数值分析课程设计

时间：2024.5.2

《数值分析课程设计》

报告

学号：学生姓名：姚梅指导教师：缪红益

一、题目：

二分法求方程根

用二分法求：

(1).x*x-exp(x)=0 在x0=1 附近的根；

(2) x*exp(x)-1=0 在x0=1 附近的根；

(3)log10(x)+x-2=0 在x0=2 附近的根；

二、理论

应用二分法求方程根主要应用在讨论单变量非线性方程f（x）=0的求根问题。若f（x） c[a，b]且f（a）f（b）<0,根据连续函数性质可知，f

（x）=0在（a，b）内至少有一个实根，这时称[a，b]为方程的有根区间。通常可通过逐次搜索法求得方程的有根区间。考察有根区间[a,b],取中点x0=（a+b）/2将它分为两半，假设中点x0不是f（x）的零点，然后进行根的搜索，即检查f（x0）与f（a）是否同号，如果确系同号，说明所求的根x*在x0的右侧，这时令a1=x0，b1=b；否则x*在x0的左侧，这时令a1=a，b1=x0。不管出现哪种情况，新的有根区间[a1，b1]的长度仅为[a，b]的一半。对压缩了的有根区间[a1，b1]又可施行同样的手续，即用中点x1=（a1+b1）/2将区间[a1，b1]在分为两半，然后通过根的搜索判定所求的根在x1的哪一侧，从而又确定一个新的有根区间

[a2,b2]，其长度是[a1，b1]的一半。如此反复下去，即可得出一系列有根区间[a，b] [a1，b1] [a2，b2] 。。。 [ak，bk] 。。。，其中每个区间都是前一个区间的一半，因此[ak，bk]的长度bk-ak=（b-a）/2k 。当k 时趋于零，就是说，如果二分过程无限的进行下去，这些区间最终必缩于一个点x*，该点显然就是所求的根。

三、方法、算法与程序设计

1. 用二分法求方程 f(x)=0的根 x*的近似值 x* 的步骤

步骤1. 若对于a<b, 有f(a)f(b)<0, 则在(a, b)内f(x)=0至少有一个根.

步骤2. 取a, b的中点x1=(a+b)/2计算f(x1)

步骤3. 若f(x1)=0,则x1是f(x)=0的根, 停止计算,运行后输出结果x*=x1.

f(a)f(x1)<0,则在(a, x1 )内f(x)=0至少有一个根,取a1=a, b1=x1;

f(a)f(x1)>0,则取a1=x1, b1=b;

步骤4. 若|bk-ak|/2??，退出计算, 运行后输出结果x*?(ak+bk)/2,反之, 返回步

骤1, 重复步骤1,2,3.

2. 二分法的matlab主程序算法

求解方程f(x)=0在开区间(a,b)内的一个根的前提条件是f(x)在闭区间[a,b]上连续, 且f(a)f(b)<0

输入的量: a和b是闭区间[a,b]的左右端点, abtol是预先给定的精度.

运行后输出的量: k是使用二分法的次数. x是方程在(a,b)内的实根x*的近似值, 其精度是abtol.

wuca=|bk-ak|/2是使用k次二分法所得到的小区间的长度的一半, 即实根x*的近似值x的绝对精度限, 满足wuca≤abtol. yx=f(xk), 即方程f(x)=0在实根x*的近似值x处的函数值.

3.二分法的matlab主程序

function [k,x,wuca,yx]=erfen(a,b,abtol)

a(1)=a; b(1)=b;

ya=fun(a(1)); yb=fun(b(1)); %程序中调用的fun.m 为函数

if ya* yb>0,

disp('注意：ya*yb>0,请重新调整区间端点a和b.'), return

end

max1=-1+ceil((log(b-a)- log(abtol))/ log(2));

for k=1: max1+1

a;ya=fun(a); b;yb=fun(b); x=(a+b)/2;

yx=fun(x); wuca=abs(b-a)/2; k=k-1;

[k,a,b,x,wuca,ya,yb,yx]

if yx==0

a=x; b=x;

elseif yb*yx>0

b=x;yb=yx;

else

a=x; ya=yx;

end

if b-a< abtol , return, end

end

k=max1; x; wuca; yx=fun(x

4. 用二分法求解方程f(x)=0在 (a,b)内的近似根的步骤

步骤1. 建立名为fun.m的M文件如: function y1=fun(x), y1=f(x);

步骤2. 将二分法的主程序保存名为erfen.m的M文件;

步骤3. 在matlab工作窗口输入程序: >>[k, x, wuca, yx]=erfen(a, b, abtol)

其中输入的量: 区间端点的值a, b和精度是abtol都是具体给定的数值, 然后按运行键. 运行后输出计算次数k、使用k次二分法所得到的小区间

[ak, bk]的中点的值x和它的函数值y(x)及wuca=|bk-ak|/2.

