用三线摆法测定物体的转动惯量
转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度，它与刚体的总质量、形状大小、密度分布和转轴的位置有关。对于形状较简单的刚体，可以通过数学方法算出它绕特定轴的转动惯量。但是，对于形状较复杂的刚体，用数学方法计算它的转动惯量非常困难，大都用实验方法测定。例如：机械零部件、电机转子及枪炮弹丸等。因此学会刚体转动惯量的测定方法，具有重要的实际意义。
测量转动惯量，一般是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系，进行转换测量。常用的测量方法有三线扭摆法、单线扭摆法、塔轮法等。本实验采用三线扭摆法，由摆动周期及其他参数的测定计算出物体的转动惯量。为了便于和理论值进行比较，实验中的被测物体一般采用形状规则的物体。
【实验目的】
1、掌握三线扭摆法测量物体转动惯量的原理和方法；
2、研究物体的转动惯量与其质量、形状（密度均匀时）及转轴位置的关系；
3、学会正确测量长度、质量和时间的方法。
【实验仪器】
FB210型三线摆转动惯量测定仪、游标卡尺、钢卷尺、数字毫秒计、物理天平、待测物体等。
【实验原理】
图1是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴
作扭摆运动。当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐运动。根据能量守恒定律和刚体转动定律均可以导出物体绕中心轴的转动惯量(推导过程见本实验附录)。
（1）
式中各物理量的意义如下：
为下盘的质量；
、
分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；
为平衡时上下盘间的垂直距离；T0为下盘作简谐运动的周期，
为重力加速度（在杭州地区g=9.793m/s2）。
将质量为
的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与轴重合。测出此时下盘运动周期
和上下圆盘间的垂直距离
。同理可求得待测刚体和下圆盘对中心转轴轴的总转动惯量为：
（2）
如不计因重量变化而引起的悬线伸长， 则有
。那么，待测物体绕中心轴的转动惯量为:
(3)
因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕某轴的转动惯量。
用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为
的物体绕过其质心轴的转动惯量为
，当转轴平行移动距离
时（如图2所示），则此物体对新轴的转动惯量为
。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。
实验时将质量均为m'，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的两排小孔）。按同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴的转动周期
，则可求出每个柱体对中心转轴的转动惯量:
(4)
如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离
以及小圆柱体的半径
，则由平行轴定理可求得
(5)
比较
与
的大小,可验证平行轴定理。
【实验内容】
1．测定圆环对通过其质心且垂直于环面轴的转动惯量
（1）调整底座水平：调整底座上的三个螺钉旋钮，直至底板上水准仪中的水泡位于正中间。
（2）调整下盘水平：调整上圆盘上的三个旋钮（调整悬线的长度），改变三悬线的长度，直至下盘水准仪中的水泡位于正中间。
（3）测量空盘绕中心轴转动的运动周期
：轻轻转动上盘，带动下盘转动，这样可以避免三线摆在作扭摆运动时发生晃动（注意扭摆的转角控制在
以内）。周期的测量常用累积放大法，即用计时工具测量累积多个周期的时间，然后求出其运动周期（想一想，为什么不直接测量一个周期？）。如果采用自动的光电计时装置（光电计时的原理请参阅实验三），光电门应置于平衡位置，即应在下盘通过平衡位置时作为计时的起止时刻，且使下盘上的挡光杆处于光电探头的中央， 且能遮住发射和接收红外线的小孔， 然后开始测量；如用秒表手动计时，也应以过平衡位置作为计时的起止时刻（想一想，为什么？），并默读5、4、3、2、1、0，当数到“0”时启动停表， 这样既有一个计数的准备过程， 又不致于少数一个周期。
（4）测出待测圆环与下盘共同转动的周期：将待测圆环置于下盘上，注意使两者中心重合，按同样的方法测出它们一起运动的周期。
2．用三线摆验证平行轴定理
将两小圆柱体对称放置在下盘上，测出其与下盘共同转动的周期T x和两小圆柱体的间距
。改变小圆柱体放置的位置，重复测量5次。
3．其它物理量的测量
（1）在实验中，由于三条摆线并不是系在上、下两圆盘的边缘，而是系在离边缘很近的三点，因此各盘三个系点所组成等边三角形的同心圆的等效半径
、
不等于盘的实际半径，要通过间接测量获得，通过用米尺测量下盘的两系点之间的距离
，可计算出，如图2所示。
对上盘同样有：
其中
为上盘两系线点间的距离。
将以上两式代入（8）式，得：
（2） 用米尺测出两圆盘之间的垂直距离
；用游标卡尺测出待测圆环的内、外直径
、
和小圆柱体的直径
。
【数据处理与分析】
1. 圆环转动惯量的测量及计算（表1和表2）
表1 累积法测周期数据记录参考表格
表2 有关长度多次测量数据记录参考表
下盘质量
待测圆环质量
圆柱体质量
