不良导体热导率的测定

彭志伟（第一作者），贾林江（第二作者）

摘要：在稳态法测量不良导体热导率的实验中，传统的通过作图求斜率测定散热速率的方法存在很大的主观性，对实验结果产生的误差是不可控制的，本文通过对散热规律的研究，利用Matlab多项式拟合，给出了一种测定散热速率的方法，并分析了其合理性，很大程度上降低了实验误差。

关键字：不良导体；散热速率；稳态法；数据拟合

1 问题的提出

     在用稳态法测量热导率的实验中，对散热速率的测量是通过让黄铜盘自然冷却，每隔30s测量一次温度，最后在坐标纸上描出冷却曲线，作出曲线在最接近的切线，用其斜率来求得冷却速率。通过对比不同学生所作冷却曲线发现，曲线的光滑程度，所作切线与原曲线的相切程度相差很远，给实验结果带来很大误差。如果能改进这种数据处理方法，对实验结果的准确度有很大提高，同时加深了学生对实验原理的理解。

2 实验原理及过程

2.1实验原理及改进

2.1.1基本原理

      本实验利用热源在待测样品内部形成不随时间改变的稳定温度分布，然后进行测量，即稳态法。1882年Fourier给出了热传导的基本公式——Fourier导热方程。方程指出，在物体内部，取两个垂直于热传导方向、彼此相距为、温度分别为、（设），若平面面积为，则在时间内通过面积的热量满足下述方程：

                                               （2.1.1）

式中，为热流强度，称为该物质的热导率（又称导热系数），单位为W/()。

     本实验装置如图1所示。在支架D上依次放上圆铜盘P、待测样品B和厚底紫铜圆盘A。在A的上方用红外灯L加热，使样品上、下表面分别维持在稳

定的温度、，、分别与插入在A、P侧面深孔中的热电偶E来测量。E的冷端浸入盛于杜瓦瓶H内的冰水混合物中。数字式电压表F用来测量温差电动势。由式（2.1.1）知，单位时间通过待测样品B任一圆截面的热流量为

                                  （2.1.2）

式中，为圆盘样品的直径，为样品厚度。当传热达到稳定状态时，通过B盘上表面的热流量与由黄铜盘P向周围环境散热的速率相等。因此，通过求黄铜盘P在稳定温度时的散热速率来求热流量。因此，在读到稳定的、后，将B移去，使A直接与P接触。当P的温度上升到高于稳定时读数若干度后，再将A移开，让P自然冷却。测量其温度随时间的变化，求得，

则稳态黄铜盘散热速率表达式修正如下：

               （2.1.3）

将式（2.1.3）代入（2.1.2），得，

              （2.1.4）

2.1.2 热电偶测温原理

     本实验采用铜-康铜热电偶测温度。基本原理是：由两种不同导体或半导体组成的闭合回路。如果他们的节点处于不同的温度和，则回路中就会有热电动势。通常取℃，称为冷端；置于被测介质中，就可以用来确定介质的温度。可以证明：在热电偶回路中接入的中间导体两端温度想同，热电偶总回路的就不会变化。温差电动势用数字电压表测量。对铜-康铜热电偶而言，，其中℃。故实验中选取能读到0.01mv的电压挡。

2.1.3冷却速率的测量

引理1（Newton's law of cooling） 一个系统的温度如果高于环境温度，它就要散失热量。当系统与环境温差不超过25℃时，散热速率与温差成正比：

                     （2.1.5）

式中，为散热常数（）,为环境温度，设

在稳态情况下，有                       (2.1.6)