四、算例、应用实例

ans =

Columns 1 through8

0 -1.0000 1.5000 0.2500 1.2500 0.6321 -2.2317 -1.2215 ans =

Columns 1 through 8

1.0000 -1.0000 0.2500 -0.3750 0.6250 0.6321 -1.2215 -0.5467 ans =

Columns 1 through 8

2.0000 -1.0000 -0.3750 -0.6875 0.3125 0.6321 -0.5467 -0.0302 ans =

Columns 1 through 8

3.0000 -1.0000 -0.6875 -0.8438 0.1563 0.6321 -0.0302 0.2818 ans =

Columns 1 through 8

4.0000 -0.8438 -0.6875 -0.7656 0.0781 0.2818 -0.0302 0.1211 ans =

Columns 1 through 8

5.0000 -0.7656 -0.6875 -0.7266 0.0391 0.1211 -0.0302 0.0443

ans =

Columns 1 through8

6.0000 -0.7266 -0.6875 -0.7070 0.0195 0.0443 -0.0302 0.0068 ans =

Columns 1 through 8

7.0000 -0.7070 -0.6875 -0.6973 0.0098 0.0068 -0.0302 -0.0118 ans =

Columns 1 through 8

8.0000 -0.7070 -0.6973 -0.7021 0.0049 0.0068 -0.0118 -0.0025 ans =

Columns 1 through 8

9.0000 -0.7070 -0.7021 -0.7046 0.0024 0.006 -0.0025 0.0021 ans =

Columns 1 through 8

10.0000 -0.7046 -0.7021 -0.7034 0.0012 0.0021 -0.0025 -0.0002 ans =

Columns 1 through 8

11.0000 -0.7046 -0.7034 -0.7040 0.0006 0.0021 -0.0002 0.0010 ans =

Columns 1 through 8

12.0000 -0.7040 -0.7034 -0.7037 0.0003 0.0010 -0.0002 0.0004 k = 12

x = -0.7037

wuca = 3.0518e-004

yx = 3.9350e-004

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ans =

Columns 1 through 8

0 0 1.5000 0.7500 0.7500 -1.0000 5.7225 0.5878

ans =

Columns 1 through 8

1.000 0 0.7500 0.3750 0.3750 -1.0000 0.5878 -0.4544 ans =

Columns 1 through 8

2.0000 0.3750 0.7500 0.5625 0.1875 -0.4544 0.5878 -0.0128 ans =

Columns 1 through 8

3.0000 0.5625 0.7500 0.6563 0.0938 -0.0128 0.5878 0.2650 ans =

Columns 1 through8

4.0000 0.5625 0.6563 0.6094 0.0469 -0.0128 0.2650 0.1208 ans =

Columns 1 through 8

5.0000 0.5625 0.6094 0.5859 0.0234 -0.0128 0.1208 0.0527

ans =

Columns 1 through 8

6.0000 0.5625 0.5859 0.5742 0.0117 -0.0128 0.0527 0.0197 ans =

Columns 1 through8

7.0000 0.5625 0.5742 0.5684 0.0059 -0.0128 0.0197 0.0034 ans =

Columns 1 through 8

8.0000 0.5625 0.5684 0.5654 0.0029 -0.0128 0.0034 -0.0047 ans =

Columns 1 through 8

9.0000 0.5654 0.5684 0.5669 0.0015 -0.0047 0.0034 -0.0007 ans =

Columns 1 through 8

10.0000 0.5669 0.5684 0.5676 0.0007 -0.0007 0.0034 0.0013 ans =

Columns 1 through 8

11.0000 0.5669 0.5676 0.5673 0.0004 -0.0007 0.0013 0.0003 k =11

x = 0.5673

wuca =3.6621e-004

yx =3.2458e-004

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ans =

Columns 1 through 8

0 1.5000 2.5000 2.0000 0.5000 -0.3239 0.8979 0.3010 ans =

Columns 1 through 8

1.0000 1.5000 2.0000 1.7500 0.2500 -0.3239 0.3010 -0.0070 ans =

Columns 1 through 8

2.0000 1.7500 2.0000 1.8750 0.1250 -0.0070 0.3010 0.1480 ans =

Columns 1 through8

3.0000 1.7500 1.8750 1.8125 0.0625 -0.0070 0.1480 0.0708 ans =

Columns 1 through 8

4.0000 1.7500 1.8125 1.7813 0.0313 -0.0070 0.0708 0.0320 ans =

Columns 1 through 8

5.0000 1.7500 1.7813 1.7656 0.0156 -0.0070 0.0320 0.0125 ans =

Columns 1 through 8

