运筹学课程设计

时间：2024.4.13

西安建筑科技大学 课程设计（论文）任务书

设计总说明

该设计所研究的问题，是“服装种植企业鲜花运输方案的优化研究”。是一个简化了的针对服装种植企业对第一批夏季服装的运输方案的研究，须采用最优方案以节省人力、物力、财力，并为以后的服装供求及运输调整作铺垫。这是个产销不平衡的运输问题（此题为供求不平衡）。采用的运筹方法便是运输问题的求解方法。是先将产销不平衡的运输问题转化为产销平衡的运输问题，再加以求解的方法，最终得出结论。

关键词：运输规划，表上作业法，最优解，程序编写

目录........................................................... - 3 -

1问题描述...................................................... - 4 -

1.1背景介绍................................................ - 4 -

1.2 研究主要内容与目的...................................... - 4 -

1.3 研究的意义.............................................. - 4 -

1.4方法与思路.............................................. - 4 -

2 研究的问题................................................... - 5 -

2.1具体问题的提出.......................................... - 5 -

2.2 问题的特点与初步分析.................................... - 6 -

2.3 建立扩展模型............................................ - 7 -

2.3.1 确定运筹方法.......................................... - 7 -

2.3.2 约定符号.......................................... - 7 -

2.3.3 变量设定.......................................... - 8 -

2.3.4 确定目标函数...................................... - 8 -

2.3.5 确定约束条件...................................... - 8 -

2.3.6 建立模型.......................................... - 9 -

2.4 建立具体模型........................................... - 10 -

2.4.1 变量确定......................................... - 10 -

2.4.2 目标函数......................................... - 11 -

2.4.3 约束条件......................................... - 11 -

2.4.4具体模型.......................................... - 12 -

3. 计算....................................................... - 13 -

3.1 软件的使用............................................. - 13 -

3.2结果分析............................................... - 14 -

4 程序编写及验证.............................................. - 15 -

4.1 程序的流程及算法设计................................... - 15 -

4.2 程序的实现............................................. - 15 -

4.3 程序的验证............................................. - 21 -

5 总结........................................................ - 22 -

1问题描述

1.1背景介绍

每当盛大节日来临，鲜花如今已变得必不可少，各个商家为了抓住商机，都大批量从昆明购进鲜花。在这之中，就必然存在着与运输相关的一些问题。

1.2 研究主要内容与目的

本次课程设计是要运用所学运筹学的知识，结合实际问题，对提出的问题作一个较为简单的研究。该设计所研究的问题，便是“花卉公司鲜花运输方案的优化研究”。在选题方面，倾向于对产销不平衡运输问题的计算研究，因为在实际生产生活中，产销平衡的运输问题是不存在的，在实际问题中，需求量也并不局限于某一固定的值，因此，结合实际生活，选择鲜花运输方案的优化研究。在本次研究中，会运用运筹学的基本理论和表上作业法以及Lindo软件等作为研究手段和工具，以达到使鲜花运输方案最优化的目的。

1.3 研究的意义

本次研究的最直接的意义便是针对花卉种植公司第一批的运输方案的研究，采用最优方案以节省人力、物力、财力，并为以后的鲜花供求及运输调整作铺垫。另外，也是对运筹学的实际运用，便于更加熟练地解决实际问题。

1.4方法与思路

首先是对提出问题的分析，确定花卉种植公司及需求点的数量，搜集相关数据。继而建立扩展模型，再建立具体模型。对该具体问题具体分析，运用运筹学基本知识，运输问题的解决手段，用Lindo软件求解，并对所得结果进行分析、评价。

2 研究的问题

2.1具体问题的提出

现有一家大型鲜花培植公司，分别计划从三个种植分厂向四个省市地区（陕西、江苏、北京、上海）批发鲜花，现需要制定第一批的运输方案，以确保运费最少。由于种种原因，种植分厂C不能向上海运输鲜花，综上，其运输单价表如下：

表1 20##年鲜花运输供求及单价表

2.2 问题的特点与初步分析

这个问题有两个特点：一是产销不平衡的问题。二是需求量可以变化，不是唯一的，低限需求总量为30+70+0+10=110（万支），而高限需求量为无限。因此可以有一个假想的种植分厂D，用它来“满足”部分高限需求，为了利用平衡问题的运输模型，首先要将上海的高限需求的“不限”给予一个确定值，因为这个“无限”是上海地区希望得到的高限需求，而实际上这三个种植分厂能为这个地区供给的数量，只有在使陕西、江苏、北京这三个地区的低限需求都得到满足时的余额，即：（50+60+50）－（30+70+0）=60（万支）