根据以上数据，求出待测圆环的转动惯量，将其与理论值计算值比较，求相对误差，并进行讨论。已知理想圆环绕中心轴转动惯量的计算公式为
。
2. 验证平行轴定理（表3）
表3 平行轴定理验证
由上表数据，分析实验误差，由得出的数据给出是否验证了平行轴定理的结论。
【预习思考题】
（1）用三线摆测刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？
（2）．测量周期时为什么要测50个周期的总时间?
（3）在测量过程中, 如下盘出现晃动,对周期测量有影响吗？如有影响，应如何避免之？
（4）三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？
（5）测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？
（6）如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？
（7）三线摆在摆动中受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期是否会变化？对测量结果影响大吗？为什么？
讨论题
1．三线摆在摆动中受到空气的阻尼，振幅会越来越小，其周期是否会变化，为什么?
2．你能否考虑一个实验方案，测量一个具有轴对称的不规则形状的物体对对称轴的
转动惯量?
3．将一半径小于下圆盘半径的圆盘置于下圆盘上，并使中心一致。试讨论，此时三线摆的周期和空载时的周期相比较是增大、减小，还是不一定?为什么?
4．圆盘A和圆环B的质量相同，但3次测量得到的转动惯量都不同．这说明了什么?
附 录
转动惯量测量式的推导
当下盘扭转振动，其转角
很小时，其扭动是一个简谐振动，其运动方程为：
（6）
当摆离开平衡位置最远时，其重心升高
，根据机械能守恒定律有：
（7）
即 
（8）
而 
（9）
（10）
将（4-10）式代入（4-7）式得
（11）
从图4-3中的几何关系中可得
简化得 
略去
，且取
，则有：
代入（11）式得
（12）
即得公式（1）。
（12）式为本实验的最终实验式，它的适用条件为：
1、摆角很小，一般要求
；
2、摆线
很长，三条线要求等长，张力相同；
3、大小圆盘水平；
4、转动轴线是两圆盘中心线。
第二篇：三线摆法测定物体的转动惯量
三线摆法测试物体的转动惯量
【一】实验目的
1．学会用三线摆测定物体的转动惯量。
2．学会用累积放大法测量周期运动的周期。
3．验证转动惯量的平行轴定理。
【二】实验仪器及使用方法
三线摆、水准仪、停表、米尺、游标卡尺、物理天平以及待测物体等。
1． DH 4601转动惯量测试仪 1台
2． 实验机架 1套
3． 圆环 1块
4． 圆柱体 2个
仪器操作
1． 打开电源，程序预置周期为T=30（数显），即：小球来回经过光电门的次数为T=2n+1次。
2． 据具体要求，若要设置50次，先按“置数”开锁，再按上调（或下调）改变周期T，再按“置数”锁定，此时，即可按执行键开始计时，信号灯不停闪烁，即为计时状态，当物体经过光电门的周期次数达到设定值，数显将显示具体时间，单位“秒”。须再执行“50”周期时，无须重设置，只要按“返回”即可回到上次刚执行的周期数“50”，再按“执行”键，便可以第二次计时。
（当断电再开机时，程序从头预置30次周期，须重复上述步骤）
【三】实验原理
图1是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴
作扭摆运动。当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐运动。根据能量守恒定律和刚体转动定律均可以导出物体绕中心轴的转动惯量(推导过程见本实验附录)。
（4-1）
式中各物理量的意义如下：
为下盘的质量；
、
分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；
为平衡时上下盘间的垂直距离；
为下盘作简谐运动的周期，
为重力加速度（在杭州地区
）。
将质量为
的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与轴重合。测出此时摆运动周期
和上下圆盘间的垂直距离
。同理可求得待测刚体和下圆盘对中心转轴轴的总转动惯量为：
（4-2）
如不计因重量变化而引起悬线伸长， 则有
。那么，待测物体绕中心轴的转动惯量为:
(4-3)
因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕某轴的转动惯量。
用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为的物体绕通过其质心轴的转动惯量为
，当转轴平行移动距离
时（如图2所示），则此物体对新轴的转动惯量为
。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。
实验时将质量均为
，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的两个小孔）。按同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴的转动周期
，则可求出每个柱体对中心转轴的转动惯量:
(4-4)
如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离以及小圆柱体的半径
，则由平行轴定理可求得
(4-5)
比较
与
的大小,可验证平行轴定理.