6.0000 1.7500 1.7656 1.7578 0.0078 -0.0070 0.0125 0.0028

ans =

Columns 1 through 8

7.0000 1.7500 1.7578 1.7539 0.0039 -0.0070 0.0028 -0.0021 ans =

Columns 1 through 8

8.0000 1.7539 1.7578 1.7559 0.0020 -0.0021 0.0028 0.0003 ans =

Columns 1 through 8

9.0000 1.7539 1.7559 1.7549 0.0010 -0.0021 0.0003 -0.0009 ans =

Columns 1 through 8

10.0000 1.7549 1.7559 1.7554 0.0005 -0.0009 0.0003 -0.0003 k = 10

x = 1.7554

wuca =4.8828e-004

yx = -2.5996e-004

五、参考文献

1. 数值分析，李庆扬，王能超，易大义，2001，清华大学出版社（第四版）。

2. 数值方法，关治，陆金甫，2006，清华大学出版社。

3. 数值分析与实验学习指导，蔡大用，2001，清华大学出版社。

六、附录

function [k,x,wuca,yx]=erfen(a,b,abtol)

a(1)=a; b(1)=b;

ya=fun(a(1)); yb=fun(b(1)); %程序中调用的fun.m 为函数

if ya* yb>0,

disp('注意：ya*yb>0,请重新调整区间端点a和b.'), return

end

max1=-1+ceil((log(b-a)- log(abtol))/ log(2));

for k=1: max1+1

a;ya=fun(a); b;yb=fun(b); x=(a+b)/2;

yx=fun(x); wuca=abs(b-a)/2; k=k-1;

[k,a,b,x,wuca,ya,yb,yx]

if yx==0

a=x; b=x;

elseif yb*yx>0

b=x;yb=yx;

else

a=x; ya=yx;

end

if b-a< abtol , return, end

end

k=max1; x; wuca; yx=fun(x);

end

第二篇：数值分析课程设计：最佳平方逼近与最小二乘拟合

数值分析课程设计：最佳平方逼近与最小二乘拟合

给出函数f(x)=1/(1+25x^2)

一：

求f（x）在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式以及均方误差。

Matlab编程代码如下：

syms x;

p=[1 x (1./2)*(3*x^2-1) (1./2)*(5*x^3-3*x) 1./(1+25*x^2)];

for i =1:1:4

jf = int((p(i)*p(5)),x,-1,1);

a(i)=(2*(i-1)+1)/2*jf;

end

f3=0;

for i = 1:1:4

f3= f3+a(i)*p(i);

end

simplify(f3)

syms x

fun=(f(x)-f3)^2;

int(fun,x,-1,1)

输出结果为

a =

[ 1/5*atan(5), 0, 3/10-14/25*atan(5), 0]

ans =

12/25*atan(5)+9/20*x^2-3/20-21/25*atan(5)*x^2

f3 =

1/5*atan(5)+(3/10-14/25*atan(5))*(3/2*x^2-1/2)

（最佳平方逼近多项式）

ans =

4/1625-642/3125*atan(5)^2+209/625*atan(5)

化简均方误差可得ans =

0.0742

二．在[-1,1]上取5个和9个等距节点，做最小二乘拟合，得出均方误差。五个节点时，matlab编码为：

首先建立M文件，并保存

function y=f(x)

y=1/(1+25*x^2);

end

x=[-1 -0.5 0 0.5 1];

for i=1:5

y(i)=f(x(i));

end

a=polyfit(x,y,3)

syms x

f1=a(1)*x^3+a(2)*x^2+a(3)*x+a(4)

x=[-1 -0.5 0 0.5 1];

for i=1:5

E(i)=(f(x(i))-(a(1)*x(i)^3+a(2)*x(i)^2+a(3)*x(i)+a(4)))^2;

end

sum(E)

输出结果为

a =

-0.0000 -0.6063 -0.0000 0.5737

f1 =

-4878849915647781/12980742146xxxxxxxxxxxx4082305024*x^3-1600/2639*x^2-534xxxxxxxxxxxx/6490371073168534xxxxxxxxxxxx2512*x+1514/2639

（拟合的多项式）

ans =

0.3534（均方误差）

九个点的时候，matlab编码为：

x=[-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1];

for i=1:9

y(i)=f(x(i));

end

a=polyfit(x,y,3)

syms x

f2=a(1)*x^3+a(2)*x^2+a(3)*x+a(4)

x=[-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1];

for i=1:5

E1(i)=(f(x(i))-(a(1)*x(i)^3+a(2)*x(i)^2+a(3)*x(i)+a(4)))^2;

end

sum(E1)

输出结果为：

a =

-0.0000 -0.5609 0.0000 0.4855

f2 =

-728732707776039/2535301200456458802993406410752*x^3-1263030908712921/2251799813685248*x^2+4915246442354361/2028240960xxxxxxxxxxxx251286016*x+1093229300764671/2251799813685248

（最小二乘拟合多项式）

ans =

0.3350

（均方误差）

三：比较三个均方误差

经比较发现，最佳平方逼近多项式拟合程度高，最小二乘逼近中，9点的比5点的均方误差小。

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