其次对于本题要考虑的是各地区的低限需求是必须满足的，因此它不能由假想种植分厂D供给，为了解决这个矛盾，将每个其低限需求与高限需求不同的地区再一分为二，如陕西分作“陕西1”和“陕西2”，其中，“陕西1”是低限需求，为30万支。为了保证假想种植分厂D不给它供应，可设从种植分厂D到“陕西1”的鲜花运输单价为一个很大的正数M，而“陕西2”的需求量=高限需求－“陕西1”的需求=5030=20（万支）同样，“上海”也可分为“上海1”和“上海2”。从而建立下表（表2）。如此以来，便将一个产销不平衡的问题变成了一个产销平衡的运输问题，根据表上作业法便可得最优调运方案。

表2 20##年鲜花供求及运输单价调整表

2.3 建立扩展模型

2.3.1 确定运筹方法

根据前面的分析，可以明显地看出来，这个问题属于运输问题的范畴，那么，采用的运筹方法便是运输问题的求解方法。是先将产销不平衡的运输问题转化为产销平衡的运输问题，再加以求解的方法。

2.3.2 约定符号

为了使计算与表述方便明确，对收点、发点以及各变量的符号作如下约定：

各种植分厂（发点）用A、B、C、D表示——其中D为假想的种植分厂，以便将产销不平衡问题转变为产销平衡问题。

各省市地区（收点）用罗马数字表示：

陕西——Ⅰ，陕西1——Ⅰ′，陕西2——Ⅰ″；

江苏——Ⅱ；

北京——Ⅲ；

上海——Ⅳ，上海1——Ⅳ′，上海2——Ⅳ″。

a_j为供应量，b_i为需求量；

m为收点个数，n为发点个数。

表3 20##年鲜花运输供求及单价表

表4 20##年鲜花供求及运输单价调整表

2.3.3 变量设定

该运输问题的关键所在，便是运输价格。而决定总价格的，则是各个价格对应的运输量，所以说，运输量是本问题的核心，即应采取什么样的运输量的分配方案。

则用变量x_ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）表示各发点到收点的运输量，也就是说x_ij为决策变量，显而易见，x_ij表示的是运输量，只能取正数，即x_ij≥0。

