 何谓偏导数?怎样求偏导数?
答 多元函数的偏导数，就是只有一个自变量变化(其它自变量看成是常数)时，函数的变化率因此，求多元函数的偏导数就相当于求一元函数的导数.一元函数的导数公式和求导的四则运算法则对于求多元
函数的偏导数完全适用.
偏导数的求法：
1当二元函数为分段函数时，求在分段点或分段线上的点(x0，y0)处
的偏导数时，要根据偏导数的定义来求即
2。求多元初等函数偏导数时．可将多元函数视为一元函数，即将不对其求偏导数的那些变量统统看成常量，利用一元函数的求导公式和求导法则求出偏导数. 值得指出，多元函数的偏导数记号与一元函数的导数记号不同．偏导数记号、是一个整体，不能分开不能看
成z与x之商，记号z与x本身没有意义.而一元函数的导数记号如，可看成两个微分dz与dx之商.
思考题5 如果函数z=f(x,y)在(x0，y0)点偏导数存在，试问z=f(x，y)
在(x0，y0)点一定连续吗?
分析 不一定二元函数的连续性与可导性(即一阶偏导数都存在)．两者没有必然联系. 这与一元函数可导必连续是不同的为什么偏导数存在而函数可以不连续呢?这是因为f(x，y)在点M0(x0，y0)存在关于x的偏导数fx(x0，y0)，只能得到一元函数z=f(x，y0)在点x= x0处连续. 同样，由fy(x0，y0) 存在，只能得到一元函数z=f(x0，y)在点y=y0处连续事实上，偏导数fx(x0，y0)与fy(x0，y0)的存在，只反映了f(x，y)沿平行于x轴与平行于y轴两个特殊方向在M0(x0，y0)处的变化率，它们的存在只能保证点M(x，y)沿x轴与沿y轴方向趋于点M0时，函数值f(x，y)趋于f(x0，y0)，但这不能保证点M以任何方式趋于点M0时．函数值f(x，y)都趋于f(x0，y0).所以，函数f(x，y)在点(x0，
y0)偏导数存在，不能保证f(x，y)在点f(x，y)一定
思考题7 二元函数f(x，y)在一点处极限存在、连续、偏导数存在可微以及偏导数连续等诸条件之间有何相
互关系?
分析 二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处，上述诸条件之间关系可以用箭头表示：
其中记号“A→B”，表示“A可以推出B”，两个条件之间没有箭头表示，则表示两条件间没有必然联系，上
式的箭头方向是不可逆的.
二元函数与一元函数诸条件之间的相互关系有相似之处．但又有一些明显不同如一元函数f(x)在x0点有： 可微可导→连续→有极限.