【四】实验内容及步骤
1．用三线摆测定圆环对通过其质心且垂直于环面轴的转动惯量。
2．用三线摆验证平行轴定理。实验步骤要点如下：
(1) 调整下盘水平：将水准仪置于下盘任意两悬线之间，调整小圆盘上的三个旋扭，改变三悬线的长度，直至下盘水平。
(2) 测量空盘绕中心轴转动的运动周期
：轻轻转动上盘，带动下盘转动，这样可以避免三线摆在作扭摆运动时发生晃动。注意扭摆的转角控制在
以内。用累积放大法测出扭摆运动的周期（用秒表测量累积30至50次的时间，然后求出其运动周期，为什么不直接测量一个周期？）。测量时间时，应在下盘通过平衡位置时开始计数，并默读5、4、3、2、1、0，当数到“0”时启动停表，这样既有一个计数的准备过程，又不致于少数一个周期。
(3) 测出待测圆环与下盘共同转动的周期：将待测圆环置于下盘上，注意使两者中心重合，按同样的方法测出它们一起运动的周期。
(4) 测出二小圆柱体（对称放置）与下盘共同转动的周期T x。
(5) 测出上下圆盘三悬点之间的距离
和
，然后算出悬点到中心的距离和（等边三角形外接圆半径）
(6) 其它物理量的测量：用米尺测出两圆盘之间的垂直距离和放置两小圆柱体小孔间距
；用游标卡尺测出待测圆环的内、外直径
、
和小圆柱体的直径
。
(7) 记录各刚体的质量。
【五】实验数据与数据处理结果
1．实验数据记录
下盘质量
待测圆环质量
圆柱体质量
表4-1：累积法测周期数据记录参考表格
表4-2：有关长度多次测量数据记录参考表
2．待测圆环测量结果的计算，并与理论值计算值比较，求相对误差并进行讨论。已知理想圆环绕中心轴转动惯量的计算公式为
。
3．求出圆柱体绕自身轴的转动惯量，并与理论计算值{
}比较，验证平行轴定理。
【六】思考题
1．用三线摆测刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？
2．在测量过程中，如下盘出现晃动，对周期有测量有影响吗？如有影响，应如何避免之？
3．三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？
4．测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？
5．如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？
6．三线摆在摆动中受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期是否会变化？对测量结果影响大吗？为什么？
【七】附录
转动惯量测量式的推导
当下盘扭转振动，其转角
很小时，其扭动是一个简谐振动，其运动方程为：
（4-6）
当摆离开平衡位置最远时，其重心升高
，根据机械能守恒定律有：
（4-7）
即 
（4-8）
而 
（4-9）
（4-10）
将（4-10）式代入（4-7）式得
（4-11）
从图3中的几何关系中可得
简化得
略去
，
且取
，则有 
代入（4-11）式得
（4-12）
即得公式（4-1）