2.3.4 确定目标函数

该问题是将鲜花运输方案优化，以确保运输费用最小，因此，目标函数应当确立为：

minf(x)=∑∑cx （其中c为运输单价）

2.3.5 确定约束条件

在现实生活中，影响运输决策的因素很多，为了简化问题，这里我们只考虑供求量对运输决策的约束。

由此，需要考虑的约束与限制因素主要有以下几个方面：

（1）由于种植厂的供应不是无限制的，所以所有运输量之和不应该超过三个种植分厂的供应总量。用式子表示为：

∑x≤∑a

其中，

x₁₁+ x₁₂+ …+ x_1n≤a₁

x₂₁+ x₂₂+ …+ x_2n≤a₂

……

x_m1+ x_m2+ …+ x_mn≤a_m

（2）各地区对鲜花的需求量也是有限制的，运输量必须满足最低需求，也不能超过最高需求。用式子表示：

∑x≥∑minb

∑x≤∑maxb

其中，

x₁₁+ x₂₁+ …+ x_m1≥minb₁

x₁₁+ x₂₁+ …+ x_m1≤maxb₁

x₁₂+ x₂₂+ …+ x_m2≥minb₂

x₁₂+ x₂₂+ …+ x_m2≤maxb₂

……

x_1n+ x_2n+ …+ x_mn≥minb_n

x_1n+ x_2n+ …+ x_mn≤maxb_n

（3）当然，变量表示的是运输量，所以有：

x_ij≥0（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）

2.3.6 建立模型

综上所述，建立鲜花运输策略线性规划模型如下：

求一组变量x_ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）的值，使目标函数：

minf(x)=∑∑cx

取得最小值，并满足以下约束条件的要求：

x₁₁+ x₁₂+ …+ x_1n≤a₁

x₂₁+ x₂₂+ …+ x_2n≤a₂

……

x_m1+ x_m2+ …+ x_mn≤a_m

x₁₁+ x₂₁+ …+ x_m1≥minb₁

x₁₁+ x₂₁+ …+ x_m1≤maxb₁

x₁₂+ x₂₂+ …+ x_m2≥minb₂

x₁₂+ x₂₂+ …+ x_m2≤maxb₂

……

x_1n+ x_2n+ …+ x_mn≥minb_n

x_1n+ x_2n+ …+ x_mn≤maxb_n

x_ij≥0（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）

2.4 建立具体模型

2.4.1 变量确定

根据该题，可知：

x₁₁: 表示由A向陕西的鲜花运输量，单位为万支；

x₁₂: 表示由A向江苏的鲜花运输量，单位为万支；

x₁₃: 表示由A向北京的鲜花运输量，单位为万支；

x₁₄: 表示由A向上海的鲜花运输量，单位为万支；

x₂₁: 表示由B向陕西的鲜花运输量，单位为万支；

x₂₂: 表示由B向江苏的鲜花运输量，单位为万支；

x₂₃: 表示由B向北京的鲜花运输量，单位为万支；

x₂₄: 表示由B向上海的鲜花运输量，单位为万支；

x₃₁: 表示由C向陕西的鲜花运输量，单位为万支；

x₃₂: 表示由C向江苏的鲜花运输量，单位为万支；

x₃₃: 表示由C向北京的鲜花运输量，单位为万支；

2.4.2 目标函数

目标函数为：

minf(x)=16x₁₁+13x₁₂+22x₁₃+17x₁₄+14x₂₁+13x₂₂+19x₂₃+15x₂₄+19x₃₁+20x₃₂+23x₃₃

2.4.3 约束条件

对于花卉种植厂商来说，鲜花全部批发出去自然是最好的，也就是说，供应鲜花（160万支）应当全部发出，则A、B、C发点发出的鲜花应当分别等于50万支、60万支、50万支。所以，该问题的约束条件为：

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄=50

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄=60

x₃₁+x₃₂+x₃₃=50

x₁₁+x₂₁+x₃₁≥30

x₁₁+x₂₁+x₃₁≤50

x₁₂+x₂₂+x₃₂=70

x₁₃+x₂₃+x₃₃≤30

x₁₄+x₂₄≥10

x_ij≥0（i=1,2,3；j=1,2,3,4）

2.4.4具体模型

即问题便为：

minf(x)=16x₁₁+13x₁₂+22x₁₃+17x₁₄+14x₂₁+13x₂₂+19x₂₃+15x₂₄+19x₃₁+20x₃₂+23x₃₃

16x₁₁+13x₁₂+22x₁₃+17x₁₄=50

14x₂₁+13x₂₂+19x₂₃+15x₂₄=60

19x₃₁+20x₃₂+23x₃₃=50

16x₁₁+14x₂₁+19x₃₁≥30

16x₁₁+14x₂₁+19x₃₁≤50

13x₁₂+13x₂₂+20x₃₂=70

22x₁₃+19x₂₃+23x₃₃≤30

17x₁₄+15x₂₄≥10

x_ij≥0（i=1,2,3；j=1,2,3,4）

3. 计算

3.1 软件的使用

在Lindo软件中输入的命令：

min 16x11+13x12+22x13+17x14+14x21+13x22+19x23+15x24+19x31+20x32+23x33

st x11+x12+x13+x14=50

x21+x22+x23+x24=60

x31+x32+x33=50

x11+x21+x31>30

x11+x21+x31<50

x12+x22+x32=70

x13+x23+x33<30

x14+x24>10

end

计算结果：

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 8

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 2460.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X11 0.000000 4.000000