又，                                    （2.1.7）

由（2.1.6）和（2.1.7）知，       

记，则上式可化为               （2.1.8）

式（2.1.8）为一阶线性常系数微分方程。则，

，其中为积分常数，代入初值条件，有

                                    （2.1.9）

对式（2.1.9），当时，。其物理意义是，足够长时间后系统的温度将与环境一样，这与物理规律相符合。

   引理2 ，其误差，

在本实验中，用代替，根据引理2可以得到其估计式，其误差极小。因此，我们对式（2.1.9）做三阶多项式拟合，进而求得斜率，得到。

该处理方法的合理性在数据处理时有进一步说明。

2.2 实验仪器

  电子天平、数字三用表、冰、保温杯、停表、稳态法实验装置等。

2.3 实验步骤

 1.连接电路，在保温杯内放入适量冰水混合物。

 2.先将电源电压升至220V，加热5min后降至110V。每隔2~5min读温度示值，在10min内，样品上下表面温度不变时，记录此时的温度,即稳态的示数。

3. 移去样品，直接加热P。待温度高出10℃左右时，移去A。让P自然冷却，每隔30s记录一次温度。

3 数据记录及处理

3.1 原始数据列表

稳定时示数：  ：2.94 mv       ：1.38 mv

表1尺寸及质量

单位：  长度：mm；质量：g

表2 铜盘P自然冷却

（续表）

单位：  时间：30s;  ：mv

3.2 数据处理及分析

3.2.1数据处理

根据式（2.1.9）及引理2，对冷却曲线做三阶多项式函数拟合，设

则==   （3.1.1）

 用Matlab做数据拟合，程序代码如下，拟合曲线与原测量数据点如图2。

>> clear all

>> x=[30:30:540];

>> format long;

>> y=[1.75,1.66,1.59,1.54,1.48,1.46,1.41,1.38,1.34,1.31,1.27,1.24,1.22,1.19,1.17,1.15,1.13,1.12];

>> p=polyfit(x,y,3);

>> scatter(x,y,'b');

>> hold on;

>> y1=p(1)*(x.^3)+p(2)*(x.^2)+p(3)*x+p(4);

>> plot(x,y1,'r')

>> hold off

>> p

p =

  -0.000000002404796   0.000003677903910  -0.002573859075794   1.807303921568626

由数据拟合结果知：

代入（3.1.1）知=，已知=393.6J/(kgk)

由式（2.1.4）知

=0.1005w/()

3.2.2 不确定度分析

 电子天平误差限；游标卡尺误差限；

数字电压表误差限：。

；；

对做如下估计：

=0.0001 w/()

其中， .

所以，的最终形式： w/()

4 结果讨论与误差分析

4.1 误差分析

   本实验存在的误差来源较多。人为作图造成的误差很大，本文解决了这个问题。还有一些误差分析如下：

1.      实验过程中环境温度难以保证恒定，对稳态的判定存在偏差，导致不能达到绝对稳态而产生误差。

2.      样品上下接触面以及热电偶与金属板之间的空气间隙引起误差。

3.      实验过程中，下铜板的散热主要有两种：辐射散热和对流散热，总的散热速率应为两部分散热速率之和。而本实验只考虑了对流散热。

4.      实验时间过长，电偶极（实验中为保温杯）中的冰块融化，温度发生明显变化。

4.2结果讨论

4.2.1结果合理性论证

本实验中，要求环境温度保持稳定，电偶极的冷端温度保持在0℃。如果随着实验时间电偶极冷端温度明显变化，温差电动势与待测温度之比不再是一个常数，对结果会产生很大影响。另外在实验中发现，不同人对稳态的判断有一些差异，对温度的测量存在误差，这些都对实验结果带来较大的影响。

实验结果得到的热导率 w/()，相比于理论值偏小。在误差分析中已经谈到，各个接触面存在空气间隙，这导致结果偏小。同时只考虑了对流散热，得到的散热速率也偏小。这与实验结果相符合。