X12 50.000000 0.000000

X13 0.000000 7.000000

X14 0.000000 2.000000

X21 0.000000 2.000000

X22 20.000000 0.000000

X23 0.000000 4.000000

X24 40.000000 0.000000

X31 50.000000 0.000000

X32 0.000000 0.000000

X33 0.000000 1.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 15.000000

3) 0.000000 15.000000

4) 0.000000 22.000000

5) 20.000000 0.000000

6) 0.000000 3.000000

7) 0.000000 2.000000

8) 30.000000 0.000000

9) 30.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 8

3.2结果分析

从计算结果可看出：只有X12，X22，X24，X31有值，其余变量均为零。这表示：

X12=50，表示从A到Ⅱ的运输量为50万支；

X22=20，表示从B到Ⅱ的运输量为20万支；

X24=40，表示从B到Ⅳ的运输量为40万支；

X31=50，表示从C到Ⅰ的运输量为50万支。

从表中“1) 2460.000”可得出，采用该运输方案，花费为2460千元。

这就是鲜花运输的最优方案。

4 程序编写及验证

4.1 程序的流程及算法设计

本程序主要解决的是线性规划中的单纯形法问题，程序的基本算法流程为：

     1.输入和显示数学模型
     2.进行标准型变换并输出
    3.单纯形法算法，进行换基迭代，求出基础解（可行解、最优解）
     4..输出解

4.2 程序的实现

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#include<iostream.h>

#include<stdlib.h>

float matrix[100][100],x[100]; /* 记录总方程的数组,解的数组 */

int a[100]; /* 记录基础,非基础的解的情况,0:非基础,1:基础 */

int m,n,s,type; /* 方程变量,约束数,求最大最小值的类型,0:最小 1:最大 */

int indexe,indexl,indexg; /* 剩余变量,松弛变量,人工变量 */

int Rj()

{

int i;

for(i=0;i<s;i++)

if(fabs(matrix[n][i])>=0.000001)

if(matrix[n][i]<0) return 0;

return 1;

}

int Min()

{

int i,temp=0;

float min=matrix[n][0];

for(i=1;i<s;i++)

if(min>matrix[n][i]){

min=matrix[n][i];

temp=i;

}

return temp;

}

void Jckxj()

{

int i,j;

for(i=0;i<n;i++)

for(j=0;j<s;j++)

if(matrix[i][j]==1&&a[j]==1){

x[j]=matrix[i][s];

j=s;

}

for(i=0;i<s;i++)

if(a[i]==0) x[i]=0;

}

int Check(int in)

{

int i;

float max1=1;

for(i=0;i<n;i++)

if(fabs(matrix[i][in])>=0.000001&&max1<matrix[i][s]/matrix[i][in])

max1=matrix[i][s]/matrix[i][in];

if(max1<0)

return 1;

return 0;

}

int SearchOut(int *temp,int in)

{

int i;

float min=10000;

for(i=0;i<n;i++)

if(fabs(matrix[i][in])>=0.000001&&(matrix[i][s]/matrix[i][in]>=0)&&min>matrix[i][s]/matrix[i][in]){

min=matrix[i][s]/matrix[i][in];

*temp=i;

}

for(i=0;i<s;i++)

if(a[i]==1&&matrix[*temp][i]==1) return i;

}

void Mto(int in,int temp)

{

int i;

for(i=0;i<=s;i++)

if(i!=in)

matrix[temp][i]=matrix[temp][i]/matrix[temp][in];

matrix[temp][in]=1;

}

void Be(int temp,int in)

{

int i,j;

float c;

for(i=0;i<=n;i++){

c=matrix[i][in]/matrix[temp][in];

if(i!=temp)

for(j=0;j<=s;j++)

matrix[i][j]=matrix[i][j]matrix[temp][j]*c;

}

void Achange(int in,int out)

{

int temp=a[in];

a[in]=a[out];

a[out]=temp;

}

void InitPrint()

{

printf("\n");

}

void Result()

{

if(type==1)

printf(" Zmax=%f\n\n",matrix[n][s]);

else printf(" Zmin=%f\n\n",matrix[n][s]);

}

void PrintResult()

{

if(type==0) printf("The Minimal :%f\n",matrix[n][s]);

else printf("The Maximum :%f\n",matrix[n][s]);

}

void Merge(float nget[][100],float nlet[][100],float net[][100],float b[])

{

int i,j;

for(i=0;i<n;i++){

for(j=m;j<m+indexe;j++)

if(nget[i][jm]!=1) matrix[i][j]=0;

else matrix[i][j]=1;

for(j=m+indexe;j<m+indexe+indexl;j++)

if(nlet[i][jmindexe]!=1) matrix[i][j]=0;

else matrix[i][j]=1;

for(j=m+indexe+indexl;j<s;j++)

if(net[i][jmindexeindexl]!=1) matrix[i][j]=0;

else matrix[i][j]=1;

matrix[i][s]=b[i];

}

for(i=m;i<m+indexe+indexl;i++)

matrix[n][i]=0;

for(i=m+indexe+indexl;i<s;i++)

matrix[n][i]=100;

matrix[n][s]=0;

}

void ProcessA()

{

int i;

for(i=0;i<m+indexe;i++)

a[i]=0;

for(i=m+indexe;i<s;i++)

a[i]=1;

}

void Input(float b[],int code[])

{

int i=0,j=0;

printf("输入方程变量和约束数");

cin>>m>>n;

for(i=0;i<n;i++){

printf("输入方程右边的值b[] 和 code的值:0<= 1:= 2:>=\n");

cin>>b[i]>>code[i];

printf("输入系数");

for(j=0;j<m;j++)

cin>>matrix[i][j]; /* 输入方程 */

}

printf("输入求最大值还是最小值 0:Min 1:Max \n");

do{

cin>>type;

if(type!=0&&type!=1) printf("错误,重输\n");

}while(type!=0&&type!=1);

printf("输入z");

for(i=0;i<m;i++)

cin>>matrix[n][i];

if(type==1)

for(i=0;i<m;i++)

matrix[n][i]=matrix[n][i];

}

void Xartificial()

{

int i,j,k;

if(indexg!=0){

for(i=m+indexe+indexl;i<s;i++){

for(j=0;j<n;j++)

if(matrix[j][i]==1){

for(k=0;k<=s;k++)

matrix[n][k]=matrix[n][k]matrix[j][k]*100;

j=n;

}

void Process(float c[][100],int row,int vol)

{

int i;

for(i=0;i<n;i++)

if(i!=row) c[i][vol]=0;

}

void Sstart(float b[],int code[])

{

int i;

float nget[100][100],nlet[100][100],net[100][100]; /* 剩余变量数组,松弛变量数组,人工变量数组 */

indexe=indexl=indexg=0;

for(i=0;i<n;i++){

if(code[i]==0){nlet[i][indexl++]=1; Process(nlet,i,indexl1);}

if(code[i]==1){ net[i][indexg++]=1; Process(net,i,indexg1); }

if(code[i]==2){

net[i][indexg++]=1;

nget[i][indexe++]=1;

Process(net,i,indexg1); Process(nget,i,indexe1);

}

s=indexe+indexl+indexg+m;

Merge(nget,nlet,net,b); /* 合并 */

ProcessA(); /* 初始化a[] */

InitPrint(); /* 初始化打印 */

Xartificial(); /* 消去人工变量 */

}

void Simplix() /* 单纯型算法 */

{

int in,out,temp=0;

while(1){

Jckxj(); /* 基础可行解 */

Result(); /* 打印结果 */

if(!Rj()) in=Min(); /* 求换入基 */

else {

PrintResult(); /* 打印最后结果 */

return;

}

if(Check(in)){ /* 判断无界情况 */

printf("无界");

return;

}

out=SearchOut(&temp,in); /* 求换出基 */

Mto(in,temp); /* 主元化1 */

Be(temp,in); /* 初等变换 */

Achange(in,out); /* 改变a[]的值 */

}

int main()

{

int code[100]; /* 输入符号标记 */

float b[100]; /* 方程右值 */

Input(b,code); /* 初始化 */

Sstart(b,code); /* 化标准型 */

Simplix(); /* 单纯型算法 */

system("pause");

}

4.3 程序的验证

运筹学第55页习题2.5用Lingo软件求解结果如下:

max 5x1+5x2+13x3

1)x1+x2+3x3<20

2)12x1+4x2+10x3<90

End

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 100.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.000000 0.000000

X2 20.000000 0.000000

X3 0.000000 2.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

1) 0.000000 5.000000

2) 10.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 1

用上文编写程序，计算结果：

可见Lingo算出的最优解同程序算出的最优解相同，均为100，由此可知程序验证成功。

5 总结

本次设计旨在学会利用运筹学原理和方法，解决实际生活中的问题。本次课程设计的题目为“鲜花种植企业鲜花运输方案的优化研究”，即是对鲜花运输方案的一个简化问题的研究。三个种植厂向四个地区运输鲜花，已经给出运输单价，须求花费最小，为了简便，只考虑供给和需求条件的约束，这样，便产生了一个产销不平衡的运输问题（此为供求不平衡），需求量有上下限，并还有无最高限的一个条件。为了解决问题，虚设了一个发点D，将产销不平衡的运输问题转变成为了一个产销平衡的运输问题，这样就可以求解。继而建立模型，包括扩展模型和具体模型，使用Lindo软件求解，得出最优方案。

通过本次问题的求解，让我对运筹学数学建模的过程有了更深的理解，同时我还学会了用C语言编写一个解决单纯形法问题的程序。总之，此次课程设计之中，我得到最大的收获就是如何运用科学方法和工具来求解一个实际问题。

参考文献

[1].杨茂盛.运筹学（第二版）.西安：陕西科学技术出版社，2002

[2].程理民,吴江,张玉林.运筹学模型与方法教程.清华大学出版社.

[3].严蔚敏吴伟民数据结构（C语言版）清华大学出版社

附录

课程设计成绩评定表

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