4.2.2 结果对比

  我用传统的作图法求斜率的方法测得的热导率是0.0089 w/()，其偏小量更大，相比之下可知本实验的处理方法有其明显的优越性。

4.3感想与建议

我们课题组通过对稳态法测定不良导体实验的研究，综合应用数学，物理，计算机软件等工具，对实验的数据处理做了一些优化。在研究过程中，学到了很多实验的方法，数据分析的技巧，锻炼了自己的动手能力，收获颇丰。

另外，下面是一些对实验改进的建议。首先，可以考虑通过多次实验来修正空气间隙带来的影响，每次将铜盘转一个固定角度与之贴合。此外，尽量保证风扇的转速均匀以及环境温度的稳定。

参考文献

 詹世昌. 牛顿冷却定律适用范围的探讨. 大学物理，2000，5，36-37

 杨世铭、陶文铨. 传热学（第4版）. 北京：高等教育出版社，2006

 李朝荣、徐平等. 基础物理实验（修订版）. 北京：北京航空航天大学出版社，2010

 王高雄、周之铭等. 常微分方程（第三版）. 北京：高等教育出版社，2006

 MATLAB基础及其应用教程. 北京：北京大学出版社，2007

第二篇：闪光法测定不良导体热导率实验

［教学目的］：

1．测定不良导体热导率。

2．了解一种测定材料热导率的方法。

3．进一步了解热物性参数的物理含义及测量中的基本问题。

4．学习正确使用高压脉冲光源和光路调节技术以及用微机控制实验和采集处理数据。 ［教学内容］：

（其中q为热流密度矢量，λ 为热导率，1．依据付利叶导热定率： q=?λgradT，

T为温度），以及非稳态导热微分方程可得：热扩散率α=1.38L2

由公式 ａ=λρc 进而有热导率： λ=1.38?ρ?c?L2 闪光法测定不良导体热导率实验 π2t1/2 ， π2t1/2，ρ：样品密度，C：样品比热容，L：为样品厚度。

2．了解实验系统和装置各部分特点以及应如何保证实验条件。

3．在大理石、胶木扳、磁砖三个样品中，选两个进行测量，每个样品测三条曲线。

4．测量待测样品的温升曲线及样品密度，取经散热修正后的t1/2计算出样品的热导率

λ，单位：w/m.k 。

： ［教学难点］

1．详细了解实验方法和思路，合理安排实验时间。

2．正确使用仪器，检查线路连接及样品安装状态，换样品时注意保护氙灯。

3．两次测量间最好间隔10分钟，注意观察本底噪声。

4．正确读取起始温度值、温升最大值及样品的长、宽、厚、质量。

［教学要求］：

1．依据上述要求分别测量样品原始温升曲线及经散热修正后的温升曲线中的t1/2。

2．正确测量样品密度，长、宽、厚各测3次，质量只需测1次，对同一样品的不同

厚度采取加权平均，并分别计算样品长、宽、厚各量的不确定度。

3．将散热修正后的t1/2及样品密度值等代入公式求出两个样品热导率λ。

4．对每一个样品选一条原始温升曲线，在达到最大温升后的曲线下降部分读取若干

点，利用最小二乘法计算散热常数，并与计算机程序的计算结果比较。

［问题讨论］：

1. 热导率的物理含义，比热的物理含义

2. 用本方法测λ时，从物理原理上要满足那些条件？实验中又如何保证？（从实验装置的

设计到实验测定等环节去考虑）；

3. 测温的P-N结温度传感器为什么选得这样小，从物理原理上是怎样考虑的？

4. 实验测量中，光具架上样品的佳位置应该如何调节？氙灯的最付佳位置又应在何处 5. t1/2的物理意义，在测热导率的物理含义和比热的物理含义各是什麽?

6. 定t1/2时，根据实际的实验曲线你考虑t0应如何确定？

7. 对实验曲线为什么必须做散热修正？请考虑如何修正并写出进行散热修正的具体做法

和公式。

8. 在脉冲光启动的一瞬间, 测量者从温升曲线上会看到在其起始部分出现一个小峰或谷，

试考虑原因.